У одного черепа мы с Единичкой, как всегда, заспорили. Я сказал, что это череп андертальца, Единичка уверяла, что нет, не андертальца. Вот спорщица! Откуда ей знать, андерталец это или нет? Я рассердился и увёл её в другой грот, где экспонировалось все, что относится к самой древней эре нашей Земли, к так называемой кайнозойской эре. Эра эта, в свою очередь, как я узнал, разделяется ещё на периоды — третичный период, четвертичный период. И, представьте себе, в самом конце этого четвертичного периода — то есть миллионы лет назад! — жили такие же люди, как и мы с вами. Они не только были похожи на нас как две капли воды, но даже платья носили такие же. Чудеса! Как сказал герой Шекспира Гамлет: «Есть многое на свете, друг Горацио, что и не снилось вашим мудрецам!»
При выходе из пещеры к нам подошли какие-то молодые люди и повели на игры, устроенные по случаю полнолуния. Одна игра мне поначалу очень понравилась.
На земле вычерчивались два больших круга — Луна и Солнце. Окружности делили отметинами на шесть равных отрезков (по 60 градусов каждый). У одной из отметин на каждой окружности ставили столб с флажком: на Луне с изображением Луны, на Солнце, сами понимаете, с изображением Солнца.
Игра эта напоминала считалку, и участвовали в ней шесть человек — все под номерами, как олимпийские бегуны. Игроки размещались по ходу часовой стрелки на окружности Луны, причём игрок номер 1 становился у столба, а остальные, то есть второй, третий, четвёртый, пятый и шестой, занимали места у следующих отметин. Судья отсчитывал пальцем третьего игрока, тот немедленно перебегал с Луны на Солнце и занимал место у столба. Судья снова отсчитывал третьего игрока после выбывшего: на сей раз это был игрок номер 6. Тот тоже переселялся с Луны на Солнце и становился у следующей после столба отметины, отсчитывая её опять-таки по ходу часовой стрелки. А судья продолжал ходить по кругу и отсчитывать каждого третьего. Так продолжалось до тех пор, пока все обитатели Луны не оказались на Солнце. Только здесь они стояли уже в другом порядке: не 1, 2, 3, 4, 5 и 6, а 3, 6, 4, 2, 5 и 1.
Теперь судья таким же способом, то есть отсчитывая каждого третьего от столба, стал переселять игроков обратно с Солнца на Луну, потом снова с Луны на Солнце, потом опять с Солнца на Луну и так далее и тому подобное. Мне это, признаться, порядком наскучило, и я поинтересовался, до каких пор несчастных будут гонять туда-обратно.
— А до тех пор, — сказали мне, — пока игроки не расположатся в первоначальном порядке, то есть 1, 2, 3, 4, 5 и 6…
Так вот в чём дело! Стало быть, речь идёт о перестановках! Ну нет, с меня довольно! Ведь я-то знаю, сколько перестановок можно сделать из шести чисел: семьсот двадцать! Ни больше, ни меньше! И я, предварительно извинившись, ретировался. А Единичка осталась, но вскоре тоже присоединилась ко мне, вскользь заметив, что эту игру следовало бы назвать «Упрямая пятёрка». При чём тут пятёрка? Уж эта мне Единичка! Всегда сболтнёт что-нибудь неподходящее. Хорошо ещё, что я-то догадался промолчать, и мы тотчас двинулись дальше.
Вскоре я увидел мальчика, дремавшего возле огромного чана с орехами, предназначенными для участников сегодняшних игр. Мальчик сонным голосом объяснил, что каждые пятнадцать минут сюда привозят новую партию орехов. При этом всякий раз насыпают в чан ровно столько, сколько там уже есть. Допустим, сначала в чане было 10 орехов. Через пятнадцать минут туда насыпали столько же, и орехов стало уже двадцать. Ещё через пятнадцать минут их уже оказалось сорок, и так далее.
Бедный ребёнок! Сидит уже больше суток, а чан пока что наполнился только на одну четверть. Долго ему придётся ждать, пока чан наполнится доверху!
Единичка, однако, заявила, что ждать не так уж долго, как мне кажется, и, несмотря на мои протесты, упросила остаться всего на полчасика. И вот мы сидим и ждём у моря погоды. Подождите немного и вы — до следующего сообщения.
Тринадцатое заседание КРМ
намечено было провести в школьном спортзале, но преподаватель физкультуры, узнав, что шестой член нашего клуба — существо собачьей породы, запротестовал. Пришлось взять грех на душу и пообещать ему, что Пончик будет вести себя смирно и вежливо, хоть особой уверенности в этом ни у кого из нас не было. Словно в благодарность за поручительство, Пончик и впрямь был тих, как мышка. Всем на удивление, он залаял всего один раз, и то, когда смолчать было бы невмоготу и немому.
