— Ничего себе «по-хорошему!» — взорвался от негодования Сэм- старший. — Да ты просто юный мошенник! Вот как ты используешь свое математическое образование! Впрочем, придется тебе подождать до завтра — возможно, мне удастся найти слабое место в твоих рассуждениях.
Весь день до самого вечера Сэм снова и снова перебирал в уме рассуждения сына, но никак не мог обнаружить в них ошибки. Все выглядело так, словно он, Сэм-старший, действительно должен был платить сыну по 1 доллару за каждое последующее бросание монеты и таким образом отдать Сэму-младшему все свои деньги. Доведенный почти до отчаяния, Сэм-старший вдруг вспомнил, что частенько встречал в клубе невысокого седоголового человека, о котором говорили, что он отставной профессор математики.
— Ну разве мой сын не умница? — со смешанными чувствами подумал Сэм-старший. — Насколько мне помнится, тот пожилой джентльмен всегда проигрывал, несмотря на все свои познания в математике.
Отыскав имя и адрес профессора в книге регистрации членов клуба, Сэм-старший в тот же вечер постучал в дверь дома, где жил профессор.
— Хочу сделать вам предложение, — заявил Сэм профессору. — Я берусь оплатить все ваши долги в клубе, если вы поможете мне решить одну математическую задачу.
И Сэм-старший поведал профессору свои затруднения.
— Очень любезно с вашей стороны, — ответил профессор, потирая руки. — Трюк, к которому прибег ваш сын, известен в теории вероятностей под названием Петербургского парадокса и был придумал швейцарским математиком Леонардом Эйлером, состоявшим в ту пору на службе при российском императорском дворе. Не сочтите за нескромность, но могу ли я спросить, сколько денег на вашем банковском счете?
— Но я вовсе не желаю выплачивать все свои деньги этому мальчишке!
Проходящие поезда
В небольшом городке на северо-западе США жил вышедший на пенсию машинист Уильям Джонсон. Железнодорожная магистраль, на которой он прослужил долгие годы, проходила через городок. Мистера Джонсона мучила бессонница и он частенько просыпался среди ночи и не мог заснуть до утра. Иногда в подобных случаях мистер Джонсон отправлялся на прогулку по пустынным улицам городка и неизменно приходил к переезду. Там он стоял, задумчиво глядя на рельсы, пока мимо, словно возникнув из ночной тьмы, не проносился поезд. При виде мелькающих вагонов на душе у мистера Джонсона становилось легче, он брел к себе домой и с высокой вероятностью засыпал.
Спустя некоторое время мистер Джонсон сделал прелюбопытное наблюдение: большинство поездов, которые он видел на переезде, шли в восточном направлении и лишь немногие — в западном, между тем мистеру Джонсону было прекрасно известно, что на этой линии на восток и на запад ходило одинаковое количество поездов, причем восточные и западные поезда чередовались. Мистер Джонсон уже было решил, что ошибся в своих подсчетах и, чтобы избавиться от сомнений, обзавелся блокнотом, в котором стал отмечать буквами «В» и «3» проходившие мимо поезда в зависимости от того, в каком направлении они шли. К концу первой недели набралось пять «В» и только две «3». Наблюдения на следующей неделе дали такое же соотношение.
— Может быть, все дело в том, что я просыпаюсь ночью в одно и то же время, — подумал, мистер Джонсон, — и прихожу к переезду незадолго до прохождения поездов, идущих на восток?
Озадаченный, мистер Джонсон решил предпринять строгое статистическое изучение проблемы и распространить наблюдения на дневное время. Он попросил своего приятеля составить для него длинный перечень произвольно выбранных моментов времени, например 9.35 утра, 12.00 — полдень, 3.07 дня и т. д., и, стоя у железнодорожного переезда, скрупулезно отмечал поезда, проходившие в указанное в перечне время на восток или на запад. Но все было тщетно: результат оказался тем же, что и прежде. Из ста поездов, проследовавших через переезд мимо мистера Джонсона, около семидесяти пяти шли на восток и только двадцать пять — на запад. В отчаянии мистер Джонсон даже позвонил в депо ближайшего большого города, пытаясь выяснить, не направлялись ли восточные поезда по какой-нибудь другой линии, но его заверили, что ничего подобного не происходило, все поезда следуют точно по расписанию и что поездов, идущих в восточном направлении, ровно столько же, сколько идущих на запад. Таинственное предпочтение поездов к направлению на восток довело мистера Джонсона до отчаяния. Он совсем потерял сон и тяжело заболел.
Местный врач, к которому обратился мистер Джонсон, был большим любителем математики и на досуге собирал задачи-головоломки.
