— В смысле?
— Долгое время подразумевалось, — сказал Алан, — что математика — своего рода физика пробок. Что любую математическую операцию, которую ты выполняешь на бумаге, как бы ни была она сложна, можно свести — по крайней мере, в теории — к перекладыванию реального счетного материала вроде пробок в реальном мире.
— Нельзя же взять две целые одну десятую пробки.
— Ладно, ладно, пусть будут пробки для целых чисел, а для таких, как две целые одна десятая — физические меры, например длина этой палки. — Алан положил палку рядом с пробками.
— Как насчет «π»? Нельзя отпилить палку длиной ровно «π» дюймов.
— «π» — из геометрии. Та же история, — вставил Руди.
— Да, считалось, что Евклидова геометрия на самом деле своего рода физика, что его прямые и все такое описывают свойства физического мира. Но… знаешь Эйнштейна?
— Я не очень запоминаю фамилии.
— Седой, с большими усами.
— А, да, — мрачно ответил Лоуренс. — Я подходил к нему с вопросом про шестеренки. Он сказал, что опаздывает на встречу.
— Он придумал общую теорию относительности — своего рода практическое приложение, но не Евклидовой, а Римановой геометрии…
— Тот же Риман, что твоя дзета-функция?
— Тот же Риман, другое направление. Не уводи нас в сторону, Лоуренс…
— Риман показал, что существует много-много геометрий, которые, не являясь Евклидовыми, в то же время внутренне непротиворечивы, — объяснил Руди.
— Ладно, давайте снова к «ОМ», — сказал Лоуренс.
— Да! Рассел и Уайтхед. Итак, когда математики начали играть со всякими корнями из минус единицы и кватернионами, это было уже не то, что можно перевести в палки и пробки. И все же они по-прежнему получали верные результаты.
— По крайней мере внутренне непротиворечивые, — уточнил Руди.
— О'кей. Значит, математика — больше, чем физика пробок.
— Так нам представляется, Лоуренс, но возникает вопрос: математика по правде или это только игра в символы? Другими словами: мы открываем Истину или просто балуемся?
— Она должна быть по правде, потому что, когда прикладываешь ее к физике, она работает! Я слышал про общую теорию относительности и знаю, что она подтверждена экспериментами.
— Большая часть математики не поддается экспериментальной проверке, — сказал Руди.
— Вся идея в том, чтобы укрепить связь с физикой, — произнес Алан.
— И при этом не баловаться.
— И для этого написаны «ОМ»?
— Рассел и Уайтхед свели все математические понятия к таким жутко простым вещам, как множества. Отсюда они перешли к целым числам и так далее.
— Но как можно свести к множествам, например, число «π»?
— Нельзя, — сказал Алан, — зато его можно выразить цепочкой цифр: три запятая один четыре один пять девять и так далее.
— То есть через целые числа, — сказал Руди.
— Нечестно! Само «π» — не целое!
— Но можно вычислить цифры «π», одну за другой, по некой формуле. И можно написать формулу вроде такой!
Алан нацарапал на земле:
— Я использовал ряд Лейбница, чтобы утешить нашего друга. Видишь, Лоуренс? Это цепочка символов.
— Цепочку символов вижу, — нехотя согласился Лоуренс.
— Можно идти дальше? Гёдель, всего несколько лет назад, сказал: «Послушайте! Вы согласны, что все в математике просто цепочка символов? Тогда вот!» И показал, что любую цепочку символов — вроде этой — можно превратить в целые числа.
— Как?
— Ничего сложного, Лоуренс, простой шифр. Произвольный. Вместо уродливой сигмы напиши число 538 и так далее.
— Очень близко к баловству.
— Нет, нет! Потому что Гёдель расставил ловушку. В формулу можно подставлять числа, да?
— Конечно. Как 2 х.
— Да. Можно подставить на местоx любое число, и формула его удвоит. Но еслиматематическую формулу вроде этой для вычисления числа «π» можнозакодировать числом, то ее можноподставить в другую формулу.
