Мы сложили, и что бы вы думали? Оказалось, сумма младших делителей числа 28 равна самому числу! 1+2+4+7+14 = 28.
Заведующий сказал, что такие числа называются СОВЕРШЕННЫМИ и что сейчас известно восемь совершенных чисел. Например, число 6. Оно тоже совершенное: сумма его младших делителей равна 6: 1 + 2 + 3 = 6.
Чудеса! А что происходит с числом 284?
— Тут чудеса другие, — сказал Заведующий. — Его младшие делители 1, 2, 4, 71, 142. Если мы их сложим, то получим в сумме…
— Число 220, - сосчитал я. — И никаких чудес!
Заведующий усмехнулся.
— А чудеса всё-таки есть. Сложим теперь сумму младших делителей числа 220. Это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110. Что у нас получится? Он победоносно откинулся на спинку стула, — У нас получится 284!
— Ну и что?
— Как — что? Да то, что между числами 220 и 284 существуют интересные взаимоотношения. Можно сказать, дружеские. Они обменялись суммой своих младших делителей. Потому-то их и называют ДРУЖЕСТВЕННЫМИ…
Интересно, сколько других признаков числа 284 130 мы узнали бы сегодня, если бы Заведующий не догадался, что и этих нам на первый раз вполне достаточно?
ПИСЬМО В БУТЫЛКЕ
27 нуляля
Сегодня Единица разрешил мне побыть с ним на капитанском мостике. Я, конечно, первым делом присоседился к подзорной трубе. День выдался ясный. Море было спокойное, добродушное, совсем как наш капитан, когда он в хорошем настроении. И вдруг…
— Лево по борту вижу незнакомый предмет! — закричал я. Капитан посмотрел в указанном направлении и тотчас приказал спустить шлюпку. Очень скоро «незнакомый предмет» очутился у меня в руках. Это была крепко-накрепко закупоренная бутылка. Сквозь зелёное стекло виднелась какая-то бумажка. Мы с трудом выковыряли её оттуда. На ней было написано вот что: «15° 30΄ 14˝ зап. долг. 3° 10΄ 05˝ сев. шир. Рыбаки».
Брови у капитана съехались к переносице.
— Дело серьёзное! Идём на выручку.
И он тут же приказал изменить курс.
Я спросил, как он догадался, куда надо спешить.
— Но тут же всё написано, — сказал капитан, — точные координаты!
Я снова заглянул в бумажку и снова ничего не понял. Правда, слово «координаты» я слышал не в первый раз, но не удосужился узнать, что оно означает. Теперь было самое время наверстать упущенное.
Пока Фрегат шёл себе по указанному адресу, я узнал вот что. Координатами называются два числа, по которым можно найти положение точки или любого предмета на поверхности. Но поверхности бывают разные. Поверхность стола — плоская. Поверхность Земли — круглая, или, как говорят учёные, сферическая.
Для разных поверхностей пользуются разными координатами.
Чтобы определить положение точки на плоскости, применяют координаты прямолинейные. Если же нужно найти точку на поверхности шара, лучше выбрать координаты сферические.
Я спросил: как же всё-таки с помощью двух чисел можно найти точку на плоскости?
Капитан вынул из кармана орешек и положил его на стол.
— Давай определим координаты орешка. Для этого выберем сперва оси координат, то есть две прямые, от которых мы будем отсчитывать расстояние до орешка. Проще всего принять за оси координат два взаимно-перпендикулярных края стола. Обозначим одну ось латинской буквой
Я вынул рулетку.
— В каких единицах будем измерять?
— Да в каких хочешь! Хоть в километрах… Правда, километры для стола, пожалуй, не годятся…
Решили вычислять в сантиметрах. И вышло у нас, что по оси
— Совсем как апельсин, — сказал я. — Только долек у апельсина гораздо меньше.
Но вот чего я не мог понять: экватор разделили на 360 долек, а меридианов провели всего 180! Как это получилось?
— Ты не подумал о том, что каждый меридиан пересекает экватор в двух точках, — объяснил капитан. — Уразумел? Тогда пойдём дальше. Покончив с экватором, стали делить меридиан. Расстояние по меридиану между экватором и каждым полюсом разделили на 90 равных частей и провели параллельные экватору окружности, которые получили название параллелей.
«Это уже больше похоже не на апельсин, а на арбуз, нарезанный кружками», — отметил я про себя.
— А так как у Земли два полюса, — продолжал капитан, — таких окружностей получилось 180. По мере приближения к полюсам радиусы параллелей всё время уменьшаются, а на полюсах и вовсе обращаются в точку,
— Стало быть, экватор — это нулевая параллель? — предположил я.
