— Таня, вся надежда на тебя! — шепнул Сева. Ему давно уже не терпелось поближе познакомиться с яблоками.
Очень скоро сад был буквально засыпан спелыми плодами.
— Молодец, Таня! — в восторге закричал Сева. — Я знал, что ты решишь задачу!
Малыши дружно захлопали в ладоши и бросились подбирать яблоки.
Но Таня стояла смущённая, щёки её пылали.
— Это не я решила задачу! — с трудом выговорила она и, закрыв лицо руками, отвернулась.
— Вот те раз! Кто же это? — заволновались малыши.
— Во всяком случае, не я! — буркнул Сева.
Тогда все посмотрели на Олега. Он, как обычно, молчал. А рядом с ним на песке все увидели три числа. Это был ответ на задачу.
— Совершенно правильно! — сказала Четвёрка, взглянув на числа, и сейчас же стёрла их ногой.
— Зачем, зачем вы это сделали? — запищали малыши.
— Пусть тот, кто не решил этой задачи, обязательно решит её сам.
А мне пора на площадь Добрых Напутствий. Если хотите увидеть интересное зрелище, — любезно обратилась она к нам, — я с удовольствием вас провожу.
Мы охотно согласились и последовали за нашей новой знакомой.
Таинственные знаки
Город кишел народом. Со всеми своими улицами и многочисленными переулками он был похож на большой, но хорошо изученный лабиринт.
В этом легко было убедиться, видя, как безошибочно и быстро находили жители Арабеллы дорогу к широкому проспекту Действующих Знаков.
Отовсюду стекались сюда оживлённые карликане. Были среди них дети и старики, торопливые и медлительные, болтуны и молчальники, смешливые и задумчивые. Но, несмотря на большую толпу, никто никого не толкал, никто никому не наступал на ноги.
Многие дружелюбно кивали нам в знак приветствия, а иногда и пожимали руки — словом, вели себя как добрые знакомые.
По обе стороны проспекта тянулись длинные здания со множеством вертящихся дверей. Карликане то и дело ныряли в них и тотчас же возвращались с небольшими чемоданчиками, в которых что-то мелодично позвякивало.
На каждом шагу попадались вывески с крупной надписью:
СКЛАД ДЕЙСТВУЮЩИХ ЗНАКОВ
Под этой надписью была другая, поменьше:
ЭКОНОМЬТЕ РАСХОД КРЕСТИКОВ!
— Что это за крестики такие? — вслух недоумевал Сева. — И почему это их надо экономить?
Но вот из одной вертящейся двери выпорхнула школьница с тремя смешными косичками. Это была маленькая Тройка.
— Троечка, что это у вас в чемодане? — спросил у неё Сева.
— Здравствуйте! — ответила воспитанная Тройка.
— Ах да, я совершенно забыл, — спохватился Сева. — Конечно, здравствуйте! Не скажете ли вы, что это звенит у вас в чемодане?
— Действующие знаки. — Тройка указала на вывеску: — Тут же всё написано. Разве вы не умеете читать?
— Умею, но не понимаю, что это за знаки и как они действуют?
— Ах нет, нет. Они не могут сами действовать. Они только помогают другим производить различные действия.
— Театральные действия? — сострил Сева.
— Скажете тоже! — Тройка энергично замотала косичками. — Не театральные, а арифметические!
— Понимаю: сложение, вычитание, умножение и деление.
— И многие другие.
— Какие же другие? — удивилась Таня. — Кроме этих четырёх, других действий не бывает.
— Что вы! — воскликнула Тройка. — Кроме арифметических, могут быть и совсем другие действия — например, алгебраические.
— Не знаю таких, — пожала плечами Таня. — Никогда даже не слышала.
— Неужели?! — Тройка изумлённо всплеснула руками.
Трах! Это упал на землю чемоданчик, и всё его содержимое высыпалось наружу. Мы поспешно бросились подбирать.
Чего там только не было! И точки, и запятые, чёрточки маленькие, чёрточки большие, крестики, скобки круглые, скобки квадратные, скобки фигурные и ещё много-много совсем непонятных знаков.
— Ой, какая я неловкая! — огорчилась Тройка. — Пожалуйста, осторожнее. Это очень важные знаки. Вот эта маленькая чёрточка, например. Если забыть поставить её между двумя числами, то никто и не догадается, что из одного числа нужно вычесть другое.
— Это минус! — выпалил Сева.
— Разумеется! — обрадовалась Тройка. — А вот если я две такие чёрточки помещу одну над другой, это уже будет не два минуса, а…
— …знак равенства, — не удержался Сева.
— Так вы же всё знаете! Я думаю, дальше вам и объяснять не нужно. Вот, например, этот крестик…
— Это плюс, — сказал Сева. — Он нужен для сложения. А вот почему у вас висит объявление «Экономьте расход крестиков!»? Неужели для того, чтобы поменьше складывали?
