"В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики - так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра П. П. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором.
Для среднего и старшего возраста."
Некоторые рисунки и значительная часть чертежей нарисованы заново с целю лучшей читаемости на портативных читалках. В силу этого возможны незначительные расхождения с оригиналом, особенно в использованных шрифтах, расположении и размере надписей на рисунках. Расположение некоторых рисунков по отношению к тексту также изменено. В электронной книге для оформления применяются стили, поэтому для чтения лучше использовать CR3. Таблицы приводятся в формате fb2 и дублируются либо в текстовом, либо в графическом варианте. В связи с многочисленными отсылками к номерам страниц сохранена нумерация печатного оригинала. Номер размещен в конце страницы. - V_E.
Содержание:
ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ 1
Так, значит, давай познакомимся, любезный читатель!.. 1
Схолия Первая, 2
Схолия Вторая, 3
Схолия Третья, 5
Схолия Четвертая, 7
Схолия Пятая. 10
Схолия Шестая, 17
Схолия Седьмая, 22
Схолия Восьмая, 30
Схолия Девятая, 34
Схолия Десятая, 39
Схолия Одиннадцатая, 42
Схолия Двенадцатая, 49
Схолия Тринадцатая, 57
Схолия Четырнадцатая, 60
Схолия Пяmнадцamая, 71
Схолия Шестнадцатая, 78
Схолия Семнадцатая, 85
Схолия Восемнадцатая, 96
Схолия Девятнадцатая 100
Схолия Двадцатая, 113
Эпилог 119
Примечания 120
Комментарии 121
ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Научный редактор проф. И. Н. Веселовский
Издание второе, переработанное и дополненное
Рисунки В. Конашевича
Схемы и чертежи М. Гетманского и Г. Соболевского
Так, значит, давай познакомимся, любезный читатель!..
Когда вы узнаете о том, что давным-давно, в середине XVIII века, мальчик Блез Паскаль самостоятельно читал "Начала" Евклида, а девочка Софья Ковалевская не так давно, в прошлом веке, ухитрилась разобраться в основах математического анализа по разрозненным листам учебника Остроградского, которыми случайно оклеили стены детской комнаты, то не удивляйтесь и не думайте, что это просто занимательные рассказы или поразительные исключения.
Что-нибудь в этом роде было в детстве у всякого, кто любил математику и затем всю жизнь работал в какой-либо ее области. Именно так, в самостоятельной работе, и проявляются первые начатки подлинного интереса к науке, именно так и растут будущие труженики на славном поприще научной деятельности.
Есть немало хороших книг, которые могли бы помочь любознательному школьнику, если он увлекается математикой.
Но нередко эти книги трудны и требуют от читателя большого напряжения, которое не всегда по силам учащемуся средней школы.
В этой книжке юным читателям дается такой материал по математике, который будит их интерес к знанию, раскрывает перед ними некоторые перспективы, позволяет представить себе, что такое математика. С другой стороны, здесь есть ма-
- 3 -
териал для самостоятельной работы, то есть не просто рассказы о математике, а нечто большее, что даст нашему читателю радость научного труда, радость небольшого, но все-таки заработанного собственными трудами познания.
Книга рассчитана на подростка, кончившего семь классов, и поэтому очень много в ней дать нельзя. Для примера укажем, что почти невозможно дать обзор научной деятельности Софьи Ковалевской, не говоря уже о более поздних ученых.
Однако все-таки возможно на ряде любопытных примеров ввести читателя в мир научной математической мысли. Некоторые из этих примеров принадлежат к исторически чрезвычайно важным, другие представляют собой не слишком трудные вещи, а иной раз это просто загадка, но за ней кое-что таится, и над этим стоит подумать.
А кроме того, эта книжка для того и написана, чтобы читатель понял, что математика - не только не скучная, но даже очень увлекательная наука! Если кто ее совсем не любит - пусть хоть заглянет в книгу. И даже он найдет здесь кое-что интересное…
Наш рассказ представляет собой фантастическое путешествие по волшебным странам математического мира, но читатель и сам довольно скоро разберет, что все те добродушные, веселые и шутливые фигуры, с которыми он повстречается, только для того и появились на белый свет, чтобы помочь ему поразмыслить над тем, что он найдет на страницах книги.