— Это что-то новенькое, — заключил он, когда мистер Джонсон поведал ему о причинах своих треволнений. — Впрочем, минуту! Ведь должно же существовать какое-то рациональное объяснение!
И, поразмыслив несколько минут, врач дал правильное объяснение мучившей мистера Джонсона головоломке.
— Видите ли, — начал врач свое объяснение, — все дело именно в том, что поезда идут строго по расписанию, хотя вы и приходите к железнодорожному переезду в случайно выбранные моменты времени. Предположим, что поезда, идущие на восток, проходят через переезд в начале каждого часа, а поезда, идущие на запад, — каждый час с четвертью. Пусть число поездов, идущих на восток и на запад, будет одинаковым. Выясним теперь, какой поезд первым пройдет мимо вас, когда вы встанете у переезда. Если вы прибудете после начала часа, но не позже, чем час с четвертью, скажем, между 1.00 и 1.15, то первым мимо вас проследует поезд на запад, т. е. поезд, проходящий в 1.15. Но если вы опоздаете к этому поезду, то следующий поезд пройдет в 2.00 на восток.
Так как вы приходите на переезд в случайно выбранные моменты времени, то вероятность того, что вы прибудете в первую четверть часа, в три раза меньше, чем вероятность, что вы прибудете в остальные три четверти часа. Следовательно, вероятность, что первый поезд пройдет на восток, в три раза больше, чем вероятность, что он пройдет на запад. Именно это вы и наблюдали.
— Но я не понимаю, — возразил мистер Джонсон. — Если вероятность встретить поезд, идущий на восток, в три раза больше вероятности встретить поезд, идущий на запад, то разве не следует из этого математически, что поездов, идущих на восток, должно быть больше? Я не очень силен в математике, но такой вывод представляется мне естественным.
— Нет, вы заблуждаетесь, — улыбнулся врач. — Ну как вы не поймете? Первый поезд с большей вероятностью пройдет мимо вас на восток потому, что вероятность вашего появления на переезде в промежутке между поездом на запад и поездом на восток больше, чем вероятностъ появления в промежутке между поездом на восток и поездом на запад. Правда, ждать поезда в первом случае вам приходится гораздо дольше, чем во втором.
— Как так? — воскликнул окончательно запутавшийся машинист. — Что значит «ждать дольше»?
— Сейчас вам все станет ясно, — терпеливо продолжал объяснять врач. — Если вы приходите к переезду в первую четверть часа, то первым мимо вас проходит поезд на запад и ждать вам придется не более пятнадцати минут. Более того, реальное время ожидания составит в среднем всего лишь семь с половиной минут. С другой стороны, если вы опоздаете к поезду, идущему на запад, то вам придется в течение почти сорока пяти минут ждать, пока пройдет поезд на восток. Таким образом, хотя вероятность, что первым мимо вас проследует поезд на восток, в три раза больше, чем вероятность, что первым пройдет поезд на запад, поезда на восток вам придется ждать втрое дольше, что в какой-то мере уравнивает шансы.
Может быть, отношение числа поездов, идущих на восток, к числу поездов, идущих на запад, и не будет в точности совпадать с отношением четверти часа к трем четвертям, но я ничуть не сомневаюсь, что, просмотрев свой перечень случайно выбранных моментов времени, вы обнаружите отношение, близкое к названному. Такова общая схема событий. Если количество поездов, идущих на восток и на запад, одинаково, то ваши наблюдения, производимые достаточно долго, могут привести только к одному результату: поезда, идущие в восточном направлении, будут встречаться чаще, чем поезда, идущие в западном направлении. Лишь бы интервал от каждого поезда, идущего на восток, до поезда, идущего на запад, был короче, чем интервал от каждого поезда, идущего на запад, до поезда, идущего на восток.
— Мне нужно хорошенько все это обдумать, — произнес мистер Джонсон, почесав в затылке. — Значит, по-вашему, все дело в расписании поездов?
— Если хотите, разгадку мучившей вас загадки можно изложить иначе, не упоминая ни словом о расписании, — предложил врач[5]. — Возьмем, например, один-единственный поезд «Суперчиф», курсирующий между Чикаго и Лос-Анджелесом. Предположим, что мы находимся в пятистах милях от Чикаго и в тысяче пятистах милях от Лос-Анджелеса[6] и что вы приходите к переезду в случайно выбранные моменты времени. Где с наибольшей вероятностью находится в этот момент поезд?
Так как до Лос-Анджелеса втрое дальше, чем до Чикаго, то шансы 3: 1 за то, что поезд находится к западу от вас, а не к востоку. А коль скоро он находится к западу от вас, то впервые поезд пройдет мимо вас, двигаясь на восток. Разумеется, если между Чикаго и Калифорнией курсирует не один, а много поездов, как это и происходит в действительности, то ситуация не изменится, и первый поезд, который проследует мимо нашего городка в любой момент времени, вероятнее всего будет двигаться на восток.