— Разумеется, — кивнул капитан. — Вижу, ты в этом разобрался. Тогда пойдём ещё дальше. Разделив сферу на 180 меридианов и 180 параллелей, земной шар как бы поместили в сетку. Расстояние между двумя ближайшими меридианами, отсчитанное по дуге любой параллели, условились считать одним градусом географической долготы, а расстояние между двумя параллелями, отсчитанное по дуге любого меридиана, — одним градусом географической широты. Каждый градус, в свою очередь, делится на 60 минут, минута — на 60 секунд.
Градусы обозначаются кружком минуты — одним штрихом, секунда — двумя. Вот теперь ты, пожалуй, сам смог бы разобрать запись, сделанную рыбаками. Я взял бумажку и прочитал:
— «15° 30΄ 14˝» — 15 градусов 30 минут 14 секунд зап. долг…
— Что ж ты запнулся? — спросил капитан. — Зап. долг. — значит западной долготы. Это сказано для того, чтобы указать, в какую сторону от гринвичского меридиана следует отмерять градусы долготы.
После этого мне уже действительно было нетрудно прочитать записку до конца: «15 градусов 30 минут 14 секунд западной долготы, 3 градуса 10 минут 5 секунд северной широты».
— Туда-то мы и спешим, — сказал капитан.
В это время с марса громко закричали: «Люди за бортом!» Что произошло дальше, описывать не стану. Скажу только, что через несколько минут потерпевшие были уже на борту. Все они еле держались на ногах, но сразу же пришли в себя, как только попробовали снадобье, специально для этого случая приготовленное коком. Пи сказал, что это его собственное изобретение, которое он назвал «коктейль для утопающих».
Так благополучно закончилось это приключение. Но вскоре за ним последовало другое.
Наступил полдень. Солнце висело над самой головой. Капитан сказал, что мы огибаем западный берег Африки, и посоветовал быть начеку, потому что нас ожидает… Он не успел договорить: волны закипели, забурлили, и вот уже над ними показался наш старый знакомый — Нептун. На этот раз он ни на кого не гневался. По-моему, он был даже чересчур весел.
Фрегат остановился. Спустили трап прямо в море. Нептун величественно проследовал на палубу. Команда выстроилась перед ним в полном параде, и он каждому пожал руку. Но когда очередь дошла до меня и до кока, Нептун неожиданно подхватил нас и швырнул прямо в море! Мы заорали не своим голосом, но нас быстро выловили и водворили на судно под всеобщий смех и ликование. Мы стояли мокрые, взъерошенные, злые. Но Нептун словно и не замечал этого. Он крепко расцеловал нас и поздравил с посвящением в моряки.
Тут только мы поняли, в чём дело. Есть у моряков такой обычай: всех, впервые пересекающих экватор, окунать в море. А наш Фрегат как раз подошёл к экватору. Значит, я теперь настоящий морской волк!
По этому случаю мы с коком выпили по стаканчику «коктейля для утопающих» и побежали переодеваться.
КТО БЫСТРЕЕ?
28 нуляля
Наши координаты 80° западной долготы и 10° северной широты. Фрегат вошёл в длинный, широкий шлюз канала. Мы стояли на корме и смотрели, как закрываются ворота шлюза. Сперва расстояние между створками было не менее 30 метров, потом оно стало постепенно уменьшаться. Вот уже просвет превратился в узкую длинную щёлку. Она становилась всё меньше и меньше и наконец исчезла совсем. Да иначе и быть не могло…
— Ты думаешь? — сказал капитан. — А вот 25 веков назад в древней Греции мудрец, по имени Зенон, пытался доказать, что можно сделать такую щель, которая никогда не исчезнет, несмотря на то что будет всё время уменьшаться. Зенон придумал такую задачу. «Однажды быстроногий Ахиллес решил состязаться в беге с черепахой. По условию он должен был бежать ровно в 10 раз быстрее её, но при этом дать ей 100 метров форы — то есть поставить на 100 метров впереди себя. И вот состязание началось. Когда Ахиллес пробежал 100 метров, отделявших его от черепахи, её уже в этом месте не было: за это время она продвинулась вперёд на 10 метров. Ахиллес пробежал и эти 10 метров. Но черепаха за это время успела продвинуться на 1 метр. Ахиллес преодолел и этот метр, но черепаха ушла вперёд на 10 сантиметров. Так расстояние между ними всё время уменьшалось. То оно было равно одному сантиметру, потом одному миллиметру, одной десятой миллиметра, одной сотой, тысячной, миллионной, миллиардной… Черепаха всё время оказывалась впереди своего соперника. Хоть на самую малость, но впереди! Так лучший бегун Греции не смог догнать самое медлительное существо на свете — черепаху».
