– Ладно, давайте снова к «ОМ», – сказал Лоуренс.
– Да! Рассел и Уайтхед. Итак, когда математики начали играть со всякими корнями из минус единицы и кватернионами, это было уже не то, что можно перевести в палки и пробки. И все же они по-прежнему получали верные результаты.
– По крайней мере внутренне непротиворечивые, – уточнил Руди.
– О’кей. Значит, математика – больше, чем физика пробок.
– Так нам представляется, Лоуренс, но возникает вопрос: математика по правде или это только игра в символы? Другими словами: мы открываем Истину или просто балуемся?
– Она должна быть по правде, потому что, когда прикладываешь ее к физике, она работает! Я слышал про общую теорию относительности и знаю, что она подтверждена экспериментами.
– Большая часть математики не поддается экспериментальной проверке, – сказал Руди.
– Вся идея в том, чтобы укрепить связь с физикой, – произнес Алан.
– И при этом не баловаться.
– И для этого написаны «ОМ»?
– Рассел и Уайтхед свели все математические понятия к таким жутко простым вещам, как множества. Отсюда они перешли к целым числам и так далее.
– Но как можно свести к множествам, например, число «p»?
– Нельзя, – сказал Алан, – зато его можно выразить цепочкой цифр: три запятая один четыре один пять девять и так далее.
– То есть через целые числа, – сказал Руди.
– Нечестно! Само «p» – не целое!
– Но можно
– Я использовал ряд Лейбница, чтобы утешить нашего друга. Видишь, Лоуренс? Это цепочка символов.
– Цепочку символов вижу, – нехотя согласился Лоуренс.
– Можно идти дальше? Гёдель, всего несколько лет назад, сказал: «Послушайте! Вы согласны, что все в математике просто цепочка символов? Тогда вот!» И показал, что любую цепочку символов – вроде этой – можно превратить в целые числа.
– Как?
– Ничего сложного, Лоуренс, простой шифр. Произвольный. Вместо уродливой сигмы напиши число 538 и так далее.
– Очень близко к баловству.
– Нет, нет! Потому что Гёдель расставил ловушку. В формулу можно подставлять числа, да?
– Конечно. Как 2
Ему предстал земной шар – не в живой коже континентов и океанов, а только голый скелет: взорванные меридианы стягивались к ядру оранжевого пламени. На фоне огня они казались тонкими и четкими, как чертеж, однако когда Лоуренс подъехал ближе, начала прорисовываться умная система шпангоутов и стрингеров, полая, как птичья кость. По мере удаления от полюсов они рано или поздно начинали отклоняться от курса, или гнулись, или просто ломались и висели в огне, дрожа, как сухие стебли. Идеальную геометрию нарушали также паутина тросов, сплетение электрических проводов. Лоуренс едва не наехал на разбитую бутылку и решил дальше идти пешком, чтобы поберечь шины. Он положил велосипед передним колесом на алюминиевую вазу, словно выточенную на токарном станке, – из нее свешивалось несколько обугленных роз. Трое матросов сцепили руки наподобие трона и несли человекоподобный кусок угля в чистейшем асбестовом одеянии. Их ботинки задевали разветвленную сеть канатов, тросов и проволоки, вызывая движение травы и песка в десятках ярдов впереди, справа, сбоку. Лоуренс начал очень осторожно переставлять ноги – сначала одну, потом другую, – стараясь проникнуться величием того, что видит. Из песка торчало нечто вроде ракеты, увенчанное зонтиком гнутых пропеллеров. Дюралевые стойки и трапы разлетелись на мили. На земле валялся раскрытый чемодан, и в нем, как в витрине провинциальной лавки, пара дамских туфель; рядом меню, обугленное в овал, дальше – покореженные стенные панели, как будто с неба рухнула целая комната. На одной стене была огромная карта мира, где от Берлина разбегались круги к далеким и близким городам, на другой, фотографической, знаменитый толстый немец улыбался среди цветов на фоне новехонького цеппелина.
