НЕБЫЛИЦАОБ АРХИМЕДЕ, КОТОРЫЙ ПЕРВЫМ ДОГАДАЛСЯ,ЧТО СЧИТАТЬ МОЖНО БЕЗ КОНЦА
Решив однажды ночь не спать,
Великий Архимед
Задумал звёзды сосчитать -
Но наступил рассвет.Загадку счёта разгадать
Немедленно решив,
Он капли в море стал считать -
Но начался отлив.Тогда он тяжело вздохнул,
Потёр себе висок,
И, притащив трехногий стул,
Он сел считать песок.Сидел, считал, кряхтел, сопел,
И много насчитал,
Но ветер с моря налетел -
И весь песок смешал.- Считать я буду просто вслух! -
Мудрец в сердцах решил.
Он громко досчитал до двух -
И сон его сморил.
КАК ДЕЛИТЬ И КАК ДЕЛИТЬСЯ
Летя в межзвёздном пространстве, Алиса чувствовала себя как намягкой-мягкой (бесконечно мягкой!) перине. Глаза её начинали слипаться,и она заснула.
Когда Алиса проснулась, всё вокруг изменилось до неузнаваемости: небобыло уже не звёздным, а голубым, и на нем ярко сияло солнце. Купатьсяв солнечных лучах было очень приятно - оказалось, что Алиса порядкомозябла в межзвёздном пространстве. Вдруг она вспомнила, что летит вслед заШалтаем-Болтаем, повернула голову и увидела, что падает на городс островерхими башнями! Впереди неё падал Шалтай-Болтай - он всё так жемедленно вращался и, кажется, спал.
Город был ещё далеко, и башни казались игрушечными, но они росли прямона глазах. Алиса различила шпили на башнях и вся съёжилась. Однако скоростало ясно, что они с Шалтаем-Болтаем падают на городскую площадь, посредикоторой бьёт фонтан.
- Что же с нами будет? - в тревоге подумала Алиса, и в тот же мигШалтай-Болтай упал на площадь и разбился. Скорлупа разлетелась на мелкиекусочки, но желток сохранился в целости.
- Если я упаду на него, то разобью его совсем! - мелькнуло в головеу Алисы.
Она закрыла глаза и изо всех сил пожелала, чтобы она не добилаШалтая-Болтая и не разбилась сама. В ту же секунду она всем телом ощутилаупругую прохладу - ей показалось, что она упала на мокрый диван. Открывглаза, Алиса обнаружила, что покачивается на вершине струи фонтана. Внизу,возле самого фонтана, в обломках скорлупы лежал Шалтай-Болтай.
Алиса соскользнула по струе и бросилась к Шалтаю-Болтаю. Желток всё ещёподрагивал после удара.
- Он жив! - обрадовалась Алиса. - Но как же его собрать?
Она огляделась: кусочки скорлупы были разбросаны по всей площади.
В этот момент на площадь выбежали два воина.
- Это, наверное, королевская рать, - догадалась Алиса. - Нонеужели это вся рать? А где же конница?
И тут на площадь вылетел всадник.
- Половина моя! - крикнул всадник воинам, осаживая коняперед самым Шалтаем-Болтаем. - Вам и по четверти хватит!
- Конница у короля тоже не очень большая, - подумала Алиса. -Но они, кажется, хотят не собирать Шалтая-Болтая, а разбирать!
Она хотела уже вмешаться, но вдруг воины и всадник замерли: послышаласьбарабанная дробь. Алиса оглянулась и увидела, что по одной из улиц к площадиприближается целое войско. Впереди шли полковые музыканты, а передмузыкантами на белом коне ехал шахматный Белый Король.
Слева от Короля величественно ступал Лев, а справа вразвалочку шёлЕдинорог. Алиса вспомнила песенку:
Вёл за корону смертный бой со Львом Единорог.
Гонял Единорога Лев вдоль городских дорог,
Кто подавал им чёрный хлеб, а кто давал пирог,
А после их под барабан прогнали за порог...
Через несколько минут конница и рать заполнили всю площадь.
- Бедные скорлупки! - с жалостью подумала Алиса. - От них,наверное, остались одни крошки...
Она охраняла желток, но толпа всё напирала и напирала.
- Стойте! - изо всех сил крикнула Алиса.
Воины сразу остановились, а Белый Король посмотрел на Алисус изумлением.
- Ты кто такая? - спросил он.
Алиса вежливо представилась и даже сделала реверанс.
- Тебя здесь быть не должно, - решительно заявил Король, -в песне поётся только о Шалтае-Болтае, королевской коннице и королевскойрати. Никакой Алисы в песне нет!
- В песне нет, а здесь я есть! - возразила Алиса, загораживаяШалтая-Болтая.
