— Настолько воображаемая, что ей, как и другим мнимым числам, не нашлось местечка на всей бесконечной монорельсовой дороге.
— Так вот почему она была такая грустная! — смекнул Сева.
— А где же тогда живут мнимые числа? — спросил Олег.
— Всякому овощу свое время.
Пришлось спрятать любопытство в карман. Мы распрощались с мамой Двойкой и пошли… Куда бы ты думал? Конечно, в Парк Науки и Отдыха.
Как мы там отдыхали, узнаешь из следующего письма.
Таня.
Молотобойцы
Потом стукнул Олег. Он возвел два в десятую степень. Получилось 1024. И когда гирька долетела до этого числа, снова зажглась зеленая лампочка. Все это показалось мне очень уж обыкновенным. Захотелось отмочить что-нибудь такое, чтобы все ахнули. Я объявил, что сделаю удар в честь моего друга Нулика-Профессора.
Возвел двойку в нулевую степень. У меня получился нуль.
Я изо всей силы трахнул молотком по наковальне, и-ха-ха! — гирька осталась на нуле. Этого-то я и хотел! Но как же я удивился, когда вместо зеленого огонька зажегся красный! Может быть, я так сильно ударил, что силомер испортился? Но почему же тогда все кругом засмеялись?
Я не знал что и подумать, но тут какая-то латинская буковка — не то Эн, не то Эм — сказала, что таких ошибок у них даже дети не делают и что любое число, возведенное в нулевую степень, всегда равно не нулю, а единице. Я несколько раз проверил это на силомере — правильно! И пять, и сто, и двести — все они в нулевой степени равны единице.
Тогда я решил возвести в нулевую степень нуль. Я рассуждал так: коли нуль — это число, а все числа в нулевой степени равны единице, то и нуль в нулевой степени тоже равен единице. Ударил по наковальне и…
Лучше бы я этого никогда не делал!
Гирька словно взбесилась: сперва взвилась под облака, потом ушла куда-то под землю, потом опять взмыла вверх. И так она металась туда-сюда, пока кто-то не догадался выключить силомер.
Тут уж никто не смеялся. У всех были испуганные лица — почти как на том представлении, где твой тезка, Нулик, стащил знак умножения. Я и сам-то перепугался до смерти.
Страшнее всего было то, что гиря все время куда-то проваливалась. Оказалось, числовая прямая уходит другим концом в бездонный колодец, где помещаются отрицательные числа.
Наверное, у меня был очень несчастный вид, потому что та же буква — не то Эм, не то Эн — подошла ко мне и стала утешать.
— Успокойтесь, — сказала она, — так может быть со всяким, кто впервые в Аль-Джебре. Нуль и в самом деле число, но совсем особенное. Вы ведь помните, что оно не бывает ни положительным, ни отрицательным. Поэтому обращаться с ним надо осторожно. А когда возводишь нуль, да еще в нулевую степень, нужно быть осторожным вдвойне. Потому что при этом получается неопределенное число. Оно может быть и пятеркой, и миллионом, и бесконечностью, и положительным, и отрицательным, и даже нулем! Поэтому гирька до того растерялась и разнервничалась, что силомер испортился.
Славная буковка! Мне захотелось сказать ей что-нибудь приятное. Вообще-то у меня это плохо получается. Но я вовремя вспомнил, как тетя Нина разговаривает с гостями.
— Ах, ах, это в высшей степени интересно! — сказал я самым что ни на есть разлюбезным голосом.
— Благодарю вас, — засмеялась буковка. — Но не советую употреблять выражение «в высшей степени» в Аль-Джебре. Как бы ни была высока степень, всегда найдется еще более высокая. Ведь числа бесконечны.
Эх, подвела меня тетя!
Тут силомер снова наладили, и Тане вздумалось возвести число не в целую степень, а в дробную.
— Если возвести четыре в половинную степень, по-моему, получится два, — сказала она.
— С чего это ты взяла? — спросил я.
— А вот с чего: четыре в нулевой степени равно единице. Четыре в первой степени — четырем. Значит, четыре в половинной степени равно половине от четырех, то есть двум.
Таня стукнула молотком. Гирька остановилась у числа два, и вспыхнула зеленая лампочка. Тогда и мне захотелось попробовать.
— Возвожу девять в половинную степень, — объявил я. — Рассуждаю так: девять в нулевой степени — это единица. Девять в первой степени — девять. Значит, девять в половинной степени равно четырем с половиной.
Я торжественно стукнул молотком, гирька остановилась на четырех с половиной, и… вспыхнула красная лампочка. Я прямо обалдел. Несчастный я человек! Ну почему, почему мне так не везет? Ведь я рассуждал точно так же, как Таня!
И снова на помощь мне пришла та же буковка (а я так и не запомнил — Эм она или Эн!).
— Дело в том, — сказала она, — что эта девочка допустила ошибку, а вы ее повторили. Девять в половинной степени и вправду находится между единицей и девяткой. Но оно вовсе не равно половине от девяти. Для того чтобы возвести число в половинную степень, надо не делить его на два, а извлечь из него корень второй степени. А корень второй степени из девяти равен трем, а не четырем с половиной.
— Так почему же у Тани получилось правильно?
— Да потому, что корень второй степени из четырех равен двум, а два и есть как раз половина от четырех. И это — простое совпадение.
Таня, конечно, покраснела, а Олег (он всегда ее выручает), чтобы отвлечь от нее внимание, сделал вывод:
— Значит, возвести число в степень, равную одной пятой — это все равно что извлечь из этого числа корень пятой степени.
Например: 31/5 = 5v3.
