Рис. 9. Парфенон, раковина наутилуса и золотое сечение
Пентаграмма стала священным символом для братства пифагорейцев, потому что элементы звезды разделяются именно так: пентаграмма полна примеров золотого сечения, а для пифагорейцев золотое сечение было царем чисел. Тот факт, что золотое сечение было излюбленным соотношением и художников, и природы, считался доказательством правильности утверждения пифагорейцев о том, что музыка, красота, архитектура, природа и само строение космоса связаны между собой и нераздельны. На взгляд пифагорейцев, пропорции правили миром, а то, что было истиной для пифагорейцев, скоро стало истиной для всего Запада. Сверхъестественная связь между эстетикой, пропорциями и вселенной надолго сделалась центральным принципом западной цивилизации. Еще во времена Шекспира ученые говорили о революции разных пропорций сфер и обсуждали небесную музыку, звучащую по всему космосу.
В системе Пифагора нолю не было места. Эквивалентность чисел и фигур делала древних греков повелителями геометрии, однако она была связана с серьезным недостатком. Она мешала тому, чтобы рассматривать ноль как число. Какая фигура, в конце концов, могла быть нолем?
Легко визуально представить себе квадрат шириной и высотой в две единицы, но что за квадрат с нулевой шириной и высотой? Трудно представить себе квадрат, не имеющий ни ширины, ни высоты, не имеющий никакой материальности. Это означало, что умножение на ноль бессмысленно. Умножение двух чисел эквивалентно нахождению площади прямоугольника, но какой может быть площадь прямоугольника с нулевой высотой или шириной?
Сегодня великие нерешенные проблемы математики формулируются в теоретических формулах, которые математики не в силах доказать. В древней Греции, однако, «число-формы» побуждали мыслить иначе. Знаменитые нерешенные вопросы имели геометрическую форму: имея только линейку и циркуль, можно ли было построить квадрат, площадью равный заданному кругу? Можно ли было с помощью этих инструментов разделить угол на три части?[6] Геометрические построения и фигуры были одним и тем же. Ноль был числом, которое не имело никакого геометрического смысла, так что, чтобы включить его в свою математику, грекам пришлось бы полностью изменить способ вычислений. Они предпочли этого не делать.
Даже если бы ноль был числом в греческом смысле, составление пропорции с участием ноля противоречило бы законам природы. Пропорция больше не выражала бы отношение между двумя объектами. Частное от деления ноля на что угодно – на любое число – всегда равно нолю; другое число полностью поглощается нолем. А частное от деления чего угодно на ноль – числа на ноль – может разрушить логику. Ноль пробил бы дыру в аккуратном пифагорейском порядке Вселенной; по этой причине его нельзя было терпеть.
Пифагорейцы попытались дать отпор другой тревожащей математической концепции – понятию иррационального. Это был первый вызов их взглядам, и братство попыталось держать все в тайне. Когда секрет просочился наружу, последователи культа прибегли к насилию.
Понятие иррациональности таилось внутри греческой математики, как бомба с часовым механизмом. Благодаря двойственности «число-формы» греческое исчисление было равносильно измерению прямой. Таким образом, отношение двух чисел было не более чем сравнением двух отрезков разной длины. Однако для любого измерения требуется стандарт, общая мера для сравнения с величиной отрезков. Например, представьте себе отрезок прямой длиной ровно в фут. Сделайте отметку, скажем, на расстоянии пяти с половиной дюймов от одного конца, которая разделит фут на две неравные части. Греки вычислили бы пропорцию с помощью деления отрезка на маленькие кусочки, используя, например, стандартную мерку в полдюйма. Одна часть отрезка содержала бы одиннадцать таких мер, а другая – тринадцать. Отношение двух отрезков, таким образом, было бы 11:13.
Для того чтобы все вещи во Вселенной управлялись пропорциями, как надеялись пифагорейцы, любое имеющее смысл явление должно было быть связано с безупречной, точной пропорцией. Она в буквальном смысле слова должна была быть рациональной. Точнее, пропорции должны были иметь вид a / b, где a и b были бы безупречными, точными натуральными числами, такими как 1, 2 или 47. (Математики предупреждают, что b не должно быть нолем, потому что это было бы равнозначно делению на ноль, что, как мы знаем, катастрофично.)
Нет необходимости говорить: Вселенная вовсе не так упорядочена. Некоторые числа не могут быть выражены в виде простого отношения a / b. Эти иррациональные числа были неизбежным следствием греческой математики.
Квадрат – одна из простейших геометрических фигур, и пифагорейцы должным образом ценили его. (Квадрат имеет четыре стороны, что соответствует четырем элементам; он символизирует совершенство чисел.) Однако в простоте квадрата прячется иррациональность. Она появляется, если вы проведете диагональ – из одного угла в противоположный. В качестве конкретного примера представьте себе квадрат со стороной в один фут. Проведите диагональ. Одержимые рациональностью люди, такие как греки, смотрели на сторону и диагональ квадрата и спрашивали себя: каково отношение этих двух отрезков?
