Карточный фокус
Условие
На одном столе лежат карты, 10 из которых лежат рубашкой вниз. Фокусник с повязкой на глазах подходит к столу, берет несколько карт и перекладывает их на другой стол, при этом, возможно, переворачивая некоторые из них.
Такую операцию разрешается повторять несколько раз (можно брать карты как с первого, так и со второго стола).
Как переложить карты так, чтобы на обоих столах было одинаковое количество карт, лежащих рубашкой вниз?
Ответ
Переложим на второй стол 10 карт, переворачивая каждую из них. Предположим, что среди этих карт оказалось n лежащих рубашкой вниз и 10-n лежащих рубашкой вверх.
В этом случае после перекладывания на втором столе будет 10-n лежащих рубашкой вниз карт, а на первом столе останется 10-n карт, лежащих рубашкой вниз (было 10 карт, из них n штук переложили).
Таким образом, мы получим то, что требуется в условии головоломки.
Сто сумасшедших художников
Условие
Сто сумасшедших художников последовательно красят часть стены 100 х 100 клеток в сто цветов, соблюдая единственное правило: в одной строке и в одном столбце не может оказаться 2 клеток одинакового цвета.
Смогут ли 99 сумасшедших художников правильно покрасить стену, если первый художник уже покрасил "свои" 100 клеток?
Ответ
К сожалению, план сумасшедших художников обречен на провал: например, если в первой строке первые 99 клеток покрашены в 99 различных цветов, а последняя клетка второй строки покрашена в сотый цвет.
Хоккейный матч
Условие
Хоккейный матч между командами "Дружба" и "Мир" закончился со счетом 8: 5.
Докажите, что в матче был такой момент, когда "Дружбе" оставалось забить столько голов, сколько "Мир" уже забил к этому времени.
Ответ
Матч начался с суммарного счета 0, а потом изменялся на единицу и окончательный суммарный счет стал равен 13. Из этого можно сделать вывод, что в матче был такой момент, когда было забито 8 голов.
Пусть n голов забил "Мир", тогда 8-n голов забила "Дружба", что и требовалось доказать.
Шахматные фигуры
Условие
Можно ли расположить шахматные фигуры в клетках доски размером 8 х 8 (в каждой клетке не более одной фигуры) так, чтобы в любых двух столбцах фигур было поровну, а в любых двух строках – разное количество?
Ответ
Разобьем строки на 4 пары. В каждой паре строк поставим 8 шахматных фигур: n фигур (n – номер пары строк) – в первой строке данной пары и 8-n фигур – во второй строке пары. Причем расположим их в тех столбцах, в которых не стоит фигура из первой строки данной пары. В результате в каждом столбце доски 8 х 8 будет стоять по 4 фигуры (по одной в каждой паре строк), а в 8 строках – 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 фигур. Таким образом, условие задачи выполняется.
Вредный старик
Условие
При посадке в автобус выстроилась очередь из n пассажиров, у каждого из которых имелся билет на одно из m мест. Первым в очереди стоял вредный старик, который, как только водитель открыл дверь, вбежал в салон и сел на случайное место (возможно, и на свое).
После этого пассажиры по очереди заняли свои места. При этом, если место кого-нибудь из пассажиров занято, он садится случайным образом на одно из свободных мест.
Какова вероятность того, что последний пассажир займет свое место?
Ответ
Представим, что при определенном стечении обстоятельств последний пассажир сел не на свое место (такой случай назовем неудачным). Тогда до прихода последнего пассажира его место было занято пассажиром S (S может быть и вредным стариком).
У пассажира S был выбор – какое место занять. В рассматриваемом случае он занял место последнего пассажира. Но с этой же вероятностью он мог занять и место вредного старика, тогда в дальнейшем все пассажиры, включая последнего, займут свои собственные места. Получается, что каждому неудачному случаю соответствует удачный, который может произойти с той же вероятностью. Это говорит о том, что в половине случаев распределение пассажиров по местам будет неудачным.
Упорядоченные тройки
Условие
Можно ли из любых пяти чисел, написанных в ряд, выбрать три, идущие в порядке убывания или в порядке возрастания?
Ответ
Предположим, что n и s – наибольшее и наименьшее из написанных чисел. Если между ними есть какое-либо число, то утверждение верно.
Если они располагаются рядом, то либо справа, либо слева от них есть еще два числа. Именно они и образуют нужную тройку чисел либо с числом n, либо с числом s.
