Леонардо имел экземпляр "Summa" и, должно быть, прилежно проштудировал его. Его записные книжки свидетельствуют о повторяющихся попытках освоить умножение и дроби в применении к использованию пропорций. В одном месте он напоминает себе, что должен "изучить умножение корней по мастеру Луке". По нынешним меркам математические познания Леонардо соответствовали бы уровню третьего арифметического класса.
Тот факт, что у таких гениев Ренессанса, как Леонардо, было столько трудностей с элементарной арифметикой, дает представление о состоянии математических знаний в конце XV века. Каким образом математики нашли в себе силы с этих позиций сделать первые шаги к созданию методов измерения риска и контроля за ним?
***
Сам Пацциоли чувствовал, какие огромные возможности таятся в волшебстве чисел. В тексте "Summa" он предложил следующую задачу:
А и В играют в balla. Они договорились играть, пока один из них не выиграет шесть конов. На самом деле игра прекратилась, когда А выиграл пять, а В три кона. Как поделить банк?
В течение XVI и XVII столетий математики вновь и вновь обращались к этой головоломке. Она имела много вариаций, но всегда вопрос сводился к одному: как поделить банк в неоконченной игре? Предлагались разные ответы, разгорались горячие споры.
Головоломка, получившая известность как задача об очках, имела более глубокий смысл, чем кажется на первый взгляд. Ее решение ознаменовало начало систематического анализа вероятности - измерения нашего знания о том, что что-то должно произойти. Оно приводит нас на порог квантификации риска.
Получив представление о том, каким могучим барьером на пути исследования тайн теории вероятностей были предрассудки Средневековья, интересно снова вернуться к вопросу, почему греки и даже римляне не интересовались задачами, подобными головоломке Пацциоли.
Вообще-то греки понимали, что в будущем может произойти больше вещей, чем произойдет на самом деле. Они отмечали, что естественные науки - это, используя терминологию Платона, "науки о возможном". Аристотель в "De Caelo" говорил:
"Добиться успеха во многих вещах или много раз трудно; например, выбросить некую комбинацию в кости десять тысяч раз подряд было бы невозможно, но сделать это один или два раза сравнительно легко".
Это подтверждалось простыми наблюдениями. Но следует заметить, что правила, по которым греки и римляне играли в случайные игры, в наше время показались бы весьма нелепыми. Это тем более странно, что в античном мире такие игры были очень популярны (грекам уже были известны шестигранные кости) и являлись настоящей лабораторией для изучения шансов и вероятностей.
Рассмотрим игры с применением таранных костей. В отличие от позднейших кубических костей они продолговатые, с двумя узкими и двумя широкими поверхностями. В играх обычно бросали сразу четыре кости. Шансы, что кость выпадет широкой стороной, конечно, выше, чем узкой. Поэтому было бы естественно ожидать, что узкая сторона должна приносить больше очков, чем широкая. Но сумма очков, приносимых менее вероятными узкими сторонами - 1 на одной кости и 6 на другой, - приравнивалась тому, что приносили более вероятные широкие стороны, - 3 и 4. Результат же, называемый "Венера", когда на вас смотрят все возможные игровые грани костей - 1, 3, 4, 6, - приносил максимум очков, хотя столь же вероятны комбинации 6, 6, 6, 6 или 1, 1, 1, 1, приносившие по правилам меньше очков.
Кроме того, хотя было очевидно, что длинные серии выигрышей или проигрышей менее вероятны, чем короткие, эти ожидания носили не количественный, а качественный характер: Аристотель говорил, что "...сделать это один или два раза сравнительно легко". И хотя в эти игры играли повсеместно и с диким азартом, никому не приходило в голову подсчитывать шансы.
Надо полагать, дело было в том, что греки вообще не проявляли интереса к экспериментированию; их занимали только теории и доказательства. Они, кажется, никогда не обсуждали возможность воспроизведения какого-либо явления достаточное для доказательства гипотезы число раз, видимо, потому, что им была чужда мысль об упорядоченности событий на земле. Точность считалась монополией богов.