— Ваша правда, — подтвердила буковка.
— Тогда, наверное, и обратно, — продолжал Олег. — Возвести число в пятую степень — это все равно что извлечь из него корень степени одна пятая: 35 = 1/5v3.
Что ты скажешь! Он и на этот раз попал в самую точку!
Тут мне пришло в голову, что если можно возводить числа в положительные степени, то почему бы не попробовать в отрицательные? Буковка посмотрела на меня пристально:
— Уж очень вы торопитесь! Аль-Джебра — государство большое. Для того чтобы с ним как следует познакомиться, нужны не дни, не недели, а годы…
Еще чего! А как же Черная Маска? Так и останется без лица?
Посовещались немного и решили, что довольно ходить вокруг да около. Пора приниматься за дело. Но прежде неплохо бы закусить! То-то мне стали вспоминаться гостеприимные обжоры…
Буковка словно угадала мои мысли:
— Может быть, вы проголодались? Тогда советую зайти в кафе «Абракадабра».
А нам только того и надо!
Хочешь знать, что дальше? Потерпи немножко. Всякому овощу…
Сева.
Нулик-пограничник
Пламенный привет от Нулика-Пограничника! Теперь наша школа называется пограничной. Мы не пропускаем ни одной цифры, пока не узнаем, какой у нее знак отличия: плюс или минус. Один Нулик даже не пустил домой собственную маму, потому что она рассердилась и не хотела отвечать на его вопросы. Кончилось тем, что мама его наказала, пожаловалась моей маме и нашу школу чуть не закрыли.
Хорошо еще, что у меня такая добрая мама. Она меня простила и даже подарила силомер. Получше вашего-то: волшебный! Выбираешь число, задумываешь, в какую степень его возвести, бьешь молотком, и гирька сама показывает ответ.
Я принес силомер в школу, и все стали возводить нуль в разные степени. Но как мы ни старались, гирька ни разу не поднялась выше нуля. Словно ее приклеили. Как вы думаете, отчего это? Может, у нас сил не хватает, чтобы ударить как следует?
Потом я надумал сделать то, чего вы не успели: возвести целое положительное число в отрицательную степень.
Но и от этого толку мало: какое число ни возьмешь, гирька хоть и поднимается, но очень немножко, не выше единицы. Тогда мы взяли большущее число 1000 и возвели его в минус третью степень: 1000—3. Ухватились за молоток сообща и как трахнем! А противная гирька почти не сдвинулась с места. Что ж это такое? Неужели мама подарила мне испорченный силомер?
Я на нее очень обиделся, но она только рассмеялась. Она вообще любит смеяться. А потом сказала, что если возводить целое положительное число в целую отрицательную степень, то больше единицы никогда не получится. И чем большее число возводишь, тем меньшее число получается. Вот силомер и показал всего — навсего одну миллиардную: 0,000000001.
Пришлось поверить на слово. Потому что, отчего это происходит, мама не объяснила. Зато она сказала, что число, которое возводится в степень, называется основанием степени, число, в которое возводится это основание, — показателем степени, а уж сама степень получается только в ответе.
На этом основании я могу сказать, что не только вы меня, но и я вас могу кое-чему научить. Вот как!
Нулик-Пограничник.
P.S. Когда же вы напишете про кафе «Абракадабра»?
Карнавал
— Пусть каждый из вас, — сказал он, — задумает какое-нибудь число. Задумали? Хорошо. Теперь умножьте его на три. Так. Прибавьте четыре. Готово? Теперь пусть каждый скажет, какое число у него получилось.
— Десять! — объявила Таня.
— Нет, девятнадцать! — возразил Сева.
— А у меня шестьдесят четыре, — сказал я.
— Видите, вас трое, и у каждого получилось по-разному.
Но в этой игре могут быть тысячи, миллионы участников. Каждый может задумать любое число, и мы получим целую гору ответов. Для того только чтобы прочитать их — не то что записать, — понадобится уйма времени. А я вот записал на этом клочке бумаги все возможные ответы.
И Дэ показал нам свою запись: 3а + 4.
— Позвольте, где же девятнадцать? — всполошился Сева.
— Да здесь же. Вы, как я догадываюсь, задумали число пять. Трижды пять — пятнадцать. Прибавим четыре — получится девятнадцать.
— Но где же тут пять?
— Да вот оно: буква
— Вы что, задумали два одинаковых числа?
— Нет, разные.
— Тогда почему же они обозначены одинаковыми буквами? У нас, слава богу, и других достаточно. Уж если вы задумали разные числа, так и обозначайте их разными буквами: 2а + 5b.
— Почему это, — спросила Таня, — вы говорите, что умножаете два на а, пять на b, а знаков умножения не ставите? Может, вы экономите крестики? Поставили бы хоть точку.
— Мы и вправду экономим, но не крестики, а время. И не только время, но и место. Разве 2а не тоже самое, что а, умноженное на два, иначе говоря: а, взятое два раза? Для чего же тратить место на знак умножения? Однако что же это мы здесь стоим! — спохватился Дэ. — На стадионе, наверное, уже начался физкультурный парад. Вот где вам покажут разные действия, которые у нас называются алгебраическими.
И мы заторопились на стадион. А теперь, как в театре, антракт.
Олег.
Примечание: скажи тому Нулику, который не пускал домой маму, — пусть зарубит на носу, что положительными и отрицательными бывают только числа, а не цифры. А так как у вас, в Карликании, все мамы цифры, то дома никаких знаков отличия у них нет. Эти знаки появляются только на работе, когда мамы-цифры становятся числами. Вот как!