Упорядоченные четверки
Условие
Можно ли из любых девяти различных чисел, написанных в ряд, выбрать четыре, идущих в порядке убывания или возрастания?
Ответ
Напишем ряд из следующих девяти чисел: 3, 2, 1, 6, 5, 4, 9, 8, 7. Докажем, что никакие четыре числа в этой последовательности не идут ни в порядке возрастания, ни в порядке убывания. Для этого разобьем их на тройки: 321, 654, 987.
Если какие-то два числа из этих девяти упорядочены по возрастанию, они будут из разных троек. Поскольку троек всего три, нельзя выбрать более трех цифр, располагающихся в возрастающем порядке.
Если же какие-то два числа из этих девяти стоят в убывающем порядке, они обязательно из одной тройки. Поэтому нельзя выбрать более трех чисел, стоящих в убывающем порядке, так как все они должны располагаться в одной тройке.
Хитрая последовательность чисел
Условие
Продолжите следующую последовательность чисел:
1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223, 114213.
Ответ
Каждое следующее число описывает предыдущее: в числе была одна единица – 11; две единицы – 21; одна единица, одна двойка – 1112, три единицы, одна двойка – 3112 и т. д.
Ошибка журналиста
Условие
Главный редактор газеты "Новость дня" Матвей Сигизмундович нашел ошибку в большой статье, которую писали вместе три журналиста: Арнольд Никифорович, Петр Вахтангович и Ричард Львович.
На планерке они стали оправдываться.
Арнольд Никифорович: 1. "Не я ошибся". 2. "Ошибку допустил Ричард Львович". 3. "Я написал другую часть статьи".
Петр Вахтангович: 1. "Ошибся Арнольд Никифорович". 2. "Я знаю, как исправить эту ошибку". 3. "Всем людям свойственно ошибаться".
Ричард Львович: 1. "Не я ошибся". 2. "Я с самого начала подозревал, что в статье – ошибка". 3. "Арнольд Никифорович действительно писал другую часть статьи".
Ответ
Предположим, что ошибку допустил Арнольд Никифорович. Но тогда неверны сразу два его высказывания, что противоречит условию задачи.
Предположим, что ошибся Петр Вахтангович. Построим схему, в которой словом "нет" отмечены заведомо ложные в этом случае высказывания, а словом "да" – те, которые могут быть правдивыми.
Арнольд Никифорович: 1 – да;2 – нет; 3 – да.
Петр Вахтангович: 1 – нет; 2 – да; 3 – да.
Ричард Львович: 1 – да; 2 – нет; 3 – да.
Схема показывает, что противоречий с условием не возникает, то есть Петр Вахтангович мог ошибиться.
Предположим, что ошибся Ричард Львович. Тогда неверно третье высказывание Арнольда Никифоровича (поскольку два первых его высказывания верны), поэтому неверно третье высказывания Ричарда Львовича (оно точно такое же), но тогда верно первое высказывание Ричарда Львовича (только одно из его высказываний – третье – неверно), а это противоречит предположениям.
Итак, ошибиться мог только Петр Вахтангович, значит, он это и сделал.
Переправа
Условие
Группа туристов ночью подошла к мосту. Павел может перейти его за 1 минуту, Михаил – за 2, Мария – за 5, а Белла – за 10 минут.
У них есть только один фонарик. Мост может выдержать только двоих.
Как туристы могут перейти мост за 17 минут? При этом, если переходят двое, они идут с меньшей из скоростей.
Двигаться по мосту без фонарика нельзя точно так же, как и носить друг друга на руках. Кидаться фонариком тоже нельзя.
Ответ
Сначала переходят Павел и Михаил (2 минуты). Затем Павел с фонариком возвращается (1 минута).
Далее переходят Белла и Мария (10 минут), после чего Михаил с фонариком возвращается (2 минуты). Потом переходят Павел и Михаил (2 минуты). Итого – 17 минут.
Число 203
Условие
Можно ли число 203 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 203?
Ответ
Можно: 203 = 7 + 29 + 1 + 1 + ... + 1 = 7 х 29 х 1 х 1 х ... х 1.
Бикфордов шнур
Условие
Как известно, бикфордов шнур горит неравномерно, но сгорает ровно за 1 минуту.
Можно ли с помощью двух таких шнуров отмерить ровно 45 секунд?
