— Так и останется сто, — сказал Сева.
— Нетрудно было догадаться, — продолжал я. — Ну, а если мы станем делить сто на числа, меньшие, чем единица. Что тогда? Частное будет уменьшаться или ещё больше увеличиваться?
— Увеличиваться, — сказала Таня.
— Конечно. Чем меньше делитель, тем всё больше и больше частное. Разделим 100 на
— Какая же у тебя бедная фантазия! — покачал я головой. — Сумел же кузнец Левша подковать блоху да ещё на каждом гвоздике расписаться! Ведь ещё совсем недавно не было меньшего деления времени, чем секунда. А теперь учёные научились измерять даже миллиардные доли секунды! Раньше, желая похвалить пряху, говорили, что прядёт она нить с паутинку. Тоньше паутинки ничего и представить не могли. А уж измерить паутинку и вовсе не умели. А теперь измеряют размеры молекул, атомов, электронов… Перед ними паутинка что дуб перед мошкой! Так вот. Допустим, найдётся такой искусный мастер, который сумеет разделить наш коробок на самые-самые малые отделеньица. Далеко ходить не надо: разве воображение не лучший мастер на свете? Итак, мастер работает, отделения становятся всё меньше и меньше, вот уж ни в один микроскоп их нельзя разглядеть! А мастер всё делит и делит. Отделения становятся всё меньше, а числа, помещаемые в них, — всё больше. И чем меньше отделение, тем большее число мы в него помещаем. Будет ли этому конец? Нет, не будет! Ведь делить-то можно без конца, да и больших чисел тоже бесконечно много. Вот и выходит, что в этом коробке собрались все бесконечно малые и все бесконечно большие величины. Карлики и великаны!
— Так вот почему эта страна называется Карликанией! — обрадовался Олег.
— Вещий Олег! — сказала Таня.
Нулики снова шалят
Сказка произвела большое впечатление. Ребята никак не могли успокоиться, без конца обсуждая необычный «фокус».
К счастью, их разглагольствования были прерваны запыхавшейся Четвёркой с бантиком. Она прибежала сказать, что не может нас сейчас сопровождать: нулики так расшалились, что с ними не сладишь. А сегодня её дежурство на Числовой площади. Она тотчас же умчалась. Мы поспешили за ней и вот что увидели. По Числовой площади, обнявшись, прогуливались всевозможные числа. О чём-то шептались Двойка и Тройка, образовав число 23. Рядом шли шеренгой и пели песню шесть первых цифр. Из них получилось большое число — 123 456, сто двадцать три тысячи четыреста пятьдесят шесть…
Между этими солидными, степенными числами шныряли озорники нулики, сбежавшие от своих мам из Десятичного переулка.
Вот один из них, особенно бойкий, подбежал к числу 125 и стал слева от единицы, вот так: 0125. Никто не обратил на него особого внимания, потому что число 125 от этого ни капельки не изменилось. Тогда Нулик перебежал на другой конец числа и стал рядом с Пятёркой. Число мгновенно выросло, как на дрожжах, и стало в десять раз больше: не 125, а 1250!
Так как в этом числе все цифры были молодые девушки, им вовсе не хотелось превращаться в старух. Они прогнали Нулика прочь.
Тогда Нулик придумал новую шалость: снова забежал слева от Единицы и отделил себя от числа 125 запятой! И вот оно превратилось в десятичную дробь: 0,125 — стало в тысячу раз меньше, чем было до сих пор.
Цифры возмутились:
— Как ты смел сделать из нас такое маленькое число! Не хотим мы ни с того ни с сего уменьшаться!
А Нулику это так понравилось, что он позвал ещё двух своих приятелей и втиснул их между Единицей и запятой.
Ой-ой! Теперь число 125 уменьшилось в сто тысяч раз и стало вот таким маленьким: 0,00125!
Между тем Нулик вошёл во вкус этой забавной игры. Он упивался своей силой.
— Подумайте только, — вскричал он радостно, — оказывается, чем больше нуликов встанет сразу после запятой, тем меньше сделается число! Ведь каждый из нас уменьшает его в десять раз!
Только он это сказал, как сразу ещё пять нуликов оттеснили Единицу и встали между ней и своими собратьями.
— Теперь вы уже не сто двадцать пять, — закричали нулики, — а сто двадцать пять десятимиллиардных! Вот: 0,0000000125!
О ужас! Число стало таким маленьким, что без микроскопа и не разглядеть.
Какой интерес разговаривать с невидимкой!
Нулики разочарованно покинули свои места, и — ха-ха! — число 125 снова как ни в чём не бывало степенно разгуливало по площади.