Формулу в формулу!
— И это все?
— Нет. Потом он доказал, очень простым способом, что если формулы можно применить к формулам, то мы вправе сказать: «данное утверждение недоказуемо». Что страшно удивило Гильберта и других, ожидавших противоположного результата.
— Этого твоего Гильберта ты уже упоминал?
— Нет, Лоуренс, он появился в нашем разговоре только сейчас.
— Кто он?
— Человек, который задает трудные вопросы. У него их целый список. Гёдель ответил на один.
— А фон Тьюринг — на другой, — добавил Руди.
— Это еще кто?
— Это я, — сказал Алан. — Только Руди шутит. В Тьюринге вообще-то нет приставки «фон».
— Сегодня ночью будет. — Руди как-то странно взглянул на Алана. Будь Лоуренс повзрослее, он бы определил этот взгляд как «страстный».
— Ладно, не томи. На какой вопрос Гильберта ты ответил?
— Entscheidungsproblem [6] , — сказал Руди.
— То есть?
Алан объяснил:
— Гильберт хотел знать, можно ли в принципе доказать истинность или ложность любого высказывания.
— Но Гёдель все изменил, — произнес Руди.
— Верно. После Гёделя вопрос стал звучать так: «Можно ли определить, доказуемо или нет некое — любое — конкретное высказывание?» Другими словами, есть ли механический процесс, посредством которого мы в состоянии отсеять доказуемые утверждения от недоказуемых?
— «Механический процесс», Алан, это вообще-то метафора…
— Ладно тебе, Руди. Мы с Лоуренсом не боимся механики.
— Усек, — сказал Лоуренс.
— Что значит «усек»? — спросил Алан.
— Твоя машина — не для дзета-функций, а другая, о которой мы говорили…
— Она называется Универсальная Машина Тьюринга, — сказал Руди.
— Вся эта хреновина нужна, чтобы отделять недоказуемые утверждения от доказуемых, верно?
— Вот для чего я придумал ее основную идею, — сказал Алан. — Так что на вопрос Гильберта ответ уже есть. Теперь я хочу на самом деле ее построить, чтобы обыграть Руди в шахматы.
— Ты еще не сообщил бедному Лоуренсу ответ, — напомнил Руди.
— Лоуренс сообразит, — сказал Алан. — Ему будет чем себя развлечь.
Скоро стало ясно, что Алан на самом деле хотел сказать: «Будет чем себя развлечь, пока мы займемся друг другом». Лоуренс засунул блокнот под брючный ремень, взял велосипед, отъехал ярдов на двести к сторожевой башне, поднялся по лестнице на платформу и сел спиной к заходящему солнцу, примостив на коленях блокнот, чтобы свет падал на страницу.
Сперва он не мог собраться с мыслями, потом его отвлекли сполохи на северо-востоке. Он подумал было, что это отблески заката на облаках, но свет шел явно из одного места и к тому же мерцал. Тогда Лоуренс предположил, что это молния, однако свет был недостаточно голубой и резко менялся под воздействием (надо полагать) каких-то могучих событий за горизонтом. Когда солнце скрылось за противоположным краем мира, свет на горизонте Нью-Джерси превратился в ровное сияние, того же цвета, что от фонарика, когда под одеялом смотришь на него через пальцы.
Лоуренс спустился с башни, сел на велосипед и покатил через Сосновую пустошь. Вскоре он выехал на дорогу, которая шла примерно в нужную сторону. Большую часть времени молодой человек вообще ничего не видел, даже дорогу, но часа через два отблески света легли на щебенку под колесами, и ручейки между сосен превратились в горящие трещины.
Дорога свернула не в ту сторону, и Лоуренс поехал напрямик через лес. Теперь было совсем близко, и он различал свет за редким сосняком — черные тощие стволы казались обгорелыми палками. Начался песок, сырой и плотный, а у велосипеда были толстые шины. Один раз пришлось остановиться и перебросить велосипед через колючую проволоку.