Встреча наша началась с небольшой разминки. Ребята поиграли в баскетбол: Сева и Нулик против Тани и Олега. Матч, который судили мы с Пончиком, окончился вничью, после чего первым обсуждение начал президент: ему опять не терпелось высказаться по географическим вопросам…
— Озеро Чад очень мелководно, — зачастил он без знаков препинания, — глубина его в среднем около полутора метров, поэтому нечего было Магистру ожидать мощного теплохода плоскодонка самое милое дело для такого озера, а шест ему дали не затем чтобы грести, а чтобы отталкиваться от дна и никаких навигационных приборов на плоскодонке не бывает, а насчёт символа дружбы передаю слово другому оратору потому что ничего об этом не знаю… Уф!
Нулик брякнулся на скамью и долго ещё «отдышивался», прислушиваясь к выступлению Тани.
— Напомню, — сказала она, — что дно плоскодонки имело форму правильного пятиугольника, и Единичка верно поступила, вычертив на нём диагонали. Ведь у неё получилась пятиконечная звезда! А это и есть пифагоров символ дружбы.
— Выходит, пятиконечная звезда считалась символом дружбы и в древности, а не только в наше время! — удивился Сева.
— Выходит. Звезда у пифагорейцев была чем-то вроде талисмана, которым одаривали друзей. Однажды некий пифагореец, скитаясь где-то далеко от родины, заболел. Какой-то добрый человек приютил его в своём доме и ухаживал за ним до самой его кончины. Перед смертью больной посоветовал хозяину нарисовать на своём жилище пятиконечную звезду. Несколько лет спустя попал в эту страну другой пифагореец. Увидав дом с пятиконечной звездой на стене, он тотчас понял, что здесь побывал его собрат-пифагореец, и щедро отблагодарил заботливого хозяина.
— Но почему Пифагор выбрал именно этот символ? — спросил Нулик.
— А потому, что считал эту фигуру удивительной. Она и впрямь удивительна. Неспроста Единичка, вычерчивая её, всё время приговаривала: «Ай да золото!»
— Может быть, у плоскодонки было золотое дно? — предположил Нулик.
— Да нет, дно было баобабовым, а вот свойства пятиконечной звезды и в самом деле чистое золото. Это и подметил Пифагор.
Таня разложила на полу большой чертёж с изображением правильного пятиугольника. Внутри пятиугольника она провела пять диагоналей, которые образовали пятиконечную звезду с вершинами в точках A, B, C, D и E.
Склонившись над чертежом, ребята пристально вглядывались в фигуру.
— Ой, — закричал Нулик, — что я заметил! Внутри звезды ещё пятиугольник, а в нём ещё звезда. И так без конца…
— А если б ты был ещё внимательней, — сказала Таня, — то заметил бы, что диагонали большого пятиугольника делят угол при его вершинах на три угла, каждый из которых равен 36 градусам.
— Выходит, угол при вершине пятиугольника равен 108 градусам, — подсчитал Нулик.
— А сумма пяти углов звезды — 180, — сообразил Сева. — Совсем как у треугольника. Действительно замечательная фигура!
— Это что! — возразила Таня. — Самое замечательное свойство звезды впереди. Рассмотрим какую-нибудь из её сторон, то есть диагональ пятиугольника, — вот хотя бы диагональ AD. Диагональ эту в точке
A
Я похвалил Нулика за педантичность и предложил установить, в какой пропорции второй лист делит расстояние между первым и третьим.
— Минуточку! — Сева вынул карандаш и блокнот. — 20 минус 12,36 — это 7,64. Таково расстояние между вторым и третьим листьями. Значит, 7,64 так относится к 12,36, как 12,36 относится к 20.
7,64:12,36 = 12,36:20.
— Но это и есть золотая пропорция! — подытожил я. — Ведь отношение верхнего деления к нижнему равно здесь отношению нижнего деления к общему расстоянию между крайними листьями. Как видите, природа — отличный художник. У неё верный глазомер и тонкое чувство гармонии.
— Ну, это ещё надо проверить! — изрёк Нулик (этого хлебом не корми — дай ему попроверять!).
— Проверяй, кто ж тебе мешает.
— Легко сказать, а как?
— Эх ты, Фома неверующий! Перемножь крайние и средние члены пропорции и увидишь, что оба произведения одинаковы.
