С первого взгляда на треугольник Паскаля рябит в глазах, но его структура достаточно проста: каждое число равно сумме двух чисел, расположенных над ним справа и слева.
Вероятностный анализ начинается с вычисления числа возможных ситуаций, обеспечивающих определенный исход некоего события - circuit Кардано . Именно эта совокупность и представлена последовательностью чисел в каждой строке треугольника Паскаля. Первая строка представляет вероятность события, которое не может не произойти. Здесь возможен только один исход с нулевой неопределенностью; это, по сути, не относится к вероятностному анализу. Вторая строка уже представляет вероятностную ситуацию с шансами 50 на 50: вероятность исхода в ситуации, подобной рождению мальчика или девочки в семье, планирующей иметь только одного ребенка, или вероятность того, что при одном броске монеты вам выпадет именно орел или решка. При наличии только двух возможных исходов результат может быть тот или иной: мальчик или девочка, орел или решка; вероятность рождения мальчика, а не девочки или выпадения орла, а не решки равна 50%.
Рассмотрим в том же духе остальные строки треугольника. Третья строка моделирует ситуацию с семьей, в которой двое детей. Возможны четыре варианта: один шанс за двух мальчиков, один шанс за двух девочек и два шанса за то, что в семье есть и мальчик, и девочка - мальчик старше и мальчик младше девочки. Теперь в конечном счете один мальчик (или одна девочка) появляются в трех из четырех исходов, и, таким образом, вероятность наличия мальчика (или девочки) в семье с двумя детьми равна 75%, вероятность наличия мальчика и девочки в одной такой семье равна 50%. Очевидно, что процесс зависит от комбинаций чисел, которые были отмечены в работе Кардано, правда еще не опубликованной к тому времени, когда Паскаль взялся за решение задачи.
Этот же метод анализа приводит к решению задачи об очках. Рассмотрим вместо предложенной Пацциоли игры в balla бейсбол. Какова вероятность того, что ваша команда победит в World Series после проигрыша первого матча? Если мы, как в случайных играх, предположим, что две команды играют одинаково, задача оказывается идентичной задаче об очках, которую решали Ферма и Паскаль.
Допустим, вторая команда уже выиграла одну игру. Каково число разных последовательностей результатов, возможных в шести играх, и какие из этих побед и поражений приведут вашу команду к победам в четырех играх, необходимым для выигрыша? Ваша команда может выиграть вторую игру, проиграть третью и затем выиграть последующие три. Она может проиграть две игры подряд и выиграть последующие четыре. Или она может выиграть нужные четыре игры сразу, оставив команду-соперника только с одним выигрышем. Сколько существует возможных комбинаций побед и поражений в серии из шести игр? Треугольник дает ответ на этот вопрос. Все, что вам нужно, вы найдете в соответствующей строке.
Заметьте, что вторая строка треугольника, строка с шансами 50 на 50, моделирует задачу о семье, имеющей одного ребенка, или задачу об одном броске монеты и описывает события с числом исходов, равным 2. Следующая строка показывает распределение исходов в задаче о семье с двумя детьми или в задаче о двух бросках монеты и описывает события, у которых число возможных исходов равно 4, или 2. Следующая строка описывает события с числом исходов, равным 8, или 2, и показывает распределение исходов в задаче о семье с тремя детьми. В задаче с шестью играми, оставшимися для определения победителя турнира, вам нужно рассмотреть строку с числом возможных исходов 2 , то есть с 64 возможными последовательностями побед и поражений.
Последовательность чисел в этой строке такова:
1 6 15 20 15 6 1
Помните, что вашей команде для победы нужно выиграть еще четыре игры, а команде соперников нужны только три победы. Возможен случай, когда ваша команда выиграет все игры, а ее соперники не одержат ни одной победы; число 1 в начале строки относится к этому случаю. Следующее число 6. Оно фиксирует шесть разных возможных последовательностей исходов, при осуществлении которых ваша команда В выиграет турнир, а ее соперники С выиграют только одну игру:
CBBBBB BCBBBB BBCBBB BBBCBB BBBBCB BBBBBC
И существует пятнадцать разных возможных последовательностей исходов, при осуществлении которых ваша команда выиграет четыре игры, в то время как команда соперников победит дважды.