- Его должна собирать королевская конница и королевская рать! -показал Король на Шалтая-Болтая. - Причем вся! - крикнулон, обращаясь к своим воинам, и те в ответ загудели. Толпа снова началанапирать.
- Назад! - отчаянно закричала Алиса. - Если уж на топошло, - обратилась она к Королю, - то в песне поётся, что всякоролевская конница и вся королевская рать не сможет Шалтая-Болтаясобрать!
- А ведь и правда, - удивился Король и оглянулся. - Неужелиу меня такое маленькое войско?
- Оно, наоборот, слишком большое, - сказала Алиса. - Всадникови воинов много, а Шалтай-Болтай - один!
- Ну и что? - возразил Король. - Единица делится на любоечисло!
- Единица делится только на единицу! - заявила Алиса. -И поэтому собирать Шалтая-Болтая должна я одна.
Тогда Белый Король полез в карман, вытащил платок с королевским вензелеми помахал им перед Алисой.
- Этот платок один? - спросил он.
- Один, - подтвердила Алиса, и Король одним движением разорвалплаток пополам.
- Вот я и разделил один на два, - сказал Король, держав каждой руке по половинке платка. - Можно делить и дальше, -добавил он и разорвал пополам половинки.
- Хватит, - остановила его Алиса. - Я поняла.
- Ты, наверное, знакома пока только с натуральнымичислами, -предположил Король, раскладывая по карманам четвертушкиплатка. - Надо бы познакомить тебя и с дробными... Где Леви Единорог? - неожиданно обернулся он.
- Мы здесь, - выбрались из толпы Лев и Единорог.
- Вот вам два яблока на троих, - сказал Король, вынимая из карманамантии два больших красных яблока и протягивая их Алисе. - Разделите!
- Мне - львиную долю! - тут же предложил Лев.
- А что это значит? - поинтересовалась Алиса, держа в каждой рукепо яблоку.
- Половина яблока полагается мне как царю зверей, - начал объяснятьЛев, - ещё половину должна получить моя жена-львица, и половина яблокапричитается моим львятам...
- Всем львятам - только пол-яблока? - не удержаласьАлиса. - По сколько же достанется каждому?
- Это неизвестно, - пожал плечами Лев. - Ведь одни львятасильнее, а другие слабее...
- А кому, по-твоему, должна достаться последняя половинаяблока? - перебил его Король.
- За неё я готов вести смертный бой с кем угодно! - заявил Лев,и Единорог вытащил руки из карманов.
- Твой способ деления мне не очень нравится, - сказал Король,обращаясь ко Льву. - Я хотел бы, чтобы вы разделили эти яблокипоровну.
- Поровну я делить не умею, - извиняющимся тоном сказал Лев. -Как-то не приходилось...
- Можно очень просто разделить эти яблоки так, чтобы они получилипоровну, - неожиданно произнёс Единорог, показывая на Льва и на Алису.
- Как? - заинтересовался Король.
- Надо отдать оба яблока мне! - ответил Единорог.
- Этот способ слишком прост, - заметил Король. - Я хочу, чтобывы все получили поровну!
- Давайте я попробую разделить яблоки, - предложила Алиса. -Только мне нужен нож.
Король вынул из кармана мантии перочинный ножик, раскрыл его и протянулАлисе.
- Если бы у нас было одно яблоко на троих, каждомудосталась бы одна третья часть яблока, - рассудила Алиса.
Она разрезала одно яблоко на три равные части и дала Льву и Единорогу поодной трети.
- А теперь разделим так же и второе яблоко... - и она протянулаЛьву и Единорогу ещё по одной трети яблока.
- Ну вот, делить два на три ты уже умеешь, - сказалКороль. - Получается каждому по две трети...
- Каждому не получается, - возразил Лев, возвращая Алисе свои дветрети яблока. - Деление поровну наводит на меня тоску!
- Вы же были готовы вести смертный бой за половину яблока, -удивилась Алиса. - А две трети - это, кажется, больше, чемполовина?
- Больше, - подтвердил Король. - Я вижу, ты уже поняла, чтотакое дробные числа.
- Ещё не совсем, - честно призналась Алиса.
- Ты просто ещё не поняла, что уже поняла, - объяснилКороль. - Половина, четверть, одна треть, две трети, однашестая - это все дробные числа.
- Благодаря этим числам ты можешь делить теперь любое число налюбое, - небрежно заметил Единорог.
- Не на любое, - вмешался вдруг Лев. - Вот тут ужя действительно готов вести смертный бой!
- Не надо, старина, - остановил его Единорог. - Ты прав:нельзя делить на нуль!
- Даже если очень захочется, - добавил Лев.
- Я не буду делить на нуль, - пообещала Алиса. - А на всеостальные числа делить можно?