***
В отличие от античности во времена Ренессанса каждый, от ученого до изобретателя, от художника до архитектора, испытывал зуд исследований, экспериментирования и демонстрации результатов опыта. В этой интеллектуальной атмосфере кто-то из игроков должен был обратить внимание на регулярности, проявляющиеся при так называемой игре в длинную.
Такой игрок появился в XVI веке. Им оказался лекарь по имени Джироламо Кардано. Одной только репутации Кардано как азартного игрока, пытавшегося осмыслить закономерности игры, достаточно для упоминания его имени в истории освоения риска, но он проявил выдающиеся таланты и во многих других областях. Удивительно, что в наше время он сравнительно мало известен. Он был олицетворением Ренессанса.
Кардано родился в Милане около 1500 года и умер в 1571 году. Он был современником Бенвенуто Челлини и, подобно Челлини, одним из первых знаменитостей, оставивших автобиографию. Свою книгу он назвал "De Vita Propria Liber" ("Книга моей жизни"), и что это была за жизнь! Поистине, его любознательность была сильнее его самого. Характерно увлечение, с которым он, описывая собственную жизнь, обсуждает четыре выдающихся достижения своего времени: вступление в новую эру географических открытий, познакомивших европейцев с двумя третями земной поверхности, о которых древние ничего не знали, изобретение огнестрельного оружия, компаса и книгопечатания с использованием набора.
Кардано был худым, с длинной шеей, тяжелой нижней губой, бородавкой над глазом и таким громким голосом, что вызывал раздражение даже у друзей. По его собственному признанию, он страдал диареей, грыжей, болезнью почек, тахикардией и даже воспалением соска. Не без рисовки он пишет о себе: "Я был горяч, простодушен и падок на женщин", а также "хитер, силен, саркастичен, прилежен, дерзок, печален, вероломен, склонен к чародейству и колдовству, жалок, злобен, похотлив, непристоен, лжив, подобострастен, старчески болтлив".
Кардано был игрок из игроков. Он признавался в "неодолимой тяге к игорному столу и костям... Долгие годы... я играл не время от времени, но, стыдно сказать, каждый день". Он играл во всё - от костей и карт до шахмат. Он зашел так далеко, что признавал благотворность игры: "...в периоды потрясений и бедствий... я находил утешение в постоянной игре в кости". Кардано терпеть не мог непрошеных советчиков и все знал о шулерских проделках, в частности остерегался игроков, "которые натирали карты мылом, чтобы они легко скользили и были послушны в руках". Анализируя в своей книге вероятностные закономерности игры в кости, он не забывал осторожно оговориться: "...если игра ведется честно". Тем не менее ему приходилось проигрывать крупно и достаточно часто, чтобы заключить, что "лучший из возможных выигрышей - это отказ от игры". Он, кажется, первым в истории взялся за серьезный анализ случайных игр.
Кардано был не только игроком и математиком "от случая к случаю", но и самым знаменитым врачом своего времени - его настойчиво стремились заполучить многие европейские дворы и Ватикан. Однако он не терпел придворные интриги и отклонял все высокие приглашения. Ему принадлежит первое клиническое описание симптомов тифа, он писал о сифилисе и предложил новый метод операции грыжи. Он говорил, что "человек есть не что иное, как дух; если дух не в порядке, все плохо, если же он здоров, все остальное лечится просто", и был одним из первых пропагандистов купания и душа. Когда его в 1552 году пригласили в Эдинбург для лечения архиепископа Шотландского от астмы, он на основе своих знаний об аллергии порекомендовал пациенту набить перину не перьями и пухом, а некрученым шелком, заменить кожаные наволочки полотняными, а причесываться гребнем из слоновой кости. Перед отъездом из Милана в Эдинбург ему предложили за услуги ежедневную плату в размере десяти золотых крон; когда же через сорок дней он покидал Эдинбург, благодарный пациент вручил ему 1400 крон, не считая дорогих подарков.
Кажется, Кардано был очень занятым человеком. Он опубликовал 131 печатную работу, сжег, по его словам, еще 170, а после смерти оставил 111 неопубликованных рукописей. В его писаниях затрагиваются самые разные вопросы, касающиеся математики, астрономии, физики, состава мочи, зубов, жизни Девы Марии, гороскопа Иисуса Христа, морали, аморальности, жизни Нерона, музыки, снов. Его "De Subtilitate Rerum" ("О сущности вещей") стала тогдашним бестселлером и выдержала шесть изданий подряд; в ней обсуждаются научные и философские вопросы наряду с суевериями и загадочными историями.