Все остальные комбинации в конце концов приводят к трем нужным для победы соперников выигрышам их команды и меньшему, чем необходимо для победы вашей команды (напоминаем: ей нужны четыре победы), числу ее выигрышей. Это значит, что существует 1 + 6 + 15 = 22 комбинации, при осуществлении которых ваша команда победит после поражения в первом матче, и 42 комбинации, при которых чемпионом станет команда соперников. В результате вероятность того, что после первого поражения ваша команда в оставшихся шести играх выиграет четыре прежде, чем команда соперников выиграет три, равна /64 или чуть больше одной третьей.
Из примера следует еще кое-что. Зачем ваша команда будет играть все шесть оставшихся игр в последовательности, в которой она может победить досрочно? Или зачем соперники будут играть все четыре игры, если они могут выиграть в трех и этого им будет достаточно для победы?
Хотя на деле ни одна команда не станет продолжать игру после достижения необходимого для определения чемпиона числа выигрышей, логически законченное решение проблемы было бы неосуществимо без рассмотрения всех математических возможностей. Как заметил Паскаль в переписке с Ферма, в ходе решения задачи математические законы должны доминировать над желанием самих игроков, рассматриваемых только как абстракции. Он поясняет, что "для них обоих абсолютно безразлично и несущественно, будет ли [игра] на деле идти до самого конца".
***
Переписка была для Паскаля и Ферма восхитительным опытом исследования новых интеллектуальных пространств. Ферма писал Каркави о Паскале: "Я уверен, что он способен решить любую проблему, за которую возьмется". В одном из писем к Ферма Паскаль признаётся: "Ваши числовые построения... превосходят мое понимание". В другом месте он характеризует Ферма как "человека такого выдающегося интеллекта... и такого высочайшего мастерства... [что его работы] сделают его первым среди геометров Европы".
У рассматриваемой задачи были аспекты, которые и Паскаля, глубоко погруженного в религиозные и моральные искания, и юриста Ферма беспокоили больше, чем связанные с ней математические проблемы. Согласно полученному ими решению, раздел банка в неоконченной игре в balla затрагивает проблемы морального права. Хотя игроки могли бы сразу поделить банк поровну, это решение Паскалю и Ферма кажется неприемлемым, потому что оно было бы несправедливым по отношению к игроку, который к моменту прекращения игры оказывается впереди.
Паскаль явно озабочен моральными аспектами проблемы и осторожен в словах. В своих комментариях к этой работе он отмечает:
"...в первую очередь следует признать, что деньги, поставленные игроками на кон, им больше не принадлежат... но взамен они получают право ожидать того, что им принесет удача в соответствии с правилами, на которые они согласились вначале". Если они решат остановить игру, не доведя ее до конца, им придется вновь восстановить исходные права на внесенные в банк деньги. Тогда "должно действовать правило, согласно которому деньги нужно распределить пропорционально тому, что каждому обещала удача. <...> Это справедливое распределение известно как раздел".
Справедливые пропорции раздела определяют принципы теории вероятностей.
С учетом этого подхода становится очевидным, что решение Паскаля-Ферма ярко окрашено идеей управления риском, хотя они явно не использовали это понятие. Только безумец идет на риск, если правила не определены, будь то balla, покупка акций IBM, строительство фабрики или согласие на удаление аппендикса.
Но помимо моральных проблем, предложенное Паскалем и Ферма решение приводит к точным обобщениям и правилам вычисления вероятностей, включая случаи участия более чем двух игроков, двух команд, двух полов, двух костей или монет с орлом и решкой. Применение этого подхода позволило им расширить границы теоретического анализа далеко за пределы наблюдений Кардано, что две кости с шестью гранями (или два броска одной кости) дадут 6 комбинаций, а один бросок трех костей дает 6 комбинаций.