- Можно, - ответил Король.
- Делить можно, а делиться нужно! - заметил Единороги выразительно посмотрел на "львиные" две трети яблока в рукаху Алисы.
Алиса протянула Единорогу одну треть яблока и с беспокойством посмотрелана Шалтая-Болтая.
- Его надо поскорее собрать! - озабоченно сказала она.
- Сейчас мы соберём его все вместе! - воскликнул Король. - Разединицу можно делить на сколько угодно частей, работа найдётся каждому...
- Не надо делить Шалтая-Болтая на сколько угодно частей! -взмолилась Алиса. - Давайте я соберу его сама.
- Хорошо, - подумав, согласился Король. - И за это ты получишьнаграду!
- Не нужна мне никакая награда, - сказала Алиса, - пустьтолько ваши воины уйдут с площади, чтобы я могла собрать Шалтая-Болтая!
- От королевских наград не отказываются! - обиженно заявил Король.
- А какая награда? - поинтересовалась Алиса.
- Большой шоколадный торт с орехами, - торжественно произнёсКороль.
- От такой награды отказаться трудно! - признала Алиса.
- Только давай так, - сказал Король, - если ты сама не сможешьсобрать Шалтая-Болтая, тогда ты мне дашь шоколадный торт!
- Где же я его возьму? - развела руками Алиса.
- Где хочешь, - сказал Король. - Иначе я не согласен.
- Что же делать? - с тревогой подумала Алиса. - Они вот-вотрастопчут бедного Шалтая-Болтая!
- Хорошо, я согласна! - решилась она.
Король подал знак, но на площади скопилось так много воинов, что они немогли развернуться, и поэтому им пришлось уходить задом-наперёд. Из-за этогоАлисе показалось, будто время потекло вспять.
- Вот если бы всё так и шло в обратном порядке до того момента, когдаШалтай-Болтай был ещё цел! - подумала она. - Но толькопобыстрее...
И сразу же движение воинов ускорилось; через минуту войско, пятясь,замаршировало по улице; за войском, тоже задом-наперёд, гордо шлибарабанщики с высоко поднятыми головами - барабанная дробь слиласьв сплошной треск. За барабанщиками бегом пятились Лев и Единорог,а последним ехал Белый Король: он величественно держался в седле, а конь егобежал задом-наперёд, перебирая стройными ногами.
Не успела Алиса опомниться, как площадь опустела - возлеШалтая-Болтая остались только всадник и те два воина, которые появилисьпервыми. Всадник что-то пискнул на непонятном языке ("в его словах всезвуки тоже наоборот!" - догадалась Алиса), и, двигаясьзадом-наперед, всадник и воины умчались с площади.
В следующую секунду неведомая сила потащила Алису в бассейн, окунулав воду и подбросила на вершину струи фонтана. Ещё мгновение - и Алиса,совершенно сухая, взлетела со струи вверх и стала подниматься все вышеи выше.
Сверху она увидела, как со всей площади к Шалтаю-Болтаю начали слетатьсякусочки скорлупы, и вот уже он, целый и невредимый (и даже спящий!) полетелвверх, вслед за Алисой.
- Стоп! - крикнула Алиса. - Теперь снова вниз, но пусть никтоиз нас не разобьётся!
На этот раз оба - Шалтай-Болтай и Алиса - упали в фонтан:Шалтай-Болтай попал на струю, а Алиса упала в бассейн.
- Где я?! - завопил Шалтай-Болтай, сразу проснувшись.
- Прыгайте в бассейн! - крикнула снизу Алиса. - Вы неразобьётесь!
Шалтай-Болтай прокатился по верхушке струи и плюхнулся вниз, подняв тучубрызг. Алиса схватила его за руку, и они выбрались из воды.
Посмотрев в ту сторону, куда ушла королевская рать, Алиса увиделаКороля. На этот раз он шёл пешком, а за ним в две шеренги по четыре в рядвышагивали поварята в больших белых колпаках.
- Теперь у Короля совсем другая рать, - подумала Алиса.
Король подошел к Шалтаю-Болтаю и внимательно его осмотрел. Тот, скосивглаза, с подозрением следил за Королём.
- Ни одной трещинки! - произнёс, наконец, Король и дружески похлопалШалтая-Болтая по плечу (или по щеке?).
Неизвестно, понравилось это Шалтаю-Болтаю или нет, но он тут же побежалк стене, идущей вдоль одной стороны площади, и, высоко подпрыгнув, уселся настене, скрестив ножки по-турецки.
- Неплохо, - одобрительно отозвался Король, проследив взглядом заШалтаем-Болтаем.
Алиса тоже посмотрела в ту сторону, и ей бросилось в глаза, что стенаувита плющом с огромными листьями - листья были в половину её роста. А,кроме того, она увидела, что Шалтай-Болтай превратился в нуль!