У него было два сына, заставивших его испытать много горя. В "De Vita" Кардано пишет о старшем сыне Джамбаттисте, своем любимце, что он был "глух на правое ухо, с маленькими бесцветными беспокойными глазами. На левой ноге у него было два пальца; третий и четвертый, если я не ошибаюсь, срослись с большим, образуя гусиную лапу. Он был немного горбат...". Джамбаттиста женился на девушке с подпорченной репутацией, которая была ему неверна; по ее признанию, муж не был отцом ни одного из ее троих детей. После трех лет семейной жизни, ставшей для него адом, Джамбаттиста приказал своему слуге приготовить пирог с мышьяком и дал его жене, которая тут же умерла. Кардано сделал все для спасения сына, но Джамбаттиста уже после освобождения из тюрьмы признался в убийстве жены. По пути к месту казни, где его обезглавили, палачи отрубили ему левую руку и пытали его. Младший сын, Альдр, постоянно обкрадывал своего отца и время от времени попадал в тюрьму, где побывал не менее восьми раз.
У Кардано был молодой протеже, Лодовико Феррари, блестящий математик, какое-то время служивший секретарем у кардинала Мантуи. В возрасте 14 лет Феррари поселился у Кардано и скрашивал его старость, называя себя "творением Кардано". Он защищал доказательства Кардано в нескольких диспутах с другими математиками, и многие авторитетные ученые считают, что ему принадлежали многие идеи, приписываемые его учителю. Но Феррари не смог утешить Кардано, тяжело переживавшего трагедию собственных сыновей. Темпераментный, щедро растрачивавший себя, Феррари потерял все пальцы на правой руке в трактирной ссоре и в 43 года был отравлен то ли сестрой, то ли ее любовником.
***
Главный математический труд Кардано "Ars Magna" ("Великое искусство") вышел в свет в 1545 году; к этому времени Коперник уже опубликовал описание гелиоцентрической планетной системы, а Везалий закончил свой трактат по анатомии. Пятью годами раньше в "Основах искусств" ("Grounde of Artes") англичанина по имени Роберт Рикорд впервые появились символы "+" и "-". Семнадцать лет спустя в английской же книге под названием "Оселок остроумия" ("Whetstone of Witte") впервые был использован символ "=", потому что "на свете не может быть большей идентичности, чем у пары параллельных прямых".
"Ars Magna" была первой основательной работой эпохи Ренессанса по алгебре. В ней Кардано углубляется в решение кубических и квадратных уравнений и даже ломает голову над квадратными корнями отрицательных чисел, неизвестных до использования цифровой системы счисления и все еще остающихся для многих тайной за семью печатями. Хотя система алгебраических условных обозначений в то время еще не устоялась и каждый автор произвольно пользовался собственной символикой, Кардано ввел использование символов a, b и c, ныне привычных для всех, изучавших алгебру. Удивительно, но он не сумел решить головоломку Пацциоли об игре в balla. Несмотря на все старания, ему, как и другим математикам его времени, это не удалось.
Игре посвящен трактат Кардано "Liber de Ludo Aleae" ("Книга о случайных играх"). Слово aleae имеет отношение к игре в кости. Aleatorius происходит от того же корня и относится к случайным играм вообще. Эти слова дошли до нас в слове "aleatory", обозначающем события с неопределенным исходом. Так элегантная латынь невольно объединила для нас понятия игры и неопределенности.
В "Liber de Ludo Aleae" были предприняты первые серьезные попытки разработать статистические принципы теории вероятностей. Но само слово "вероятность" в тексте не встречается. В названии, которое Кардано дал своей книге, и большей части текста используется слово "шансы". Латинские корни слова probability представлены комбинацией probare, что означает 'испытывать, пробовать' или 'проявлять себя', и ilis, что означает 'способность быть'; именно в этом смысле могло бы оказаться на поверку верным или стоящим рассмотрения предположение, что Кардано мог знать это слово. Понимание связи между вероятностью и случайностью, составляющей суть случайных игр, еще около ста лет после опубликования "Liber de Ludo Aleae" не смогло стать достоянием обыденного мышления.