— Действительно, — степенно процедил Нулик, поколдовав над клочком бумаги. — 7,64, умноженное на 20, равно 152,8. И 12,36, умноженные на 12,36, — это тоже 152,8. Природа, оказывается, не глупее Пифагора…
При этих словах все невольно обернулись к окну да так и ахнули:
— Снег! Первый снег!..
Вот тут и залаял Пончик. Он сразу понял, что произошло нечто удивительно радостное, и через мгновение вместе с другими членами клуба был уже во дворе.
Видимо, снег ему понравился: попробовав его на вкус, он удовлетворённо фыркнул и принялся энергично разгребать передними лапами.
— Смотрите-ка, — хохотал Нулик, — Пончик занялся археологическими раскопками.
Олег воспользовался этим обстоятельством по-своему:
— Умный пёс! Это он намекает, что пора спуститься вслед за Магистром в пещеру, где собраны разные окаменелости.
Президент втянул голову в плечи.
— В таком случае, берегите лбы, а то расшибётесь об эти… как их там… столо… стило…
— Только не называй их, как Магистр, сталагмитами. Вернее всего, в пещере были сталактиты — ведь они свисали с высокого свода, как сосульки с крыши. А сталагмиты, наоборот, поднимаются снизу вверх.
— Сталактиты, сталагмиты… Не все ли равно, обо что расшибаться. Шишка так и так вскочит! — философски заметил Нулик. — Лучше скажи, чей всё-таки череп попался Магистру: андертальца или не андертальца?
Таня всплеснула руками:
— Ну и невежда! Пора бы уж знать, что неандерталец — не два, а одно слово. И появилось оно в прошлом веке, когда в Германии, в Неандертале — в долине реки Неандер, — был найден череп первочеловека. Что же касается андертальцев, то они существуют только в воображении Магистра…
— И ещё не мешает тебе знать, — продолжил Сева, — что учёные считают неандертальца, то есть первочеловека, переходным звеном между питекантропом (иначе говоря, обезьяночеловеком) и человеком нынешним, так сказать, нашего образца…
— Ага! — воодушевился Нулик, но тут же задумался. — А ведь Магистр утверждал, что эти самые люди нашего образца жили уже миллионы лет назад, в самом конце четвёртого периода…
— Не четвёртого, а четвертичного, — поправил его Олег.
— Все одно! — отмахнулся Нулик. — И ещё Магистр заявил, что относится этот четвертичный период к самой что ни на есть древней эре… как её… кай… най…
— Ты хочешь сказать — кайнозойской? — засмеялся Олег. — Но тут Магистр все перепутал. Самая древняя эра называется азойской (или архейской). А кайнозойская — это наша, новая эра. И название её произошло от двух греческих слов: «кайнос» — новый и «зое» — жизнь.
— А что это за азойская эра? — спросил Нулик.
— Эра, когда ещё никакой жизни и в помине не было. Ведь буква «а» в начале слова означает отрицание, — разъяснил Олег.
— Выходит, Магистр малость промахнулся?
— Ну да. Сказал, что встреченные им люди жили давным-давно, в самом конце четвертичного периода. Но ведь четвертичный период ещё продолжается и конца ему пока что не предвидится.
— Значит, Магистр увидел наших современников? — развёл руками Нулик.
— Вот именно, — подтвердила Таня. — А принял их за неандертальцев и питекантропов.
Нулик схватился за голову:
— Неандертальцы! Питекантропы! Да ну вас совсем. На дворе снег, а они… Объявляю перерыв! Президент я или не президент?!
— Президент, президент! — успокоил его Олег. — Но остались-то нам сущие пустяки — всего два вопроса…
— К тому же первый из них — игра, — поддержал Сева. — Вот и сыграем. Для наглядности.
У президента заблестели глаза.
— Прямо тут, во дворе?
— Во дворе, на снегу, — улещала Таня.
Предложение было слишком заманчивым, и Нулик, еле сдерживаясь, чтобы не завизжать от удовольствия, принялся вместе со всеми вычерчивать на снегу Луну и Солнце, вбивать столбики — словом, готовить всё необходимое.
Когда работа была закончена, Сева вынул из кармана пачку заготовленных дома бумажек с номерами. Каждый вытащил билетик наугад, а один оставшийся — номер 5 — достался Пончику. Вот она, собачья жизнь: не можешь вытащить номер сам, бери тот, что не вытащили другие!
Сева обвёл глазами заснеженное пространство, на котором резко чернели две правильные окружности.
— Начнём?
— Начнём! — сказал президент и одним прыжком очутился на Луне, но тут же снова спустился с небес на землю. — А для чего, собственно, нам играть?
— Что за вопрос? — удивилась Таня. — Чтобы выяснить ошибки Магистра.