Гирька по очереди то подпрыгивала все выше и выше, то уходила все глубже в колодец. И каждый раз загорался зеленый огонек. Тут-то я и понял, что, когда отрицательное число возводишь в четную степень, ответ получается положительный, а когда в нечетную — отрицательный. Хочешь знать почему? Возьми карандаш и разберись сам.
Наконец мы решили, что достаточно углубили свои знания в колодце, и отправились дальше.
По дороге нам повстречалась старая знакомая — та самая Мнимая Единичка, которая спрашивала у автомата, найдется ли ей место в жизни. Мы ее сразу узнали по маленькому красному зонтику.
— Здравствуйте, как поживаете?
— Отлично, — ответила она. — Автомат сказал правду: и Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться.
— Неужели вы нашли себе место на воздушной монорельсовой дороге?
— Конечно, но не на той ветке, где живут действительные числа. У нас, Мнимых Единиц, собственная дорога. Она пересекает воздушную монорельсовую как раз на Нулевой станции.
— Как же мы ее не заметили? — спросил Сева.
— Так ведь наша дорога мнимая и не сразу бросается в глаза.
— Жаль, что не сразу! — сердито отрезал Сева. — Теперь придется возвращаться, чтобы посмотреть на нее.
— Возвращаться к старому иногда полезно, — заметила Мнимая Единичка. — Но с небольшим кусочком мнимой дороги вы можете познакомиться и здесь. В парке построен новый аттракцион. Он называется «Мнимая карусель». Я там работаю. Хотите взглянуть?
Хотим ли мы взглянуть на карусель, да еще мнимую? Как ты думаешь?
Олег.
Мнимая карусель
— М-да! Такого числа нет. Какое число ни возводи в квадрат, положительное или отрицательное, ответ все равно получится положительный. Уж я-то знаю!
— Вот видите. Потому-то корень квадратный из минус единицы называется мнимой единицей.
— Выходит, мнимые единицы совсем особые числа. Наверное, и дорога у вас устроена как-нибудь особенно.
— Ничуть. Наша дорога очень похожа на ту, где живут действительные числа, только расположена она под прямым углом к ней. Это такая же бесконечная прямая, в центре которой находится все та же Нулевая станция.
— Раз у вас есть Нулевая станция, значит есть положительные и отрицательные числа?
— Что вы! Разве мнимые числа могут быть положительными и отрицательными? Просто на нашей дороге, так же как и на дороге действительных чисел, есть два направления от нуля. Одно из них условились обозначать знаком плюс, другое — знаком минус.
— Но как же мнимые числа отличают от действительных?
— С помощью буквы i: 2i, 5i, —8i, —12i.
— Вот как! У вас, как и у других букв в Аль-Джебре, тоже есть коэффициенты?
— Конечно.
— А где же ваш коэффициент? — ляпнул Сева.
И когда только он научится вести себя в обществе? Хорошо еще, воспитанная Единичка сделала вид, что не заметила его бестактности.
— Мой коэффициент — единица, и он, как всегда, невидимка.
Но Сева уже закусил удила. Ужасный он спорщик!
— Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда при чем здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идет по прямой, а карусель-то кружится?
— Вы отчасти правы, — ответила Мнимая Единичка. — Правила движений у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа; 2i + 3i = 5i; 8i — 15i = — 7i, или вот еще: —3i + 9i = 6i, ну и конечно: 5i — 5i = 0.
Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.
Иное дело — умножение, деление, возведение в степень… Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.
Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.
Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре — арена, ее под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах ее укреплены таблички +1 и —1. Другая перекладина изображает дорогу мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички
Мнимая Единица с желтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички —1 и превратилась в действительное число — Отрицательную Единицу.
Возле таблички снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и — невероятно! — опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да еще положительную. А потом как ни в чем не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.
Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и все началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица все превращалась и превращалась.
— Не понимаю, — сказал Сева. — Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная — опять в Мнимую… Как это?
— На то и возведение в степень! — отозвалась Мнимая Единичка. — Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы: i = v—1. Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?
— Подкоренное число, — ответил Олег.
— Так это же мы недавно видели! — вспомнил Сева. — Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трех, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.
— То же самое происходит и с Мнимой Единицей: i2 = i * i = (v—1)2 = —1.
— Ну, это понятно. А как же действительное число — минус единица превращается в мнимое?
— При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень: i3 = i2* i.
А это ведь все равно что умножить минус единицу на i: —1 * i = —i.
— Теперь, — сказал Олег, — нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом —i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1. Она возводится в четвертую степень: i4 = i2 * i2
А это можно представить себе и так: —1 * —1 = +1.
— Прекрасно! — воскликнула Мнимая Единичка. — Остается выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.
В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.
— Не может быть! i5 равно i?! — растерялись мы. — Что же это такое?
— Да ничего особенного:
— Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвертую степень? — удивился Олег.