— Ну, погодите, — воинственно сказала Четвёрка с бантиком, — сейчас я вас проучу! Напрасно вы так кичитесь своим могуществом, — обратилась она к нуликам. — Видите, гуляет число 9,1? Встаньте-ка между запятой и Единицей. Посмотрим, намного ли уменьшится от этого число?
— Ого-го-го! — ответил вызывающе Нулик. — Конечно, намного!
Три нулика мигом стали так, как было предложено, и что же?
Число 9,1 превратилось всего-навсего в 9,0001.
Нулики даже захныкали:
— Это обман! Число должно было уменьшиться в тысячу раз!
— Вы не учли, что перед запятой стоит цифра девять, а не нуль! В этих случаях ваша сила невелика. Ставьте после запятой хоть сто нулей, число всё равно будет больше девяти! Так что хвастаться нечего!
Но нуликов трудно было утихомирить. Долго ещё допекали они числа своими проказами и наконец так им надоели, что терпение у всех лопнуло.
Пришлось позвать заведующего главным складом. Он пришёл, дожёвывая свой девятьсот восемьдесят первый бутерброд с ветчиной, быстро и деловито собрал всех нуликов и поставил между ними по знаку плюс. Все нулики тотчас превратились в один общий нуль. Сколько нули ни складывай, они всё равно больше нуля не станут!
Общий нуль покатился по площади, закатился в свой Десятичный, переулок, а там ударился о столб и снова распался на множество маленьких нуликов. Тут их поймали мамаши и развели по домам.
Зеркальная улица
На площади всё утихло. К нам подошла Четвёрка с бантиком.
— А у меня для вас сюрприз, — сказала она, таинственно улыбаясь.
— Какой? Какой? — приставали к ней ребята.
— Что ж это за сюрприз, если о нём проболтаться раньше времени! — отбивалась Четвёрка. — Сперва я вас чуточку повожу за нос.
— А долго вы нас будете водить? — спросил нетерпеливый Сева.
— Я же сказала — чуточку. Вот пройдём эту улицу, свернём в переулок, потом опять выйдем на улицу, ещё раз свернём в переулок…
— У-у-у! — разочарованно протянула Таня. — Так далеко?
— Ну, ну, я пошутила. Идти никуда не придётся. Поглядите-ка сюда.
Мы обернулись и… остолбенели. Перед нами стоял новенький, с иголочки, автобус! Он так и блестел на солнце своими красными глянцевыми боками.
— Неужели это для нас?! — воскликнул Сева.
— Конечно! — сияя от радости, ответила Четвёрка. — Это туристский автобус дальнего следования. На нём мы совершим поездку по одной замечательной улице.
Таня надула губы и сказала недовольным тоном:
— Стоило подавать автобус дальнего следования, чтобы проехать одну улицу!
— Что вы! — возразила Четвёрка. — Мы не сможем проехать эту улицу до конца.
— Это почему же?
— Да потому, что у этой улицы конца нет!
— Понимаю, — сказал Олег. — Эта дорога ведёт к великанам.
— Не только к великанам, но и к карликам, — добавила Четвёрка.
— Но ведь как раз сегодня нам об этом рассказывали! — всплеснула руками Таня.
— Тем лучше, — обрадовалась Четвёрка и жестом опытного гида пригласила нас занять места в автобусе.
Ребята с удовольствием разместились на мягких удобных сиденьях.
Четвёрка повернула какой-то рычажок, и автобус двинулся.
— А где же водитель? — удивились ребята. — Машина сама едет?
— Водитель далеко, на Автоматической улице. Он управляет автобусом на расстоянии.
— Это, вероятно, делает кибернетическая машина? — предположил Олег.
— Конечно! — с гордостью сказала Четвёрка. — В Арабелле всё по последнему слову техники! А теперь внимание! Подъезжаем к цели нашего путешествия.
Автобус выехал на широкую улицу. Теперь он двигался очень медленно.
— Посмотрите налево, — сказала Четвёрка.
Мы повернули головы и увидели длинную, бесконечно длинную кирпичную стену, на которой выстроились десятичные дроби:
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 и так далее.
Чем дальше, тем больше нулей стояло после запятой и, следовательно, тем меньше становилась дробь.
Мы ехали всё вперёд и вперёд, а числа становились всё меньше и меньше. Автобус постепенно прибавлял ходу. Нули проносились мимо нас всё быстрее и быстрее. Их становилось больше и больше. Появились уже такие малые числа, что прочитать их не было никакой возможности. А улице всё не было конца!