Ответ
Подожжем одновременно один из шнуров с обоих концов и второй – с одного конца.
Подсказка: попробуйте сначала при помощи одного шнура отмерить 30 секунд.
Первый шнур сгорит через 30 секунд; в этот момент подожжем второй шнур со второго конца.
Как не опоздать на работу
Условие
Коллектив сотрудников (12 человек) отправился на выходные на турбазу, расположенную в 20 км от места их работы. В понедельник утром они должны были одновременно как можно скорее прибыть на работу. Для этого они остановили такси.
"Я еду со скоростью 20 км/час, – сказал водитель, – и могу взять только 4 человека. С какой скоростью вы идете пешком?". Один из сотрудников ответил: "Каждый из нас идет со скоростью 4 км/час". "Отлично!" – воскликнул водитель. – Тогда я поеду с четверыми из вас, подвезу их на какое-то расстояние, затем вернусь и посажу еще четверых, подвезу их и вернусь за остальными. От вас же требуется только одно: все время, пока вы не едете на такси, идти пешком".
Подсказка: если сотрудники должны прибыть на работу одновременно, и все время, когда они не едут на такси, они должны идти пешком, то ехать на машине они должны одинаковое количество времени.
Сотрудники отправились в путь ровно в 8 утра. Когда они приедут на работу?
Ответ
Водитель такси должен подвезти четверых сотрудников на 12 км и высадить в 8 км от работы. Затем ему следует вернуться на 8 км и подобрать еще четверых (из восьми), которые к тому времени как раз окажутся там. Их ему нужно подвезти на 12 км и высадить в 4 км от работы.
Затем, вернувшись на 8 км за остальными, которые к тому времени успеют пройти 8 км, отвезти их на 12 км, то есть прямо до места работы.
Таким образом весь коллектив сотрудников прибудет на работу одновременно, причем такси пройдет 52 км за 2 и 3/5 часа. Следовательно, сотрудники окажутся на рабочих местах в 10 часов 26 минут.
Три воскресенья
Условие
В месяце три воскресенья выпали на четные числа. Какой день недели был седьмого числа этого месяца?
Ответ
Через семь дней повторяется каждый день недели. Поэтому первые 28 дней содержат четыре понедельника, четыре вторника и т. д. и четыре воскресенья.
При этом два воскресенья падают на четные числа, а два – на нечетные. Поэтому третье воскресенье выпадает на 30-е число. Получается, что 2-го числа также было воскресенье, а 7-го числа – пятница.
Воздушные шарики
Условие
У Тани и Оксаны есть несколько воздушных шариков, среди которых имеются большие и маленькие, а также красные и зеленые.
Докажите, что подруги могут взять по одному шарику так, чтобы они одновременно оказались разного размера и разного цвета.
Ответ
Предположим, что Таня взяла какой-нибудь большой шарик, а Оксана – маленький. Если эти шарики оказались разных цветов, то задача решена. Пусть шарики оказались одного цвета, например красного. В этом случае по условию задачи среди оставшихся шариков есть зеленый.
Если это большой зеленый шарик, пусть его возьмет Таня вместо своего, а если – маленький, пусть его возьмет Оксана. После этого шарики у подруг будут разного цвета и разного размера.
Апельсины
Условие
На продуктовом складе апельсины расфасованы в ящики по 24, 23, 17 и 16 кг.
Можно ли отправить в магазин со склада 100 кг апельсинов, не раскрывая ящики?
Ответ
Можно: четыре ящика по 17 кг и два ящика по 16 кг.
Рыбаки и щуки
Условие
Пять рыбаков съели пять щук за пять дней. За сколько дней десять рыбаков съедят десять щук?
Ответ
Если пять рыбаков съели пять щук за пять дней, то другие пять рыбаков съедят за те же пять дней еще пять щук.
Получается, что десять рыбаков съедят десять щук за пять дней.
Баба-яга и тараканы
Условие
Все животные Бабы-яги, кроме двух, – жабы, все, кроме двух, – кошки, и все, кроме двух, – вороны.
Остальные – тараканы. Сколько тараканов у Бабы-яги?
Ответ
У Бабы-яги либо два таракана, либо одна кошка, одна жаба и одна ворона.
Цыплята и утята
Условие
У цыплят и утят 42 ноги и 12 голов. Сколько цыплят и сколько утят?