Читатель узнает, как человек изобрел и усовершенствовал такую великую вещь, как математический анализ, то есть то самое, что называется "высшей математикой". Рассказ наш доводится до примеров определенного интеграла и производной. А ведь это и есть тот самый крепкий и надежный фундамент, на котором покоится вся огромная современная техника.
Вторая наша тема, которой отдано гораздо меньше внимания, - это не-евклидова геометрия. Попутно и по необходимости мы касаемся и других вопросов. В частности, у нас есть обычные разделы занимательной математики - лабиринты, уникурсальные фигуры, игра в "Дразнилку". Есть и задачи-шутки, но некоторые из них совсем не так просты и касаются вещей серьезных.
Но если доктор У. У. Уникурсальян, с которым вы познакомитесь через несколько страниц и, надеемся, подружитесь, - великий мастер говорить длинные речи, причем иной раз довольно затейливо, то из этого еще не следует, что все, о чем здесь говорится, так уж просто и легко.
Впрочем, если уж читатель не сразу разберется в древней прекрасной легенде о царевне Ариадне и ее путеводной нити, то он не должен пугаться. Наоборот, он должен запастись тер-
- 4 -
пением и перечесть эту историю еще разок. Ничего не будет страшного, если он вернется к ней и третий раз. Надо все так хорошо разобрать, чтобы потом об этом понятно рассказать тому, кто совсем не читал этой книги. А как же достигнуть этого?
Да очень простым способом. Надо не просто перечитывать, а делать это в приятном обществе карандаша и бумаги. Втроем разобрать любую из наших историй гораздо легче. Не надо только забывать о том, что если всякий понимает, что школьная парта сделана из дерева, то далеко не всякий сумеет пойти в лес, срубить там дерево и сделать из него эту самую парту.
А нам с вами, чтобы научиться работать, надо непременно попробовать что-то сделать собственными руками, а не только знать понаслышке. А то ведь есть на свете такая обидная поговорка: "Слышал звон, да не знает, откуда он…" А узнать-то не так уж и трудно: подумать не торопясь, взяться и не бросать, пока не выйдет то, что надо.
Некоторые наши темы очень просты и касаются вопросов почти что шуточных. Но и в них, если как следует разобраться, есть немало интересного и очень полезного. Можно просто пообещать читателю: если ты проработаешь всю эту книгу, ты кое-что серьезное о математике узнаешь!
Таково мнение доктора У. У. Уникурсальяна, и мы вполне к нему присоединяемся. Он сам и все его друзья будут говорить с вами весело и любезно и терпеливо будут стараться навести вас на правильную мысль. А иной раз и подразнят немножко! Да ведь это любя, обижаться не стоит!..
Нет никакой нужды читать сразу всю книжку подряд.
Тот, кто сперва прочтет то, что полегче, а потом возьмется за более непослушные задачки, ничего не потеряет.
Может быть, прочитав эту книгу, захочется познакомиться и с другими книгами по математике. Сейчас у нас есть много хороших книг для самостоятельного чтения. Целый ряд их упоминается у нас в примечаниях. Большинство из них немного потруднее, чем эта книжка. Но ничего не поделаешь, надо привыкать работать с книгой. Если в примечании книга отмечена звездочкой в скобках (*), значит она повышенной трудности. Такую книгу лучше разобрать вместе с товарищами или с руководителем.
Есть еще очень полезные книжки, где рассказывается, как жили и трудились крупные ученые. Почитаешь и увидишь, что и им не все и не всегда легко давалось, но их горячая любовь к знаниям и упорство превозмогали трудности. Есть очень хорошие книги академика С. И. Вавилова о Ньютоне, профессора В. С. Кагана - о Лобачевском, французского ученого Дальма - о математике Галуа, революционере и ученом. Интересен
- 5 -
целый том "Воспоминаний и писем" Ковалевской. Можно порекомендовать несколько хороших книг по истории математики:
Н. Бурбаки "Очерки по истории математики" (*), а особенно надо посоветовать прочесть книгу Д. Я. Стройка "Краткий очерк истории математики".