- А где же другие числа? - почему-то подумала Алиса и тут жеувидела их: справа от нуля вдоль стены на равных расстояниях друг от другастояли красивые цифры 1, 2, 3, 4... - Алиса сразу узнала натуральныйряд!
А посмотрев вдоль стены влево, Алиса увидела те же числа. Но они стоялив обратном порядке, причем перед каждым числом почему-то стоял знак"минус"!
- Этими числами размечена дорога для королевских прогулок, - объяснилКороль. - Дорога идёт вдоль стены, и расстояние между соседними числамиравно как раз одному королевскому шагу. - Он повернулся к поварятами приказал:
- Бегом на кухню, испеките торт и принесите его к "минустысяче"! Но имейте в виду: этот торт - королевскаянаграда, - со значением добавил он.
- К "минус тысяче"? - удивилась Алиса. -Что бы это значило?
Однако поварята всё поняли: они мигом развернулись и, обгоняя другдруга, умчались.
- Давай прогуляемся в ожидании торта, - предложил Король. -Заодно нагуляешь аппетит.
- Для торта у меня всегда есть аппетит, - призналась Алиса.
- Для такого торта, какой тебе принесут, аппетит нужен особый, -заверил Король, подал Алисе руку и повёл её по дороге для королевскихпрогулок вправо от нуля.
КОГДА ЧЕЛОВЕК ПОБЕДИЛ ДРОБИ
Лет триста назад дроби считались вершиной премудрости: правилам действийс дробями обучали не в школах, а в университетах! Даже сами учёные находилиэти правила весьма странными - один итальянский учёный писал:"Как получается, что умножение на дробь приводитк уменьшению? Ведь умножение должно всегдаувеличивать!".
Что же заставило заняться "укрощением" дробей - делом,которое растянулось на тысячелетия?
У немцев до сих пор сохранилась поговорка "попал в дроби" -это значит: человек попал в такое положение, что ему не позавидуешь
Первым "упражнением на дроби" был делёж охотничьей добычи:убитого медведя или мамонта надо было разделить на всех членов племени. Приэтом, конечно, не всегда удавалось разделить на равные части! Отголосок техвремён сохранился и в нашем языке: когда мы делим что-то на две неравныечасти, мы иногда говорим "большая половина"и "меньшая половина", не замечая даже, чтополовина не может быть "большей" или"меньшей"!
Со временем, однако, появилась потребность делить и на равныечасти - например, зерно или поле для посева. И тогда появились дроби:одна вторая, одна треть, одна четвёртая и так далее - такие дробиназываются основными.
Другой причиной появления дробей была потребность в измерениях. Чтобыделить поле на участки, обменивать зерно и ткани или следить за временем,надо было научиться измерять площадь, объём, длину, время. Однаков результате измерения не всегда получалось натуральное число: частоприходилось учитывать и части меры - половину, четверть, однушестую и так далее
При измерениях важно сравнивать величины, а для этого основныедроби совсем не подходят: попробуйте, например, сразу сказать, чтобольше - одна вторая плюс одна двенадцатая или одна треть плюс одначетверть?
Намного удобнее было бы, конечно, использовать при измерениях однии те же части и указывать, сколько таких частей надо взять: например,сразу ясно, что двадцать три шестидесятых меньше, чем двадцать пятьшестидесятых. И можно даже сразу сказать, на сколько меньше -ровно на две шестидесятых! Мы не случайно взяли шестидесятые части:первыми делить на одинаковые доли догадались древние вавилоняне, которыесчитали не десятками, а "шестидесятками", поэтому и доли у нихбыли шестидесятые. А когда деления на шестьдесят частей было недостаточно,одну шестидесятую часть делили ещё на шестьдесят частей - получались"три тысячи шестисотые" части. Вам это ничего не напоминает?Тогда взгляните на часы: каждый час разделен на шестьдесят минут, а каждаяминута - на шестьдесят секунд! Это привет от вавилонян, которых давноуже нет!
Вавилонские дроби оказались очень удобными для научных измерений (особеннов астрономии), и этими дробями европейские учёные пользовались даже в эпохуВозрождения: натуральные числа записывались в десятиричной системе -так же, как мы это делаем сегодня, а дроби всё ещё оставались"шестидесятиричными"! Казалось бы, надо сделать всего один шаг,чтобы перейти от шестидесятых и "три тысячи шестисотых" долейк десятым и сотым долям, но этот шаг оказался почему-то очень трудным:десятичные дроби ввёл арабский математик ал-Каши только в XV веке. Однакои тогда эти дроби до Европы не добрались - их ввёл в употреблениеголландский учёный Стевин только в конце XVI века!