Множество Мандельброта представляет собой потрясающий пример. Его удивительно сложная структура не является результатом изобретения ни какой-либо отдельной личности, ни группы математиков. Сам Бенуа Мандельброт - американский математик польского происхождения (и один из главных разработчиков теории фракталов), который первый изучил это множество, не мог себе представить, насколько фантастически сложным окажется этот объект, хотя и понимал, что обнаружил нечто очень интересное. Действительно, увидев самые первые компьютерные изображения, он счел увиденные им размытые структуры результатом сбоя (Мандельброт [1986])! И только потом он убедился, что они действительно являлись частью множества. Более того, сложную структуру множества Мандельброта во всех ее деталях не под силу охватить никому из нас, и ее невозможно полностью отобразить на компьютере. Создается впечатление, что рассматриваемая структура не является всего лишь частью нашего мышления, но что она реальна сама по себе. Кто бы из математиков или программистов ни занялся изучением этого множества, результатом их исследований обязательно будут приближения к одной и той же единой для всех фундаментальной математической структуре. Не важно, на каком компьютере проводятся вычисления - лишь бы он правильно работал (конечно, если отвлечься от различий в степени подробности выявляемых деталей и скорости их вывода, связанными с различиями в производительности, объеме памяти и параметрах монитора). При этом компьютер применяется в сущности так же, как прибор в руках физика-экспериментатора, исследующего строение физического мира. Множество Мандельброта - это не плод человеческого воображения, а открытие. Подобно горе Эверест, множество Мандельброта просто-напросто уже существовало "там вовне"!
Аналогичным образом сама система комплексных чисел обладает глубокой и вневременнбй реальностью, выходящей далеко за пределы мысленных конструкций, созданных любым конкретным математиком. Первые шаги на пути к пониманию комплексных чисел связаны с работами Джероламо Кардано. Он родился и жил в Италии с 1501 по 1576 год - врач, игрок и составитель гороскопов (однажды он даже составил гороскоп для Иисуса Христа), написавший в 1545 году очень важный и оказавший большое влияние на последующее развитие математики трактат по алгебре под названием Ars Magna. В этом трактате он предложил первое полное решение (в терминах иррациональных выражений, то есть корней n-й степени) кубического уравнения в общем виде. Кардано заметил, что в некоторых - так называемых "неприводимых" - случаях, когда уравнение имело три действительных решения, он был вынужден на определенном этапе включать в свою формулу квадратный корень из отрицательного числа. Хотя это обстоятельство и приводило его в замешательство, он понял, что полное решение можно получить тогда и только тогда, если допустить возможность извлечения таких квадратных корней (окончательный результат всегда оказывался действительным числом). Позднее, в 1572 году Рафаэль Бомбелли в своей работе, озаглавленной "Алгебра", обобщил работу Кардано, положив начало изучению алгебры комплексных чисел.
Хотя вначале может показаться, что введение таких квадратных корней из отрицательных чисел представляет собой всего лишь некоторый прием - математическое изобретение для достижения конкретной цели, - впоследствии становится очевидным, что потенциал этих объектов выходит далеко за рамки их использования для первоначально поставленных целей. При том, что изначально комплексные числа вводились (как уже упоминалось выше) для обеспечения возможности "безнаказанно" извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, сделав этот шаг, мы получили в качестве бесплатного приложения еще и способ извлечения корней любой степени, а также решения любых алгебраических уравнений. Далее мы обнаружим у комплексных чисел много других волшебных свойств, о которых мы вначале даже и не подозревали. Эти свойства просто-напросто уже существуют "там вовне". Они не были привнесены туда ни Кардано, ни Бомбелли, ни Уоллисом, ни Котсом, ни Эйлером, ни Весселем, ни Гауссом, несмотря на несомненную прозорливость и их, и других великих математиков. Этот набор волшебных свойств был изначально присущ самой структуре, которую они шаг за шагом открывали. Когда Кардано вводил комплексные числа, он и подозревать не мог о существовании множества открытых впоследствии чудесных свойств, названных именами знаменитых ученых - таких как интегральная формула Коши, теорема отображения Римана или свойство продолжения Леви. Эти и многие другие замечательные свойства присущи самим числам - в точности тем самым числам, с которыми Кардано впервые столкнулся в 1539 году.
Что такое математика - изобретение или открытие? Процесс получения математиками результатов - что это: всего лишь построение не существующих в действительности сложных мысленных конструкций, мощь и элегантность которых способна обмануть даже их собственных изобретателей, заставив их поверить в "реальность" этих не более чем умозрительных построений? Или же математики действительно открывают истины уже где-то существующие, чья реальность в значительной степени независима от их деятельности? Я думаю, что читателю должно стать уже совершенно ясно, что я склонен придерживаться скорее второй, чем первой точки зрения, по крайней мере, в отношении таких структур, как комплексные числа или множество Мандельброта.