Первым шагом было бы создать общую мерку, может быть, маленькую линейку в полдюйма длиной. Следующим шагом было бы использование этой мерки, чтобы разделить оба отрезка на одинаковые части. Пользуясь полудюймовой меркой, мы можем разделить сторону квадрата длиной в один фут на двадцать четыре части, каждая длиной в полдюйма. Но что получится, когда мы измерим диагональ? Используя ту же мерку, мы обнаружим… что диагональ состоит из почти тридцати четырех таких частей, но совсем точно не делится. Тридцать четвертый кусочек чуть-чуть не умещается, линеечка торчит из угла квадрата. Мы можем усовершенствовать процесс, взять линеечку длиной в одну шестую дюйма и разделить отрезки на бо?льшее число частей. Тогда сторона квадрата окажется состоящей из семидесяти двух частей, но диагональ будет содержать больше сто одной, но меньше сто двух частей. Измерение снова окажется несовершенным. Что случится, если мы разобьем отрезки на действительно маленькие части – в миллионную долю дюйма каждая? На сторону квадрата придется двенадцать миллионов кусочков, но диагональ будет содержать их чуть меньше, чем 16 970 563. Снова наша линеечка не уляжется на оба отрезка в точности. Какую бы мерку мы ни выбрали, измерение так и не получится точным.
На самом деле сколь бы маленькую мерку мы ни использовали, невозможно найти такую, которая измерила бы сторону и диагональ квадрата в совершенстве: диагональ несоизмерима со стороной квадрата. Тем не менее без общей меры невозможно выразить длины двух отрезков так, чтобы они образовали пропорцию. Это значит, что для квадрата со стороной в единицу длины нельзя найти такие натуральные числа a и b, чтобы диагональ квадрата могла быть выражена как a / b. Другими словами, диагональ квадрата выражается числом иррациональным; сегодня мы понимаем, что это число – корень квадратный из двух.
Для пифагорейской доктрины это было бедой. Как природа могла управляться отношениями и пропорциями, когда нечто столь простое, как квадрат, было способно опровергнуть их язык? В такую идею пифагорейцам было трудно поверить, но она была неопровержима, будучи следствием математических законов, которые были им так дороги. Одно из первых математических доказательств в истории касалось несоизмеримости – иррациональности диагонали квадрата.
Иррациональность представляла опасность для Пифагора, поскольку угрожала основам его вселенной пропорций. Дело еще ухудшалось тем, что пифагорейцы скоро обнаружили: золотое сечение, величайший для них символ красоты и рациональности, также является иррациональным числом. Чтобы не дать этим ужасным числам разрушить доктрину Пифагора, иррациональные числа было решено засекретить. Все члены братства хранили молчание, никому не позволялось делать записи, и несоизмеримость квадратного корня из двух сделалась глубочайшим, ужаснейшим секретом ордена пифагорейцев.
Однако иррациональные числа, в отличие от ноля, не могли игнорироваться греками. Иррациональные числа снова и снова возникали при всевозможных геометрических построениях. Было трудно хранить иррациональность в секрете от людей, настолько одержимых геометрией и пропорциями. Нельзя было избежать того, что в один прекрасный день кто-то не выдал бы секрет. Этим кем-то оказался Гиппас из Метапонта, математик и член пифагорейского братства. Тайна иррациональных чисел оказалась для него несчастьем.
Легенды весьма неопределенны и сообщают противоречивые сведения о предательстве Гиппаса и наказании за него. Математики по сей день рассказывают о несчастном, который раскрыл миру существование иррациональных чисел. Некоторые утверждают, что Гиппаса выбросили за борт в качестве заслуженного наказания за то, что он своими грубыми фактами разрушил прекрасную теорию. Одни древние авторы сообщают о его гибели в море за нечестивость, другие считают, что пифагорейцы изгнали Гиппаса из братства и соорудили его гробницу, исключив тем самым из мира живых. Однако какова бы ни была истинная судьба Гиппаса, не приходится сомневаться, что он был отвергнут своими братьями. Раскрытый секрет потряс самые основы пифагорейской доктрины, однако, объявив иррациональность аномалией, пифагорейцы смогли предотвратить искажение их взгляда на Вселенную. В конце концов греки неохотно включили иррациональные числа в область чисел. Пифагора убила не иррациональность, а бобы.
Легенды о кончине Пифагора являются столь же туманными, как и легенда об убийстве Гиппаса. Тем не менее все они утверждают, что смерть Пифагора была странной; некоторые источники говорят, что он уморил себя голодом, но самая распространенная версия – что причиной его смерти были бобы. Однажды его дом загорелся – его подожгли враги, рассвирепев, что их сочли недостойными видеть Пифагора. Члены братства разбежались, спасая свои жизни. Пифагорейцев убивали одного за другим, братство перестало существовать. Сам Пифагор бежал и мог спастись, если бы не оказался рядом с бобовым полем. Там он остановился, заявив, что скорее позволит себя убить, чем пересечет это поле. Его преследователи только обрадовались этому. Они перерезали Пифагору горло.
