Дэвид осмотрел страницу. Она была пуста. Как же мисс By узнала? Он всегда соблюдал осторожность: легко нажимал на карандаш и тщательно стирал, оставляя как можно меньше следов — так он поступал со всем в жизни.
— Обходя класс во время контрольной, я увидела, что ты написал правильные ответы. И ты закончил решать задачи намного раньше остальных в классе. Потом ты просто сидел, глядя перед собой, пока половина учеников не сдала контрольные. И я увидела, как ты стираешь ответы, прежде чем сдать свою работу.
Дэвид промолчал. Ему нравилось, как его омывает голос мисс By. Он представил его в виде графика полинома, плавно поднимающегося, а потом опускающегося. Паузы в ее речи были корнями — в тех местах, где график пересекал ось «Х».
— Знаешь, нет ничего плохого в том, чтобы чем‑то интересоваться. — Она опустила руку ему на плечо. От нее пахло свежевыстиранным бельем, летними цветами. — Уметь что‑то делать хорошо.
Уже очень давно никто не обращал на него внимания просто так, а не после того, как случалось что‑то плохое. Он даже не сознавал, насколько ему этого не хватало.
Положительное рациональное число имеет форму
, где ри q— натуральные числа. Следуя вдоль стрелок на графике, мы можем быть уверены, что каждое положительное рациональное число будет рано или поздно пронумеровано на зигзагообразном пути через плоскость (пропуская любые повторения): первое 1/1, второе 2/1, третье 1/2, четвертое 3/1, пятое 1/3, шестое 4/1, седьмое 3/2, восьмое 2/3, и так до бесконечности. Подсчитывая их, мы отображаем каждое натуральное число относительно положительного рационального. И хотя кажется, что вселенная рациональных чисел будет намного больше вселенной натуральных чисел, оказывается, что они одного размера.
Но Кантор приводит еще более странный аргумент. Используя тот же метод, можно показать, что в интервале от 0 до 1 существует столько же рациональных чисел, сколько и всех рациональных чисел.
Просто немного изменив путь, чтобы всегда оставаться ниже линии
Алеф‑ноль заводит нашу интуицию в тупик. На графике вверху видно, что все рациональные числа между 0 и 1 занимают половину плоскости всех рациональных чисел, а остальные рациональные числа находятся на второй половине, и при этом одна половина не больше другой или всей плоскости. Разделите бесконечность пополам, и у вас все равно останется бесконечность. Превратите числовую прямую в плоскость, умножьте бесконечность на бесконечность, и все равно у вас получится бесконечность одного и того же размера.
Значит, можно утверждать, что часть способна быть такой же большой, как и целое. И что можно отобразить всю бесконечную последовательность рациональных чисел в пределах кажущегося конечным сегмента между 0 и 1. В каждой песчинке заключена Вселенная.
Линии накапливались одна за другой, поднимаясь с каждым «зигом» вдоль вертикальной оси, затем методично опускаясь и заполняя оставшееся пустое пространство с каждым падающим к горизонтальной оси «загом».
В конечной жизни существует бесконечное количество моментов. И кто сказал, что ты должен оставаться в настоящем и проживать их по порядку, один за другим?