Путеводной звездой для меня как физика всегда служило объяснение, данное Людвигом Больцманом второму началу термодинамики – закону, утверждающему, что энтропия никогда не уменьшается. В конце XIX века это было совсем неочевидно. В природе часто встречаются необратимые явления – события, которые легко случаются, но не могут происходить в обратном направлении. Тем не менее фундаментальные законы физики полностью обратимы. Каждое решение уравнений Ньютона может быть прочитано в обратном направлении и при этом оставаться решением. Таким образом, если энтропия способна уменьшаться, то, согласно законам физики, она способна и увеличиваться. Но опыт показывает иное. Например, если вы смотрите прокрученный назад фильм с ядерным взрывом, то прекрасно понимаете, что так не бывает. Как правило, события происходят в одном направлении. Энтропия увеличивается.
Больцман понял, что второй закон термодинамики – энтропия никогда не уменьшается – не является законом в общепринятом понимании, как закон гравитации Ньютона или закон электромагнитной индукции Фарадея. Это вероятностный закон, который имеет ту же силу, что и очевидное утверждение: если вы миллион раз подбросите монету, то у вас не выпадет миллион раз орел. Но это в принципе возможно? Да, возможно, так как не нарушает ни одного закона физики. Это вероятно? Не совсем. Больцмановская формулировка второго закона очень напоминает предыдущее рассуждение. Вместо утверждения "энтропия не уменьшается" он высказывает предположение: "энтропия, возможно, не уменьшается". Но если вы будете достаточно долго ждать в замкнутом пространстве, то, в конце концов, увидите, как энтропия уменьшается. Случайным образом частицы и пыль соединятся вместе и примут форму правильно смонтированной бомбы. Как долго нужно ждать? Согласно Больцману, ответ представляет собой экспоненциальную функцию от энтропии, созданной взрывом бомбы. Это очень долгое время, намного более длительное, чем потребуется, чтобы при подбрасывании монеты орел выпал миллион раз подряд.
Я приведу простой пример, показывающий, каким образом одно событие более вероятно, чем другое, хотя оба возможны. Представьте себе высокий холм с узкой, остроконечной вершиной. Теперь представьте шар для боулинга, уравновешенный на вершине этого холма. С появлением легкого ветерка шар скатывается с холма, и вы ловите его внизу. Затем катите его назад: шар выскальзывает из вашей руки, катится вверх по холму, с невероятной точностью достигает вершины и останавливается! Это возможно? Да. Это вероятно? Нет. Вам потребуется безукоризненная меткость, чтобы отправить шар на вершину, не говоря уже о том, чтобы он остановился там как вкопанный. То же самое справедливо для бомбы. Если вы сможете вернуть на место каждый атом с достаточной аккуратностью, вы сумеете воссоединить продукты взрыва. Но малейшая неточность в положении всего одной частицы – и все, что вы получите, будет лишь новой кучей мусора.
Вот другой пример. Капните немного черных чернил в бочку с водой. Чернила растекутся, и вода, в конечном счете, станет серой. Очистится ли когда-нибудь вода, образовав каплю чернил? Возможно, но очень маловероятно.
Больцман первым осознал статистическое основание второго начала термодинамики, но он также первым обнаружил неадекватность своей формулировки. Предположим, вы находите бочку, наполненную неисчислимое количество лет назад, которую с тех пор никто не трогал. Вы замечаете странное обстоятельство – вода содержит каплю чернил. Первое, что вы можете спросить, – что за этим последует? Ответ – чернила почти наверняка растекутся. Но если вы спросите, что происходило незадолго до этого, ответ будет тем же – вероятно, мгновенье назад чернила занимали большее пространство, чем сейчас. Наиболее подходящим объяснением служит то, что появление капли чернил представляет собой кратковременную флуктуацию.
Вообще-то я не думаю, что вы придете к подобному умозаключению. Более разумное объяснение состоит в том, что, по неизвестным причинам, бочку наполнили недавно, затем туда добавили каплю чернил, которая начала растекаться. Попытка понять, почему смешение воды и чернил идет в одном направлении, поднимает проблему "начальных условий". Прежде всего, чем определяется концентрация чернил?