— Весьма вам признателен, доктор, — произнес мистер Джонсон, встав с кресла и взяв шляпу. — Вы излечили меня без всяких лекарств.
Встречные поезда
Через несколько дней после того, как мистер Джонсон нанес визит врачу, тот позвонил ему по телефону.
— Не могли бы вы заглянуть сегодня ко мне в приемную? — спросил врач. — Мне очень хотелось бы обсудить с вами еще один вопрос относительно железной дороги.
— С удовольствием, — охотно согласился мистер Джонсон, у которого после выхода на пенсию свободного времени стало хоть отбавляй.
— Я хочу предложить вашему вниманию одну задачку, о которой узнал от моего пациента, — сообщил доктор, когда мистер Джонсон устроился в кресле и вопросительно посмотрел на хозяина кабинета. — В разговоре с ним я рассказал о тех треволнениях, которые вам пришлось пережить из-за поездов, идущих на восток и на запад. В ответ пациент сообщил мне, что когда он едет в своей автомашине на работу, ему приходится пересекать железную дорогу — одноколейку, по которой в основном курсируют товарные поезда. Каждый такой поезд насчитывает много вагонов и тащится через переезд необычайно медленно. Моему пациенту приходится подолгу простаивать перед закрытым шлагбаумом, глядя на мерцающие сигнальные огни и еле движущуюся вереницу вагонов. Мой пациент мечтает о прокладке еще одной, второй, колеи. Это позволило бы, по его мнению, товарным поездам идущим на восток и на запад, лишь иногда встречаться на переезде, отчего общее время ожидания для водителей автомашин сократилось бы. А как по-вашему, сократилось бы время ожидания для автотранспорта от прокладки второй колеи?
— Разумеется, сократилось бы, — подтвердил старый машинист. — Если общее число поездов останется неизменным, то из-за случайных перекрытий встречных поездов у переезда средняя продолжительность простоя автотранспорта у переезда должна сократиться. Ведь это так ясно! Если два поезда минуют переезд одновременно, то время, которое потратил бы автомобилист, пропуская их, сократилось бы вдвое — до времени, которое ему пришлось бы ждать у шлагбаума, пока пройдет один поезд.
— Но так было бы только в том случае, если бы оба поезда в точности «перекрылись», т. е. одновременно въезжали на переезд и одновременно покидали его. В другом предельном случае ситуация была совершенно другой. Представьте себе, что локомотив одного въезжает на переезд в тот самый момент, когда его покидает тормозная площадка последнего вагона другого поезда. Что тогда?
— Ничего особенного. Мне кажется, этот случай ничем не отличается от того, когда оба поезда вообще не перекрываются.
— О нет! Тут вы, мистер Джонсон, глубоко заблуждаетесь. Я могу доказать это вам с помощью нехитрой арифметики. Предположим, что в среднем в каждом направлении за один час проходит один поезд и что каждый поезд минует переезд за 6 минут, и вычислим, сколько приходится ждать автомобилисту у закрытого шлагбаума в этом случае. Вероятность прибыть к закрытому шлагбаума (во время прохождения поезда через переезд) и любоваться мерцающими красными фонарями равна 1/10. Поскольку автомобилист с равной вероятностью может прибыть к переезду, когда поезд только выезжает на переезд или покидает его, то среднее время ожидания у закрытого шлагбаума составляет 3 минуты. Таким образом, в этом случае ждать в среднем, пока поезд минует переезд, придется 3 минуты.
Предположим теперь, что встречные поезда всегда немного перекрываются, минуя переезд — локомотив одного поезда чуть-чуть заходит за тормозную площадку последнего вагона другого. Как нетрудно понять, в этом случае все происходит так, как если бы поездов было вдвое меньше, но каждый поезд стал бы вдвое длиннее.
— Какая разница? — возразил мистер Джонсон.
— Разница есть, причем большая! Разумеется, вероятность подъехать к закрытому шлагбауму на переезде остается прежней. Но ждать у закрытого шлагбаума в этом случае пришлось бы вдвое дольше.
Таким образом, подъехав к переезду и увидев, что встречные поезда перекрылись только локомотивами, автомобилист вынужден будет ждать вдвое дольше.
— Понимаю, — задумчиво проговорил старый машинист, — если бы между поездами был промежуток в несколько минут, то автомобилист, пропустив один поезд, мог бы миновать переезд до того, как другой поезд прибудет к переезду, а если поезда перекрываются, то никакого промежутка между ними не получается.