Однако, не все так просто. Как я уже сказал, в математике существуют вещи, к которым термин "открытие" подходит больше, чем "изобретение" - как в только что упомянутых примерах. Это происходит, когда структура дает гораздо больше того, что в нее было вложено изначально. Можно встать и на такую точку зрения, согласно которой в этих случаях математики просто наталкиваются на "творения Бога". Встречаются, однако, другие ситуации, когда математические структуры не столь убедительно уникальны - например, когда посреди доказательства какого-нибудь результата возникает необходимость в некой хитроумной, хотя и далеко не уникальной конструкции для достижения весьма специфической цели. В этих случаях от вновь созданной конструкции вряд ли следует ожидать больше того, что было в нее первоначально заложено, и термин "изобретение" представляется более подходящим, чем "открытие". Они, действительно, суть просто "творения человека". Согласно этой точке зрения, истинные математические открытия должны, как правило, рассматриваться как достижения более великие, чем "просто" изобретения.
Такого рода ранжирование обнаруживает некоторое сходство с тем, что мы иногда наблюдаем в области искусства или техники. Великие произведения искусства действительно "ближе к Богу", чем менее значительные творения. У художников нередко возникает чувство, что в своих величайших произведениях они открывают вечные истины, существовавшие уже до них в некотором высшем смысле, в то время как менее значительные произведения могут быть более случайными, являясь по своей природе всего лишь порождениями простых смертных. Точно также и новое инженерное решение с очень красивой структурой, позволяющее достичь значительных результатов через применение простой и неожиданной идеи, может с полным на то основанием рассматриваться скорее не как изобретение, а как открытие.
Однако, высказав все эти соображения, я не могу отделаться от ощущения, что в случае математики вера в некоторое высшее вечное существование - по крайней мере для наиболее глубоких математических концепций, - имеет под собой гораздо больше оснований, чем в других областях человеческой деятельности. Несомненная уникальность и универсальность такого рода математических идей по своей природе существенно отличается от всего того, с чем приходится сталкиваться в области искусства и техники. Точка зрения, согласно которой математические понятия могут существовать в такого рода вневременном, высшем смысле, была впервые высказана еще в древности (около 360 года до н. э.) великим греческим философом Платоном, и поэтому ее часто называют математическим платонизмом. Она играет важную роль в дальнейшем изложении.
В главе 1 я довольно много места уделил обсуждению точки зрения сильного искусственного интеллекта, согласно которой мыслительные явления находят свое воплощение в рамках математического понятия алгоритма. В главе 2 я особо подчеркнул, что алгоритм есть действительно очень глубокое и "Богом данное" понятие. В этой главе я старался доказать, что такие "Богом данные" математические идеи существуют в определенном смысле вне времени и независимо от нас смертных. Не могут ли эти соображения служить своего рода подтверждением справедливости концепции сильного искусственного интеллекта, допуская возможность некоего высшего существования мыслительной деятельности? Это вполне возможно - и я даже собираюсь далее привести ряд соображений в поддержку в чем-то похожей точки зрения. Но если у мыслительных явлений и вправду имеется такое вместилище, я все же не думаю, что это может относиться и к понятию алгоритма. Тут нужно что-то более "тонкое". Последующее обсуждение будет в значительной степени опираться на тот факт, что связанные с понятием алгоритма объекты составляют очень узкую и ограниченную часть математики. Следующая глава даст некоторое представление об огромных возможностях и изяществе неалгоритмической математики.
Глава 4
Истина, доказательство и интуиция
Программа Гильберта для математики
Что есть истина? Как мы составляем наши суждения о том, что в мире является справедливым, верным, а что - нет? Следуем ли мы некоторому алгоритму, которому отдается предпочтение среди прочих, менее эффективных, в процессе всемогущего естественного отбора? Или же возможен некий иной путь - не алгоритмизированный, а основанный на особой проницательности, интуитивный, инстинктивный - позволяющий угадывать правду? Это представляется нелегким вопросом. Наши суждения зависят от сложных взаимосвязанных комбинаций данных, поставляемых органами чувств, и наших размышлений и догадок. Более того, во многих реальных ситуациях не может существовать единого мнения по поводу того, что на самом деле истинно, а что - ложно. Чтобы упростить задачу, рассмотрим только лишь математическую истину. Как мы формируем суждения - а может, даже и наши "стопроцентно верные" знания - при ответе на вопросы из области математики? Там уж, по крайней мере, все должно быть не так размыто, очерчено более ясно. Там не может возникать вопросов об истинности - или все-таки может? Что же, в конце концов, есть математическая истина?