— Вот уж действительно дорога карликов! — воскликнул Олег.
Никогда я ещё не видел его таким оживлённым.
— Карлики есть, — подтвердил Сева. — Но где обещанные великаны?
— Будут и великаны, — успокоила Четвёрка. — Держитесь крепче! Попрошу всех закрыть глаза. Даю космическую скорость!
Закрывать глаза никто, конечно, не собирался, но автобус вдруг дал задний ход и понёсся обратно так стремительно, что все поневоле зажмурились.
Не успели мы, как говорится, глазом моргнуть, как очутились на прежнем месте. Автобус остановился.
— А теперь посмотрите направо! — скомандовала Четвёрка.
Мы повернули головы и снова увидели кирпичную стену. Но, вот странное дело, у стены стоял автобус, как две капли воды похожий на наш.
— Глядите-ка, ещё одна экскурсия! — закричал Сева и помахал рукой.
Из автобуса тоже помахали. Сева снова помахал. Из автобуса снова ответили.
— Слушайте! — в страшном волнении закричал Олег. — Это же не стена это зеркало!
Действительно, это было бесконечно длинное зеркало, и в нём отражалась кирпичная стена.
По-прежнему уходили в бесконечную даль числа. Но только теперь это были не десятичные дроби, а их отражения, превратившиеся в целые, числа: 1,0 10,0 100,0 1000,0 10000,0 100000,0 и так далее.
Автобус тронулся, и вновь замелькали перед глазами нули, нули нули… Числа росли с неимоверной быстротой.
— Вот вам и дорога великанов! — сказала Четвёрка.
И тут началась забавная игра. Ребята поворачивались налево — перед ними были карлики, поворачивались направо — вырастали великаны.
— Совсем как в волшебной сказке! — восхищалась Таня.
Под конец у всех разболелись шеи. Это было сигналом к возвращению.
— Подумать только, — сказал Олег на обратном пути, — из одних и тех же цифр можно сделать и карликов, и великанов! Всё зависит от того, с какой стороны на них посмотреть.
Подземная дробилка
Мы расстались с нашим симпатичным гидом и, отдохнув после сильных впечатлений, снова пошли бродить по городу.
Вскоре послышался отдалённый грохот.
— Неужели гроза? — струхнула Таня. Она боялась грозы.
— Нет, — сказал Олег, — это что-то другое.
— Пойдём посмотрим, — предложил Сева.
И мы пошли на шум.
Он становился всё сильнее и наконец привёл нас в какой-то пустынный переулок.
Вдруг грохот оборвался. И стало так тихо, что все даже испугались.
И тогда мы услышали чей-то скрипучий, ворчливый голос.
Из-под земли появилась седая голова старого карликана. Он тяжело дышал и, выкарабкавшись наверх, тотчас присел отдохнуть.
— Откуда вы? — спросила Таня.
— Оттуда, — показал он вниз.
— Что вы там делаете?
— Работаю. Адская у меня работа.
— Там что — карликанский ад? — спросил Сева.
— При чём тут ад?! — удивился старик. — У нас даже дети знают, что никакого ада нет. Я там кручу машину. Больше у меня уже сил нет. Кручу, кручу, и всё никакого толку. Пусть старейшие карликане сами попробуют. А мне пора на покой!
— А какую машину вы крутите, дедушка? — спросила Таня.
— И не спрашивайте. Машина самая бесполезная. И называется она дробилка. Да что толку в этой дробилке, если я ничего не могу раздробить до конца?
— Что же вы дробите? — спросил Сева.
— Что же ещё, кроме чисел?
— Числа не камни, разве так трудно их дробить? — снова спросила Таня.
— Попробуйте сами разок, тогда не будете задавать такие вопросы. Ведь дроблю-то я числа, которые друг на друга не делятся. Те, что сами делятся — их и дробить незачем. А вы попробуйте разделить такое число, которое не желает делиться на другое.
— В таком случае надо эти два числа оставить в виде обыкновенной дроби, — посоветовала Таня.
— Ишь какая прыткая! — рассердился старик. — «В виде обыкновенной дроби»! Здесь квартал десятичных дробей. Обыкновенным здесь жить не разрешается.
— Значит, вы их превращаете в десятичные? — не унималась Таня.
— Вот именно — в десятичные! — махнул рукой старик. — А они сопротивляются. Понятно?
— Что же это за дроби такие?
— Странный вопрос! Периодические, конечно! — ответил карликан.
— Но какой в них толк, если до конца ни одну раздробить не удаётся? — спросил Сева.