Вода и чернила служат иллюстрацией вопроса, почему энтропия увеличивается. Она увеличивается, потому что, вероятнее всего, она будет увеличиваться. Но уравнения показывают, что, скорее всего, она также увеличивалась в прошлом. Чтобы понять, почему так происходит, нужно задать тот же вопрос, что и Больцман: почему энтропия была так мала в самом начале? Что создало Вселенную с таким специфическим, низким уровнем энтропии? Это космологический вопрос, на который у нас до сих пор нет однозначного ответа.
Я начал вам рассказывать о самом привлекательном для меня объяснении, а закончил самой увлекательной для меня нерешенной проблемой. Прошу прощения, что не последовал инструкциям. Но так обстоит дело со всеми хорошими объяснениями. Чем они лучше, тем больше вопросов поднимают.
Темная материя сознания
Джоэл Голд
Психиатр, профессор психиатрии Школы медицины Нью-Йоркского университета
Существуют люди, которые стремятся к прочным супружеским отношениям, но постоянно обманывают своих жен.
Есть люди, которые мечтают об успешной карьере, но продолжают подрывать свою репутацию на работе.
Аристотель определил человека как "разумное животное". Подобные противоречия показывают, что это не так. В жизни каждого человека существует конфликт между тем, что он хочет, и тем, как он живет. Большую часть человеческой истории мы не могли разрешить этот парадокс, пока Фрейд не нашел ему объяснение, открыв подсознание. До Фрейда мы были стеснены в средствах, когда искали объяснение тому, что думаем и чувствуем. Все, чем мы располагали, чтобы понять противоречивые мысли, чувства и побуждения, ограничивалось тем, что было доступно нашему сознанию. Мы знали, что знали, и чувствовали, что чувствовали. Элегантное объяснение Фрейда постулировало скрытое от нас умозрительное пространство, в котором господствует иррациональность. Эта особенность разума не поддается рациональным ограничениям, таким как логический вывод, причина и следствие, линейное время. Подсознание дает ответ, почему рациональные люди ведут иррациональную жизнь.
Критики могут исключить из того, что Фрейд относил к подсознанию, сексуальные и агрессивные побуждения, защитные механизмы, конфликты, фантазии, аффекты и верования, но никто не станет отрицать само существование подсознания. Оно получило всеобщее признание. Как еще объяснить, что мы всю жизнь оступаемся, неуверенные в собственных побуждениях и непонятные сами себе? Интересно, как обосновывает бихевиорист развод со своей третьей косоглазой рыжеволосой женой?
Вселенная преимущественно состоит из темной материи. Мы не можем ее увидеть, но она обладает мощной гравитационной силой. Сознание – во многом так же, как видимая часть Вселенной, – лишь незначительная часть разума. Подсознание, эта темная материя разума, обладает значительным физическим притяжением. Если пренебречь темной материей Вселенной, появятся аномалии. А если проигнорировать темную материю разума, наша иррациональность станет необъяснимой.
"И в небе, и в земле сокрыто больше, чем снится вашей мудрости…"
Алан Элда
Актер, режиссер, писатель, ведущий программы The Human Spark канала PBS
Эта цитата не выглядит как объяснение, но я воспринимаю ее именно таким образом. Для меня замечание Гамлета истолковывает запутанность и неопределенность нашей Вселенной (и, в конечном счете, всего мироздания). Оно поддерживает, когда наши философские теории, как всегда, оказываются непоследовательными. Оно отвечает на невысказанный вопрос "Какого черта?". За любой дверью в природу, которую нам удается приоткрыть, обнаруживается сотня новых дверей, каждая со своим тайным кодовым замком. Тут и объяснение, и вызов, потому что всегда можно узнать больше.
Мне нравится, что все это бесконечно замкнуто само на себя. Каждый раз, когда мы обнаруживаем что-то новое на земле или на небе, это новое становится частью нашей философии.
Конечно, как и у любого объяснения, у него имеются ограничения. Гамлет обращается к Горацио, чтобы убедить его поверить в существование привидений. С таким же успехом это объяснение применимо, чтобы заставить поверить в НЛО, астрологию и даже Бога.
Однако эта фраза может нас и куда-нибудь привести. Не как такси до конечной остановки познания, а как стимул к исследованию. Слова Гамлета лучше всего воспринимать как храповик – слово по-житейски прекрасное, как по звучанию, так и по значению. Продолжай двигаться вперед, но береги то, что работает. Для GPS нам нужен Эйнштейн, но мы все еще можем достигнуть Луны с помощью Ньютона.