— Не понимаю, — сказал я.
— Чего не понимаешь? — спросил капитан.
— Не понимаю двух вещей. Во-первых, где здесь щель?
— Ну это просто! Щель в этом случае — расстояние между Ахиллесом и черепахой, которое всё время уменьшается, но никогда не исчезнет.
— А это как раз то, — подхватил я, — чего я не понимаю во-вторых.
— И очень хорошо, что не понимаешь, — сказал капитан. — Потому что Зенон допустил в своих рассуждениях логическую ошибку, которая привела его к неверному выводу.
Если отрезок в 100 метров Ахиллес пробегает, скажем, за 10 секунд, то за 20 секунд он пробежит вдвое больше — целых 200 метров. Черепаха же за 20 секунд одолеет только 20 метров и останется на целых 80 метров позади Ахиллеса.
Я сказал, что 20 метров за 20 секунд для черепахи слишком много: черепахи так быстро не бегают.
— Так то черепахи настоящие, — возразил капитан, — а это — условная. Черепаха, которую выдумал мудрец Зенон.
— Хорош мудрец, нечего сказать! Надо же так ошибиться… Капитан задумчиво погладил бороду.
— Не торопись с выводами, юнга. Зенон, конечно, ошибся. Но он был первым учёным, который представил себе бесконечно малую величину — то есть такую величину, которая всё время стремится к нулю, но никогда её не достигнет. Вот и выходит, что Зенон как бы предвидел появление в науке того самого понятия, которое много веков спустя, в XVII столетии, почти одновременно открыли два великих человека: англичанин Исаак Ньютон и немец Готфрид Вильгельм Лейбниц. А ведь это открытие означало целый переворот в математике! С помощью бесконечно малых величин учёным удалось решить многие до тех пор нерешённые задачи. А главное, с этих пор применение математики в практической жизни значительно расширилось. Кстати, изучение бесконечно малых величин доныне остаётся одним из главных вопросов, которыми занимается современная наука.
— Выходит, ошибки тоже иногда бывают полезными! — сказал я.
— Ещё как! — подтвердил капитан.
ТВЁРДАЯ ПОЧВА
29 нуляля
Идём в сплошном тумане. Ни островка, ни бухты, ни гавани… Я совсем загрустил и сказал, что соскучился по твёрдой почве.
— Вот как! — прищурился капитан. — Но разве наш Фрегат не стоит на твёрдой почве?
Ну и шутник! Мы с коком расхохотались. Но оказалось, что капитан вовсе не шутит.
— Разве математика не та твёрдая почва, на которой развиваются самые разнообразные науки? — спросил он. — Начать с того, что математика возникла как подспорье для астрономии. А астрономия — самая древняя и самая необходимая людям наука.
— Почему самая необходимая? — возмутился я. — Ведь астрономия изучает небесные тела, а люди-то живут на Земле.
— Но Земля — тоже небесное тело, — отвечал капитан, — стало быть, между ней и другими небесными телами существует взаимосвязь. Это-то и понял в глубокой древности человек, когда научился сопоставлять разные явления. Он увидел, что многое, происходящее на Земле, в окружающей его природе, связано с тем, что происходит на небе, — с движением Солнца, например. Человек заметил, что Солнце появляется всегда с одной стороны неба, а уходит в другую. В зависимости от этого на Земле становится то светло, то темно. По Солнцу человек научился отмерять сутки, отделять день от ночи. Точно так же по движению Солнца среди звёзд человек разделил свою жизнь на годы и месяцы. Звёзды помогали ему определять, когда следует ожидать разлива рек, когда начинать сев. Они не давали ему заблудиться в открытом море. Вот почему я сказал, что астрономия в далёкие времена была самой жизненно необходимой наукой. Но астрономия никогда не могла бы существовать без математики. Так же, впрочем, как и другие науки. Постепенно математика проникала в самые разнообразные отрасли человеческой деятельности и знаний. Без неё невозможно было бы ни землемерие, ни судостроение, ни торговля. А в наше время без математики не обходится решительно ни одна наука. Физика, химия, медицина, агрономия, философия, политическая экономия…
— Статистика, — вставил я.
— Совершенно верно, и статистика. Все они немыслимы без математики. Словом, — закончил капитан, — теперь вы, надеюсь, согласны, что математика — поистине твёрдая почва любой науки, а стало быть, всей нашей жизни.