— Отчего же! — возразила Мнимая Единичка. — Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую… Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!
Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется
Селям алейкум, старина! Я теперь тоже умею говорить по-восточному. Поживешь в Аль-Джебре — не то еще узнаешь!
Сегодня мы учились решать уравнения. Правда, пока еще первой степени. Но и это не так уж мало.
Здесь есть особая площадка, где решают эти уравнения. И не как-нибудь вручную, а подъемными кранами. Механизация!
Когда подходишь к этой площадке, видишь одни только краны. Длинношеие, вроде жирафов. Жирафы то поднимают голову, то опускают, то тянутся друг другу навстречу. Только переносят они не кирпичи, не блоки, а буквы, числа, знаки сложения, вычитания. Словом, все, что понадобится.
Таня оставила в покое свой фасонистый комбинезон, пришла в школьном платье. И очки сняла. Правильно сделала: электросваркой ей здесь заниматься не пришлось.
Что нам бросилось в глаза, — это иксы. Их здесь видимо-невидимо. Ведь там, где решают уравнения, без иксов не обойтись.
Эф не отпускала нас ни на шаг. Наверное, боялась, как бы кого не ушибло краном, хотя везде и так развешаны плакаты:
ПОД КРАНОМ НЕ СТОЯТЬ!
Во время аль-джебры и аль-мукабалы к уравнениям не подходить!
Высоко-высоко, в кабинке крана, сидела молоденькая крановщица — буква Ка. Она передвигала рычаги и зорко следила за регулировщицей Эр. Та стояла внизу. В каждой руке — по флажку. Ими она указывала крановщице, куда двигать кран.
Под краном чинно стояли Икс в черной маске, Двойка и Шестерка. Они образовали такое уравнение: х — 2 = 6.
Регулировщица медленно опустила один флажок, и так же медленно наклонил свою жирафью шею кран с большим крюком на конце. Крюк осторожно подцепил Двойку, которая торопливо прихватила свой минус. Регулировщица помахала флажком, и кран замер. Потом она крикнула: «Аль-джебр!» — прямо как у нас кричат «майна» или «вира». И вот уже Двойка с минусом заболтала ножками в воздухе и поплыла к правой части уравнения.
Когда она поравнялась со знаком равенства, регулировщица скомандовала: «Переменить знак!» Двойка быстро положила минус в карман и вынула оттуда знак плюс. И вот уже она рядом с Шестеркой в правой части равенства: х = 6 + 2.
А через секунду вместо этого мы увидели: х = 8.
Черная маска упала, Икс поднял ее, низко поклонился Ка и Эр и скрылся. А мы перешли к другому крану. Там уже стояло такое уравнение: 3х + 6 = 12.
Снова крановщица нажимала на рычаги, снова регулировщица махала флажками, кричала: «Аль-джебр!» — и скоро под краном появилось вот что: 3х = 12 — 6.
Мы переглянулись.
— В чем дело? — спросила Эф. — Что-нибудь непонятно?
— Непонятно, — признался Олег. — До сих пор нам показывали только такие задачи, где отрицательное число переносится из левой части равенства в правую и превращается в положительное. Действие это называется «аль-джебр», по-нашему — восстановление. На этот раз в левой части равенства было положительное число шесть, и его перенесли в правую часть со знаком минус. При чем же здесь восстановление?
— Законный вопрос, — развела руками Эф. — Но вспомните, что «аль-джебр» — слово, пришедшее к нам из далекой древности. А древние слова по дороге часто теряют свое первоначальное значение. Взять хоть слово «чернила». Поначалу чернила были только черные. Сейчас есть и красные, и зеленые, и синие, и фиолетовые. Но никто же не называет их ни краснилами, ни синилами!
— Как интересно! — сказала Таня. — Таких слов, наверное, много.
— Перочинный ножик! — вспомнил я. — Раньше им перья чинили, а теперь карандаши.
— Правильно! — сказала Эф. — То же самое случилось и со словом «аль-джебр». Мухаммед ибн Муса применил его тогда, когда отрицательные числа были бесправными. Перенося их в правую часть равенства с положительным знаком, он восстанавливал их в правах. Но отношение к отрицательным числам давно уже переменилось. И теперь понятие «аль-джебр» расширилось. Оно означает не только перенос отрицательного числа из одной части равенства в другую с положительным знаком, но и вообще перенос любого числа с обратным знаком. Но вернемся все-таки к нашему уравнению, — закончила свою речь Эф.
Мы посмотрели на площадку. Там теперь вместо 3х = 12 — 6 стояло: 3х = 6.
Странное дело: уравнение решено, а на Иксе по-прежнему черная маска.
— Ошибаетесь, — сказала Эф. — Решить уравнение — значит вычислить, чему равен один икс. Мы же пока знаем, чему равны три икса.
— Ну, это нетрудно, — сказал Олег. — Чтобы вычислить икс, надо шесть разделить на три.