Хотя братство рассеялось, а его вождь погиб, пифагорейское учение продолжало жить. Оно скоро стало основой самой влиятельной философии в истории Запада – учения Аристотеля, владевшего умами на протяжении двух тысячелетий. Ноль противоречил этой доктрине и, в отличие от иррациональных чисел, его можно было игнорировать. Качества греческих «число-форм» делали это легкой задачей; в конце концов, ноль не был фигурой, а потому не мог быть числом.
Однако не вычислительная система греков и не недостаток знаний препятствовали принятию ноля. Греки узнали о нем благодаря своему интересу к ночному небу: как и большинство древних народов, они наблюдали за звездами. Первыми мастерами астрономии были вавилоняне; они узнали, как предсказывать затмения. Фалес, первый греческий астроном, научился этому у вавилонян или, возможно, у египтян. О нем говорили, что в 585 году до н. э. он предсказал солнечное затмение.
Вместе с вавилонской астрономией пришли и вавилонские числа. Для целей астрономии греки использовали шестидесятеричную систему и даже стали делить час на шестьдесят минут, а минуту – на шестьдесят секунд. Около 500 года до н. э. ноль – символ-заполнитель – начал появляться в вавилонских записях; его использование, естественно, распространилось и среди греческих астрономов. Во времена расцвета древней астрономии в греческих астрономических таблицах регулярно использовался ноль; его символом был строчной омикрон «
Тебя кусает под одежкой
Блоха, и в свой черед она
Укушена мельчайшей блошкой.
На меньшей меньшая сидит,
И все идет adinfinitum.
Джонатан Свифт. «О поэзии: рапсодия»[7]
Бесконечность и пустота обладали могуществом, которое пугало греков. Бесконечность грозила сделать всякое движение невозможным, а пустота – разбить Вселенную вдребезги. Отвергая ноль, греческие философы придали своему взгляду на Вселенную жизнеспособность на протяжении двух тысячелетий.
Доктрина Пифагора сделалась краеугольным камнем западной философии: Вселенная управлялась отношениями и формами; планеты двигались по небесным сферам и в своем вращении создавали музыку сфер. Но что лежало за их пределами? Существовали ли все бо?льшие и бо?льшие сферы? Была ли самая внешняя из сфер концом Вселенной? Аристотель и более поздние философы настаивали на том, что не может существовать бесконечного числа сложенных друг в друга сфер. Приняв такую философию, Запад отверг возможность существования бесконечности или бесконечного, потому что бесконечность – благодаря Зенону Элейскому, человеку, которого его современники считали совершенно невыносимым, – начинала подгрызать корни западного мышления.
Зенон родился около 490 года до н. э., в начале Греко-персидских войн – великого конфликта между Востоком и Западом. Греки победили персов, однако греческая философия так и не смогла победить Зенона, потому что Зенон придумал парадокс, логическую загадку, которая для греческих философов представлялась неразрешимой. Для греков это был аргумент, вызывающий сильнейшее беспокойство: Зенон доказал невозможное.
Согласно Зенону, никакое движение во Вселенной невозможно[8]. Конечно, это глупое утверждение: любой человек может опровергнуть его, пройдясь по комнате. Хотя всем было ясно, что утверждение Зенона неверно, никто не мог найти ошибки в его рассуждениях. Парадоксы – логические загадки – Зенона ставили в тупик как греческих философов, так и тех, кто пришел после них; они озадачивали математиков почти две тысячи лет.
В своей самой знаменитой загадке – «Ахиллесе» – Зенон доказывает, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неуклюжую черепаху, если она имела преимущество на старте. Чтобы представить это более конкретно, придадим проблеме числовые значения. Предположим, что Ахиллес пробегает один фут в секунду, в то время как черепаха движется со скоростью в два раза меньшей. Предположим также, что черепаха изначально опережала Ахиллеса на один фут.
Ахиллес бежит вперед и за одну секунду достигает того места, где была черепаха. Однако за то время, что он добирается до этой точки, черепаха, которая тоже движется, проходит полфута. Неважно, Ахиллес ведь бежит быстрее, и за полсекунды он покрывает эти полфута. Однако опять же и черепаха за это время продвинулась вперед – на этот раз на четверть фута. Мгновенно – за четверть секунды – Ахиллес преодолевает и это расстояние. Но черепаха за четверть секунды проковыляла еще одну восьмую фута. Ахиллес бежит и бежит, но черепаха каждый раз перемещается вперед; как бы Ахиллес ни приблизился к черепахе, к тому времени, когда он достигает точки, где она только что была, черепаха проходит еще какое-то расстояние. Восьмую часть фута, шестнадцатую часть фута, тридцать вторую часть фута… все меньшее и меньшее расстояние, но все равно Ахиллес никак не может ее догнать. Черепаха всегда его опережает (рис. 10).