— Ой, что вы! — засмеялась Тройка. — Складывайте на здоровье, сколько душе угодно! Дело в том, что крестик употребляется не только как знак сложения, но и как знак умножения. Стоит только поставить его на обе ножки — вот так:
— Но вернёмся к началу нашего вопроса, — продолжала Тройка. — Вы спросили, что такое радикал? Начнём от печки. Трижды три — девять. А теперь я задам вам тот же вопрос с конца: какое число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить девять?
— Три, — сразу ответил Сева.
— Видите, по девятке мы узнали, какое число было возведено во вторую степень. И число это оказалось тройкой.
— Вот это действие и называется извлечением корня? — спросила Таня.
— Ну да! — обрадовалась Тройка. — И обозначается оно радикалом.
— А ты думал, им ловят бабочек, — съехидничала Таня.
Сева торжественно поднял руку:
— Клянусь, теперь я всегда буду помнить, чему равен корень из девяти.
— И всё-таки, — продолжала Тройка, — не следует думать, что корень из девяти всегда равен трём! Всё зависит от того, какой корень вы извлекаете.
— Как, — опешил Сева, — разве корни бывают разные?
— Совершенно разные! Есть корни и третьей, и четвёртой степени. Об этом вы узнаете в своё время. А теперь простите меня. Я боюсь опоздать на площадь Добрых Напутствий.
Тройка схватила чемоданчик и убежала.
И тут только мы заметили, что Четвёрка с бантиком куда-то исчезла. Посоветовавшись, мы решили продолжать путь одни. Это было нетрудно: все жители города двигались сейчас в одном направлении.
Площадь добрых напутствий
Это было огромное поле, сплошь заполненное жителями Арабеллы. И, так же как и на проспекте Действующих Знаков, здесь царил совершеннейший порядок.
У входа на площадь возвышалось какое-то удивительное сооружение. Мои ребята с восторгом осматривали его, поднимались на ступеньки, заглядывали внутрь через круглые разноцветные окошечки.
— Это ракетная установка?
— Нет, это космический корабль!
— А по-моему, атомная станция!
Я молчал: пусть разбираются сами.
Неожиданно в разговор вмешалась толстая Восьмёрка, которая вела за руку маленького Нулика.
— Здравствуйте! — обратилась она к нам.
— Здравствуйте! — повторил за ней Нулик и вкусно зевнул.
Восьмёрка покачала головой:
— Ну что с ним делать? Заснул только под утро, а теперь зевает. Как я отпущу его в такое серьёзное путешествие?
— Не вы ему пели: «Спи, мой Нулик, спи, сынок»? — спросила Таня.
— Кто же, кроме меня, может петь песенку, которую я сама сочинила? А не вы ли гуляли ночью под моими окнами? — в свою очередь поинтересовалась Восьмёрка.
— Да, да, это они гуляли! — обрадовался Нулик. — Вот эта девочка, — он показал на Таню, — спросила, как почтальоны доставляют нам письма, если все дома под одним номером.
— Не всё ли равно, кто получит письмо, — возразила Восьмёрка.
Письма, адресованные кому-нибудь из нас, одинаково касаются всех.
— И меня, и меня касаются! — закричал Нулик.
— Какой умный ребёнок! — умилилась Восьмёрка.
— Раз уж вы так любезны, — обратился к ней Сева, — не скажете ли, уважаемая Восьмёрка, откуда у вас сын Нулик? Я думал, ваши дети тоже Восьмёрки.
— Конечно, у меня, как и у всех других мам-восьмёрок, дети тоже восьмёрки. А у пятёрок — пятёрки, у двоек — двойки, и так далее. А вот нулики имеются у всех. Нулики — это наши приёмные дети. Но мы их любим, как своих родных, даже, пожалуй, больше. Ведь они такие маленькие, такие беззащитные. Они без нас совсем ничего не значат.
— Откуда же они у вас появились? — спросил удивлённо Сева.
— О, это очень длинная история! Вы, наверное, знаете, что на нашей родине, в Индии, было только девять цифр. Эти девять старейших и образовали Арифметическое государство. Теперь они заседают в Совете Старейших и управляют нами. Вскоре люди решили, что очень неудобно обходиться без нулей. Ну подумайте сами: вам нужно записать число 205, а у вас только девять цифр, нуля нет. Что вы будете делать? На месте сотен поставите двойку, на месте единиц — пятёрку. А что вы поставите на месте десятков? Ведь десятков в этом числе нет! Нельзя же писать число 205 так: 2НЕТ5! Это было бы ужасно!
И люди решили вместо слова «нет» ставить нуль. Так появились в нашем государстве эти милые, прелестные крошки, которых мы с радостью усыновили. Вот откуда у меня такой круглый сынок… Ну, иди, иди, мой маленький, а то мы опоздаем на ракету. Скажи всем «до свидания».
— До свида-а-а-ния! — пропел Нулик и покатился следом за своей солидной мамашей.