Ответ
9 цыплят и 3 утенка.
Остановившиеся часы
Условие
У Ромы нет карманных часов, а только настенные, которые остановились. Он пошел к своему другу Володе, часы которого идут верно, пробыл у него некоторое время и, вернувшись домой, поставил свои часы правильно. Как ему удалось это сделать, если он не знал, сколько времени у него займет дорога от своего дома до дома Володи?
Ответ
Рома завел остановившиеся часы, пошел к Володе, а, вернувшись, подсчитал время, затраченное на дорогу.
Толщина книги
Условие
Известно, что 60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина книги, если в ней 240 страниц?
Ответ
Страниц 240, на каждом листе 2 страницы, значит, всего листов 120: их толщина в 2 раза больше, чем 60, и следовательно, равняется 2 см.
Шуточные головоломки на смекалку
Эти головоломки вы можете решать в одиночестве или предложить их в качестве игр для веселой компании. Выигрывает тот, кто первым даст правильный ответ на вопрос.
Корабль
Условие
Недалеко от берега стоит корабль со спущенной на воду веревочной лестницей вдоль борта. У лестницы 10 ступенек, а расстояние между ними -30 см. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды. Начинается прилив, который поднимает воду за каждый час на 15 см.
Через сколько времени покроется водой третья ступенька лестницы?
Ответ
Вода никогда не покроет третью ступеньку, поскольку вместе с водой поднимутся и корабль, и лестница.
Жилец с двадцать пятого этажа
Условие
Андрей живет на двадцать пятом этаже тридцатиэтажного дома. Каждое утро (кроме субботы и воскресенья) он входит в лифт, спускается вниз и отправляется на работу. Вечером, вернувшись домой, он входит в лифт, поднимается на двадцать четвертый этаж, а оттуда поднимается пешком еще на один этаж.
Почему Андрей выходит из лифта на двадцать четвертом этаже?
Ответ
Он просто не достает до кнопки.
Трос
Условие
Трос растягивается на 0,5 см от нагрузки в 100 кг. На сколько сантиметров растянется трос от нагрузки в 10 тонн?
Ответ
Разорвется.
Кнопка лифта
Условие
В 9-этажном доме есть лифт. На 1-м этаже живет 5 человек, от этажа к этажу количество жильцов удваивается. Какую кнопку в лифте этого дома нажимают чаще других?
Ответ
Кнопку первого этажа.
Произведение последовательных чисел
Условие
Чему равно произведение последовательных целых чисел, начинающихся числом 5 и оканчивающихся числом 5?
Ответ
Нулю.
Крыша
Условие
Крыша одного дома несимметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 60°, другой – 70°.
Предположим, что селезень снес яйцо на гребень крыши. В какую сторону упадет яйцо – в сторону более пологого или более крутого ската?
Ответ
Селезни не несут яиц.
Ливень
Условие
Человек попал под ливень, и ему негде и нечем было укрыться. Домой он пришел весь мокрый, но ни один волос на его голове не промок. Почему?
Ответ
Он был лысым.
Красная, черная, белая, зеленая
Условие
Двое гуляющих остановились около одного предмета и заспорили.
Один сказал: "Это красная". Второй возразил: "Нет, это черная". "Почему же она белая?" – спросил первый. "А потому, что зеленая". Что это?
Ответ
Куст смородины.
Двухтомник
Условие
На полке рядом стоят два тома одного произведения.
Сколько страниц находится между 1-й страницей 1-го тома и последней страницей 2-го тома, если в первом томе 320 страниц, а во втором 290 страниц?
Ответ
Только 2 обложки, поскольку второй том стоит справа от первого.
Трехтомник
Условие
На книжной полке стоит трехтомник. Толщина каждого тома 5 см.
Книжный червь прополз от первой страницы первого тома до последней страницы третьего тома (по прямой линии).
Какой путь он проделал? Толщиной обложки следует пренебречь.
Ответ
Первая страница первого тома и последняя страница третьего тома примыкают ко второму тому. Так что путь червяка равен толщине второго тома, то есть составляет 5 см.
Два поезда
Условие
Один поезд идет из Саратова в Москву, а другой – из Москвы в Саратов. Вышли они одновременно, но скорость первого в три раза больше скорости второго. Какой поезд будет дальше от Москвы в момент встречи?
Ответ
Поезда будут на одинаковом расстоянии.