Через некоторое время Лоуренс перестал видеть что-нибудь новое, сел на велосипед и поехал к Сосновой пустоши, но заблудился в темноте и добрался до сторожевой башни уже после рассвета. Впрочем, он ничуть не горевал, что сбился с дороги, потому что думал про машину Тьюринга. В конце концов он все-таки добрался до озера, где стояла палатка. Спокойная гладь алела в лучах рассвета, как лужа крови. Алан Матисон Тьюринг и Рудольф фон Хакльгебер спали на берегу, сложившись, как ложки, еще немного грязные после ночного купания. Пока Лоуренс разводил костерок и готовил чай, они проснулись.
– Решил задачку? – спросил Алан.
– Ты можешь превратить свою Универсальную Машину Тьюринга в любую машину, меняя регистровки.
– Что меняя?
– Прости, Алан. Я думаю о твоей УМТ как о своего рода органе.
– А.
– После этого машина может выполнять любые вычисления, какие тебе угодно, лишь бы лента была достаточно длинной. Но, черт возьми, Алан, сделать такую длинную ленту, на которой можно было бы писать и стирать, – жуткая морока. Машина Атанасова работала только до определенного размера, и тебе придется…
– Речь о другом, – мягко сказал Алан.
– Ладно, хорошо. Если у тебя есть такая машина, то каждую конкретную комбинацию регистров можно обозначить числом – цепочкой символов. А лента, которую ты в нее запускаешь, чтобы начать вычисление, – другая цепочка символов. Так что это снова Гёделево доказательство: если любую возможную комбинацию регистров и данных на ленте можно представить в виде цепочки чисел, значит, ты можешь поместить все возможные цепочки в большую таблицу, применить к ней Канторов диагональный процесс, и ответ: да, должны быть некоторые числа, которые нельзя пересчитать.
– А Entscheidungsproblem? – напомнил Руди.
– Доказать или опровергнуть формулу – после того как ты зашифровал ее числом – значит просто рассчитать это число. Значит, ответ – нет! Некоторые формулы нельзя доказать или опровергнуть механическим процессом! Выходит, не так уж плохо быть человеком!
До этих слов Алан казался довольным, потом его лицо вытянулось.
– Ну вот, теперь ты делаешь непрошеные допущения.
– Не слушай его, Лоуренс! – сказал Руди. – Сейчас он заявит, что наш мозг – машина Тьюринга.
– Спасибо, Руди, – спокойно ответил Алан. – Лоуренс, я утверждаю, что наш мозг – машина Тьюринга.
– Но ты доказал, что есть целый ряд формул, с которыми машина Тьюринга не справляется!
– И ты это доказал, Лоуренс.
– А тебе не кажется, что мы можем то, чего не может машина Тьюринга?
– Гёдель с тобой согласен, Лоуренс, – вставил Руди, – и Харди тоже.
– Приведите пример, – попросил Алан.
– Невычислимой функции, с которой человек справится, а машина Тьюринга – нет?
– Да. Только не надо сентиментальной чепухи про творчество. Уверен, Универсальная Машина Тьюринга способна демонстрировать поведение, которое мы воспримем как творческое.
– Ну, не знаю… Буду думать.
Позже, когда они ехали к Принстону, Лоуренс спросил:
– Как насчет снов?
– Вроде твоих ангелов в церкви?
– Примерно.
– Просто шум в нейронах, Лоуренс.
– А еще мне вчера ночью приснилось, что горел цеппелин[6].
Вскоре защитившись и уехав в Англию, Алан прислал Лоуренсу пару писем. В последнем он сообщал просто, что больше не сможет писать «о серьезном», и просил не принимать это на свой счет. Лоуренс сразу догадался, что сообщество, к которому принадлежит Алан, приставило его к полезному делу – скорее всего вычислять, как бы их не съели заживо соседи. Интересно, какое применение найдет Америка