Впрочем, если среди наших читателей найдутся такие, которым всего этого покажется мало, то в таком особенном случае можно посоветовать заняться очень полезной и сравнительно не очень трудной книгой Я. Б. Зельдовича "Высшая математика для начинающих". В этой книжке очень много хороших примеров из физики.
А вообще не надо робеть перед наукой. Конечно, не всякий будет в дальнейшем Ньютоном или Ковалевской. Но ведь в наши дни математика нужна повсюду - не только в инженерии, не только в космонавтике, а даже и в медицине, и в изучении литературы. У нас много больших научно-исследовательских институтов, где нужны математически образованные люди: ведь работа там идет коллективная и нередко совместные усилия дают плоды исключительной ценности. Наш дорогой Пушкин говорил, что надо "в просвещении быть с веком наравне". Это не очень легко, но и не так уж трудно, если любить это дело и понимать, до какой степени оно в наши дни нужно Родине.
Первое издание "Волшебного двурога" вышло в 1948 году.
Научным редактором книги был замечательный ученый Игорь Владимирович Арнольд, безвременно скончавшийся. Он не дожил двух месяцев до выхода в свет нашей книги.
В 1959 и в 1962 годах пишущий эти строки выпустил еще две книги по общедоступной математике - два томика "Архимедова лета", на которые мы будем ссылаться время от времени. Чтобы не писать каждый раз название этих книг, мы будем сокращенно обозначать таким образом: АЛ-II, XVIII, 4.
Это значит: "Архимедово лето", том II, глава XVIII, раздел 4.
Знай, дорогой мой читатель, что немало славных русских имен вписано золотыми буквами в книгу развития науки математической! Таковы - Остроградский, Лобачевский, Ляпунов, Чебышев, Марков, Вороной, Золотарев, Федоров, Ковалевская и многие другие. И из ныне здравствующих наших математиков есть немало таких, которые обогатили мировую науку поистине высокими достижениями. Назовем хотя бы Виноградова, Бернштейна, Колмогорова… Да ведь вот беда: за редкими исключениями, для того чтобы хотя бы разобраться в том, какими вопросами они занимались, надо знать во много-много раз больше того, чем говорится в этой книге!
Теперь уж, кажется, все ясно, только надо сказать еще два
- 6 -
слова тому, кто совсем не любит математику. Всякий понимает, что хочешь не хочешь, а считать-то надо уметь! Без этого не проживешь. А кто же такие эти ученые-математики? Чем они занимаются?
Каждый из нас слышал имя великого ученого Исаака Ньютона. Однажды он сказал, что геометрия, "будучи искусством точного измерения", была придумана людьми для того, чтобы мы, пользуясь чертежами, могли избегать утомительных вычислений. Другими словами, великий математик уверяет, что его наука дает нам возможность поменьше мучиться с вычислениями, а это ведь как раз и есть то, чего хочет человек, который не любит математики! Но когда наука идет вперед, постоянно упрощая для нас все более трудные задачи, она в то же время дает человеку гигантские силы, и он обретает возможность делать то, чего прежние поколения не могли изучить, попять и одолеть! Вот в чем самая сила, дорогой мой читатель, не забывай об этом.
Теперь, когда все самое главное уже высказало, читатель может еще спросить: "А почему же в этой книжке рассказывает о математике не ученый, а писатель?" Действительно, почему? Но, на этот вопрос давным-давно ответил великий писатель Земли Русской ЛЕВ ТОЛСТОЙ, который в своей работе "Что такое искусство?" 1897 г.) говорит: "Дело искусства состоит именно в том, чтобы делать понятным и доступным то, что могло быть непонятным и недоступным в виде рассуждений".
Автор считает своим приятным долгом выразить признательность научному редактору книги проф. И. Н. Веселовскому за целый ряд ценных указаний и поправок при редактировании.