По утверждению канадского философа Яна Хакинга (Hacking), латинские корни слова "вероятность" означают нечто вроде 'заслуживающее проверки'. Это значение слова сохранялось долгое время. В качестве примера Хакинг приводит отрывок из романа Даниэля Дефо "Роксана, или Удачливая любовница", датированного 1724 годом. Леди, убедившая состоятельного мужчину заботиться о ней, именно в этом смысле употребляет слово probable, когда говорит: "Я тогда впервые увидела, что значит вести комфортабельную жизнь, и это стоило испытать (it was a very probable way)". Это значит, что она создала себе образ жизни, соответствующий благосостоянию ее покровителей; как сказал Хакинг, она "сумела выбраться из той грязи, в которой начинала".
Хакинг приводит и другой пример толкования этого слова. Галилео назвал теорию Коперника о вращении Земли вокруг Солнца improbable (неправдоподобной, невероятной), потому что она противоречит тому, что люди могут видеть собственными глазами, - Солнце ходит вокруг Земли. Теория была неправдоподобной, потому что не находила подтверждения. Менее столетия спустя, используя новое (но все же не новейшее) значение слова, немецкий философ Лейбниц охарактеризовал гипотезу Коперника как "несравненно более вероятную". Для Лейбница, пишет Хакинг, "вероятность определяется через очевидность и разум". На самом деле в немецком слове wahrscheinlich хорошо отображается смысл понятия: оно переводится как "кажущееся правдой, правдоподобное".
Вероятность всегда несет в себе двоякий смысл: с одной стороны, это взгляд в будущее, с другой - истолкование прошлого; с одной стороны, речь идет о наших предположениях, с другой - о том, что мы действительно знаем. Эта двуединость понятия пронизывает все, о чем пойдет речь в этой книге.
В первом смысле вероятность означает степень правдоподобия или приемлемости мнения - хороший взгляд на вероятность. Ученые обозначают такое понимание термином "эпистемологический", т. е. не поддающийся до конца анализу и пониманию, находящийся на границе познаваемого и непознаваемого.
Понимание этого первого аспекта возникло значительно раньше, чем идея об измерении вероятности. Старое понимание развилось с течением времени из идеи проверки: насколько можно принимать на веру то, что мы знаем? В случае Галилео вероятность была оценкой того, насколько можно верить тому, о чем нам сказали. Использование этого понятия у Лейбница ближе к современному: насколько можно доверять собственному восприятию.
Этот более современный подход не мог получить развития, пока математики не разработали теоретическую концепцию частоты событий в прошлом. Кардано мог первым наметить статистический подход к теории вероятностей, но характерное для его времени и психологии игрока отношение к жизни обусловило интерес только к субъективно-волевому аспекту вероятностей, и такое понимание не стыковалось с тем, что он пытался осуществить на пути измерения.
Кардано осознавал, что он стоит перед чем-то значительным. В автобиографии он, оценивая "Liber de Ludo Aleae" как одно из своих главных достижений, отметил, что "открыл разум для тысячи поразительных фактов". Заметьте слова "разум для". Упоминаемые в книге факты о частоте исходов были известны каждому игроку, но не было теории, объясняющей эти частоты. Кардано высказывает характерную для теоретика жалобу: "...эти факты много дают для понимания, но вряд ли что-либо для самой игры".
В автобиографии Кардано сообщает, что написал "Liber de Ludo Aleae" в 1525 году, будучи еще молодым человеком, и переписал заново в 1565-м. При экстраординарной оригинальности книга чрезвычайно беспорядочна. Она собрана из бесчисленных черновых набросков и решений проблем, которые появляются в одном месте, перемежаются с решениями, базирующимися на существенно отличных методах, описанных в другом месте. Отсутствие какой-либо системы в использовании математических символов страшно затрудняет понимание текста. Работа не публиковалась при жизни Кардано. Она была найдена среди рукописей после его смерти и впервые опубликована в Базеле только в 1663 году. К этому времени в теории вероятностей был достигнут значительный прогресс силами других ученых, которые не были знакомы с направленными к той же цели усилиями Кардано.