Вопрос об этой истине возник не сегодня, он уходит корнями в античность, к греческим философам и математикам - и, несомненно, еще дальше, в глубь веков. Однако, несколько великих открытий и поразительных прозрений здесь были сделаны не далее как в XX столетии. Эти новые достижения заслуживают того, чтобы постараться их понять. Они носят фундаментальный характер и непосредственно касаются вопроса о том, являются ли наши мыслительные процессы полностью алгоритмизированными по своей природе или нет. Четко разобраться в этом - задача, имеющая для нас весьма важное значение.
В последней части XIX века математика шагнула далеко вперед в результате развития все более и более мощных методов математического доказательства. (Давид Гильберт и Георг Кантор, с которыми мы познакомились ранее, и великий французский математик Анри Пуанкаре, с которым нам еще предстоит встретиться, шли во главе этих разработок.) Как следствие, математики стали обретать уверенность в том, что применение этих методов приведет к успеху. Многие из таких методов основаны на рассмотрении множеств с бесконечным числом членов, и доказательства часто оказывались осуществимы благодаря именно тому, что такое множество можно было рассматривать как реальный "объект" - завершенное единое целое, существующее не только в абстракции. Многие из этих идей родились из в высшей степени оригинальной концепции Кантора о бесконечных числах, которую он развил, последовательно используя бесконечные множества. (Мы кратко ознакомились с ними в предыдущей главе.)
Однако эта уверенность пошатнулась, когда в 1902 году английский логик и философ Бертран Рассел придумал свой знаменитый парадокс (который предвидел и сам Кантор и который выводился непосредственно из его диагонального процесса). Чтобы понять доводы Рассела, мы сначала должны хотя бы немного почувствовать, как можно представить множество в виде единого целого. Давайте представим себе множество, характеризуемое некоторым (общим) свойством. Например, набор красных предметов может быть охарактеризован словом "краснота" как его определяющим свойством: нечто принадлежит этому множеству тогда и только тогда, когда это обладает "краснотой" (имеет красный цвет). Это позволит нам "перевернуть" точку зрения и трактовать свойство как единичный объект, который будет состоять из всего множества вещей, обладающих данным свойством. При таком рассмотрении "краснота" эквивалентна множеству всех красных предметов. (При этом мы можем предполагать существование "там вовне" и других множеств, члены которых не могут быть охарактеризованы подобным простым свойством.)
Идея формулировки понятий в терминах множеств послужила основой для процедуры, предложенной в 1884 году влиятельным немецким логиком Готтлибом Фреге, которая позволяла определять числа через множества. К примеру, что мы понимаем под числом 3? Мы знаем, в чем заключается "тройственность", но что есть число 3 само по себе? Очевидно, что "тройственность" есть свойство наборов объектов, т. е. свойство множеств: некоторое множество обладает данным свойством тогда и только тогда, когда это множество состоит из трех членов. Этим свойством характеризуется, скажем, тройка призеров-медалистов некоторой Олимпиады. Равно как и набор шин к трехколесному велосипеду, или листья на одном стебельке обычного клевера, или множество всех решений уравнения x - 6х + 11x - 6 = 0. Как же можно тогда определить по Фреге само число 3? Согласно Фреге, 3 - это множество множеств, а именно, всех множеств, имеющих свойство "тройственности". Таким образом, множество содержит три члена тогда и только тогда, когда оно принадлежит множеству 3 по Фреге.
Может показаться, что мы попадаем в замкнутый круг, но в действительности это совсем не так. Мы можем определить числа в общем случае как совокупности всевозможных эквивалентных множеств, где говоря "эквивалентные", мы понимаем "состоящие из элементов, которые могут быть попарно сопоставлены друг другу" (или, в более привычной терминологии, "имеющих одинаковое число элементов"). Тогда число 3 будет одной из этих совокупностей множеств, которая содержит в себе в качестве члена множество, состоящее, скажем, из яблока, апельсина и груши. Обратите внимание, что это принципиально отличается от определения "3", данного Черчем (см. гл.2 "Лямбда-исчисление Черча"). Существуют также и другие определения, причем более популярные в наши дни.
Вернемся теперь к парадоксу Рассела. В чем он заключается? В нем рассматривается множество R, определенное следующим образом:
R есть множество множеств, которые не являются членами самих себя.
Таким образом, R есть набор множеств X, отвечающих следующему условию: среди членов множества X не должно быть самого X.