Последнее письмо в переписке Паскаля и Ферма датировано 27 октября 1654 года. Меньше чем через месяц Паскаль прошел через своего рода мистический опыт. Он зашил описание этого события в свое платье, чтобы носить его у сердца, провозгласив: "Отречение, абсолютное и сладостное". Он отказался от занятий математикой и физикой, отрекся от роскоши, покинул старых друзей, продал всё, кроме религиозных книг, и вскоре ушел в парижский монастырь Пор-Рояль.
В июле 1660 года Паскаль совершил поездку в Клермон-Ферран, недалеко от жилища Ферма в Тулузе. Ферма предложил встретиться, чтобы "обняться и побеседовать пару дней", на полпути между двумя городами; он жаловался на плохое здоровье, объясняя нежелание взять на себя труд проехать все расстояние самому. В августе Паскаль в ответ написал:
"Я едва помню, что существует такая вещь, как геометрия [т. е. математика. - П. Б.]. Я почитаю геометрию столь бесполезной, что не могу усмотреть разницу между геометром и хорошим ремесленником. Хотя я считаю ее лучшим в мире ремеслом, это все же не более чем ремесло... Весьма вероятно, что я никогда больше не буду думать об этом"
***
Во время пребывания в Пор-Рояле Паскаль собрал воедино свои мысли о жизни и религии и опубликовал их в книге, озаглавленной "Pensees" ("Мысли"). Во время работы над этой книгой он заполнил с обеих сторон два листа бумаги, по словам Хакинга "написанные разбегающимся во все стороны почерком... полные подчисток, исправлений, производящие впечатление запоздалых раздумий". Этот фрагмент приобрел известность как пари Паскаля (le pari de Pascal). Здесь он задается вопросом: "Есть Бог или нет Бога? К чему нам склониться? Разум молчит".
Опираясь на свой анализ вероятных исходов игры в balla, Паскаль ставит вопрос в терминах случайных игр. Он постулирует игру, которая продолжается до бесконечности. В данный момент бросается монета. На что вы поставите - на орла (Бог есть) или решку (Бога нет)?
Хакинг утверждает, что ход рассуждений Паскаля в предложенном им варианте ответа на этот вопрос представляет собой начало теории принятия решений. "Теория принятия решений, - рассуждает Хакинг, - это теория о том, на что решиться, когда неизвестно, что произойдет". Принятие такого решения является первым и важнейшим шагом при любых попытках управлять риском.
Иногда мы принимаем решения на основе прошлого опыта, тех экспериментов, которые мы или другие проводили в течение жизни. Но нам недоступен эксперимент, способный доказать бытие или небытие Бога. Зато в наших силах исследовать будущие последствия веры или неверия в Бога. Мы никогда не сможем избавиться от этой дилеммы, потому что самим актом своего существования принуждены играть в эту игру.
Паскаль объясняет, что вера в Бога - это не решение. Вы не можете проснуться утром и сказать: "Сегодня, кажется, я решу верить в Бога". Вы верите или не верите. Решением, следовательно, является выбор или отказ от таких действий, которые будут вести к вере в Бога, подобно общению с благочестивыми людьми и следованию жизни "святой и праведной". Следующий этим предписаниям ставит на то, что Бог есть. Тот, кто не может смириться с ними, ставит на то, что Бога нет.
Единственный способ выбрать между ставкой на то, что Бог есть, и ставкой на то, что Он не существует, в этой описанной Паскалем бесконечной игре с бросанием монеты заключается в принятии решения, является ли исход, при котором Бог существует, в некотором смысле более предпочтительным, чем исход, в соответствии с которым Бог не существует, даже если шансы могут быть только 50 на 50. Как раз этот взгляд привел Паскаля к решению - к выбору, в котором ценность исхода и вероятность того, что он будет иметь место, различаются, потому что последствия обоих исходов различны.
Если Бога нет, не важно, ведем мы праведную жизнь или грешим. Но предположим, что Бог есть. Тогда, поставив против Его существования и отказавшись от праведной жизни, вы рискуете быть обреченным на вечные муки; поставив же на существование Бога, вы приобретаете возможность спасения, если Он есть. Поскольку спасение, естественно, предпочтительнее вечных мук, правильным следует признать решение исходить в своем поведении из предположения, что Бог есть. "К чему нам склониться?" Для Паскаля ответ был очевиден.