- 7 -
Схолия Первая,
в которой наш любезный читатель знакомится… Впрочем, может быть, ты еще не совсем понимаешь, что такое схолия? Схолия, видишь ли, - это нечто очень интересное, и как-нибудь немного погодя я тебе все это изложу подробно. Ну, а теперь, конечно, ты уж и сам смекнул, что эта книжка рассчитана на довольно догадливых молодых людей. Знаешь ли ты, кстати сказать, что такое Эратосфеново решето? Если не знаешь, то я тебе и об этом тоже кое-что расскажу. Отсюда совершенно ясно, что я буду рассказывать, а ты, разумеется, будешь на ус мотать. А именно это-то и называется теперь у нас играть в схолии. Итак, внимание! Начинается Схолия Первая, в которой читатель знакомится с Илюшей Комовым, со всей его семьей и с одним очень странным существом, про которое весьма трудно сказать сразу, было оно или никогда и не бывало…
Дело клонилось к вечеру, и пора уже было лампу зажигать.
- Илюша! - сказала мама довольно настойчиво.
Она сказала это уже в третий раз, и на этот раз Илюша даже попытался ответить маме, но, кроме неясного мычания, никто ничего не разобрал.
Налька, сестра Илюши, которая сидела у окна и упивалась
- 8 -
"Графом Монте-Кристо", отвела глаза от книжки, хотя оторвать Нальку от чтения было не так-то просто. Но она всегда заступалась за Илюшу перед мамой, хотя с маминой точки зрения можно было обойтись и без этого.
- Мама, он сейчас, - сказала Наля.
- Это я уже слышала.
Тут и Илюша обрел дар речи.
- Мама, - произнес он в высшей степени убедительно, - я, честное слово… сейчас…
Папа опустил газету и сказал:
- Ну, Илюша, брось-ка ты эти свои пустяки и садись есть кашу.
Илюша встал со стула, но почувствовал себя оскорбленным в своих лучших чувствах.
- Папа, - ответил он, - у меня задачка не выходит!
- Задачка твоя от тебя никуда не уйдет, - возразила мама, - а каша стынет. Поешь, а потом возись хоть до света со своими задачками.
Илюша сердито уселся за кашу, взял ложку и принялся есть с большим аппетитом.
А затем мама убрала со стола, зажгли лампу. Потом Наля начала позевывать и не без сожаления захлопнула растрепанный том "Монте-Кристо". Илюша изгрыз весь кончик карандаша, а папа прочел всю газету. Мама сказала:
- Илюша, ты что же, правда до света сидеть намерен?
Илюша посмотрел на нее с чувством жестокой обиды. Ему хотелось ответить… Но он покосился на папу и решил отложить этот разговор, потому что папа очень плохо разбирался в препирательствах Илюши с мамой и обычно прекращал их в ту же минуту, совершенно не желая входить в обсуждение того, кто прав и кто виноват.
- Покажи папе, - предложила мама.
Илюше очень хотелось ответить: "И не подумаю", но вместо этого он вздохнул, взял задачник и медленно подошел к папе, разглядывая по дороге в сотый раз непослушную задачку.
Папа взял книгу.
- Так, - заметил он спокойно, - ну что ж тут такого?
Покажи-ка, как ты делал.
Илюша притащил тетрадку.
- Н-да, - сказал папа, - начал правильно. А теперь надо кончать. Скобки раскрывать раньше времени незачем. Ничего тут особенного нет.
Илюша посмотрел на папу, потом на пол.
- Не выходит! - сообщил он, хотя понимал, что повторять это и бесполезно и не так уж приятно.
- 9 -
- Не торопись, - ответил папа, отдавая ему тетрадку, - подумай. Это у тебя что такое?
Илюша посмотрел на строчку, которую указывал ему папин палец, и ничего не сумел ответить.
- Ну? - спросил папа.
Илюша посмотрел еще раз на спокойное папино лицо, потом на непонятную строчку и снова не ответил ни слова.
- Наверху у тебя что? - спросил папа.
- Разность кубов.
- Так. А внизу?
А что было внизу, в знаменателе, этого-то Илюша и не знал.
- Квадратный трехчлен! - сказал папа. - Неужели ты не знаешь? Проспал в классе?