В это время мы услышали знакомый голос:
— Вот они! А я уже думала, что никогда вас не найду. — Перед нами стояла Четвёрка с бантиком. — Извините меня, пожалуйста, я должна была посадить моих малышей в скоростной самолёт. Ведь они сегодня в первый раз улетают.
Странно, — сказал Сева. — куда это у вас все летят? Как — куда? — удивилась Четвёрка. — Да к вам, к людям. На фабрики, на заводы, в колхозы. К рабочим, счетоводам, учёным. И к школьникам, разумеется. Нас ждут всюду: в аулах, на полярных станциях, на кораблях дальнего плавания, в космических ракетах. С каждым годом мы нужны всё больше и больше. Нас разрывают на части. Вернее, на все пять частей света: приглашают в Азию, в Африку…
Четвёрка не успела докончить, потому что в это время заговорили десятки мощных репродукторов:
«Внимание! Карликане! Через минуту вы отправитесь в далёкое путешествие к людям. Слушайте доброе напутствие Совета Старейших. У микрофона Карликан Первый.
— Дорогие друзья, храбрые путешественники, неутомимые труженики! Совет Старейших желает вам доброго пути и благополучного возвращения. Мы уверены, что вы не посрамите нашего славного государства и будете честно трудиться на благо человечества. В руках добрых людей вы принесёте пользу, в руках злых можете принести разрушение. Служите добрым людям, остерегайтесь злых. Счастливого вам пути!»
Заиграла музыка, и в воздух одна за другой стали подниматься огромные сверкающие машины. Их было много, и каждая отвозила миллионы карликан. Восхитительное зрелище!
Мы долго не могли опомниться и всё глядели в небо, где давно уже ничего не было, кроме лёгких белых облаков.
— Странно, — заговорил наконец Сева, — улетело столько, что не, сосчитать, а толпа на площади не убывает. Может быть, это мне только кажется?
— О, напротив, вы очень наблюдательны! — заметила Четвёрка. — Толпа в самом деле не убывает.
— Как же так? — недоумевал Сева. — Если даже из огромной коробки всё время брать по конфете, то конфеты когда-нибудь кончатся.
— Конфеты, конечно, кончатся, — улыбнулась Четвёрка, — а карликане — никогда.
— Чепуха! — отрезал Сева.
— Довольно слабое доказательство, — сухо заметила Четвёрка. — Я в таких случаях прекращаю спор. Но на этот раз сделаю исключение. Мне вас жаль, потому что вы не знаете, что такое бесконечность.
— Почему это я не знаю? — обиделся Сева. — Бесконечность — это когда чего-нибудь очень много. Ужасно много!
— Нет, нет, нет! — возразила Четвёрка. — Это совершенно неверно. У нас так не рассуждают даже нулики. Бесконечность — это то, у чего нет конца. Совсем нет конца.
— Ну где-нибудь конец всё-таки есть? — не сдавался Сева.
— В том-то и дело, что нигде! Вот вам кажется, что вы уже дошли до самого конца, заглянули дальше, а там… А там снова бесконечность. И так бесконечно. Вы её догоняете, а она убегает всё дальше. Идёшь сквозь огромную толпу карликан, идёшь-идёшь, уже и ноги не держат, а впереди всё столько же народу, сколько было раньше. И сколько бы вы ни шли, вы всегда находитесь в самой середине толпы. Идите хоть сто, хоть тысячу, хоть миллион лет! Вот что такое бесконечность!.. И не возражайте, пожалуйста! — строго остановила она Севу, уже открывшего было рот. — Если вам непонятно, то к этому вопросу я ещё вернусь, потому что о бесконечности можно говорить бесконечно.
— Скажите, что это за махина такая? — спросил Олег, чтобы загладить Севину бестактность. Он указал на странное сооружение, которое ещё вначале привлекло наше внимание.
— Не махина, а машина, — поправила Четвёрка, — электронно-счётная машина. Это наш большой друг. В Карликании таких машин много, и каждая занята своим делом.
— А чем занята эта? — спросил Сева. Он удивительно быстро оправился от смущения.
— Эта машина производит самые точные вычисления. Она может сосчитать, сколько карликан отправилось в путешествие, с какой скоростью им надо лететь, чтобы прибыть вовремя. Машина сама выберет кратчайший маршрут; она управляет полётом и помогает обойти все препятствия, которые встречаются на пути ракеты. Это очень умная машина!
— Должно быть, её обслуживают много карликан.
— Всего только две цифры, две самые маленькие цифры: нулик и единичка. Но они прекрасно справляются со своей работой. Представьте себе, у них превосходная память. Стоит только им узнать что-нибудь, и можете быть уверены: они этого никогда не забудут.
— Счастливые! — вздохнул Сева.
— А почему в этой машине работают только нулик и единичка? — спросила Таня.
— А больше никто и не нужен. Вы ведь знаете, что нуль — это ничто. Вот он и обозначает слово «нет», тогда как единицей обозначается слово «да». Оказывается, этих двух слов совершенно достаточно, чтобы решить любую задачу.