Вселенная Птолемея
Джеймс Дж. О’Доннелл
Специалист по античной филологии, ректор Джорджтаунского университета; автор книги The Ruin of the Roman Empire ("Руина Римской империи")
Клавдий Птолемей изучал небо. Он был египтянином, писавшим по-гречески, и жил в Римской империи в правление императоров Траяна и Адриана. Его самому знаменитому труду – "Альмагесту" – дали название арабские переводчики. Птолемей унаследовал древнюю традицию астрономии, восходящую к Месопотамии, и составил самое совершенное и долгоживущее математическое описание небесной механики, получившее его имя.
Геоцентрическая Вселенная Птолемея известна в первую очередь благодаря Копернику, Кеплеру, Ньютону и Эйнштейну, которые не без основания один за другим отвергали ее в ходе поступательного развития современной науки. Но Птолемей заслуживает нашего глубокого уважения, потому что его система действительно не лишена здравого смысла. Он различал звезды и планеты и понимал, что поведение планет нуждается в дополнительном объяснении. (Слово "планета" по-гречески означает "странница", что отражает удивление древних пастухов и мореходов непредсказуемым движением этих ярких огоньков, в отличие от постоянной траектории годичного движения Ориона или кружения Медведиц над головой.) Птолемей представил небесную механику в виде сложной математической системы, особенно примечательной своими "эпициклами" – проще говоря, орбитами внутри орбит, малыми кругами, по которым кружатся планеты, продолжая свое вращение вокруг Земли. Это объясняет движение планет, наблюдаемое в ночном небе.
Мы восхищаемся Птолемеем по многим причинам, но, прежде всего, потому, что он серьезно и ответственно выполнил свою работу теми средствами, которыми располагал. В соответствии с уровнем знаний того времени, его система блестяще продумана, математически оформлена и обладает огромными преимуществами по сравнению с пред шествующими. Наблюдения Птолемея терпеливы, тщательны и по возможности полны, а его математические вычисления точны. Более того, его математическая система сложна, насколько это необходимо, одновременно проста, насколько это допустимо, и содержит все, что нужно для ее применения. Короче говоря, он был образцом настоящего ученого.
Потребовались долгие годы и длительные дискуссии, прежде чем астрономия сумела выйти за рамки его представлений – и в этом состоит признание его достижений. Такой шаг стал возможен, потому что после Птолемея уже нельзя было опираться на магию, фантазию или принимать желаемое за действительное. Последователи Птолемея в эпоху великих астрономических открытий вынуждены были играть по его правилам: вести тщательные наблюдения, выполнять точные математические расчеты и предлагать системы, балансирующие на грани сложности и простоты. Птолемей бросил вызов последующим поколениям ученых – и они смогли превзойти его. Мы многим ему обязаны.
Квазиэлегантность
Пол Стейнхардт
Профессор факультета физики и астрономии Принстонского университета; соавтор книги (с Нилом Тюроком) Endless Universe ("Бесконечная Вселенная")
Моим первым знакомством с элегантностью в науке стала короткая научно-популярная книга под названием "Сим мет рия", написанная авторитетным математиком Германом Вейлем. Я обнаружил эту книгу на четвертом курсе и затем перечитывал некоторые ее фрагменты раз в несколько лет. Начиная с простого эстетического объяснения симметрии для рядового читателя, автор приводит любопытные примеры из искусства, архитектуры, различных орнаментов и биологии. В четвертой, и последней, главе Вейль, тем не менее, обращается к точной науке и рассказывает об элементах теории групп – математических понятиях, которые превращают симметрию в мощный инструмент.
Демонстрируя его возможности, Вейль поясняет, как теория групп может быть использована для объяснения формы кристаллов. Кристаллы завораживают нас своими красивыми гранеными формами. Большинство горных пород содержит смесь различных минералов, каждый из которых образует кристаллы, но их грани, сформированные рядом, прижатые друг к другу или испытавшие воздействие стихии, неразличимы. Случается, однако, что те же самые минералы образуют крупные, отдельные кристаллы – именно их мы считаем наиболее эстетически привлекательными. "Оксид алюминия", быть может, звучит не слишком впечатляюще, но добавьте немного хрома, дайте природе достаточно времени, и вы получите рубин, достойный короля.
Грани встречающихся в природе кристаллов расположены под определенными углами, соответствующими ограниченному числу типов симметрии. Почему предпочтение отдается тем или иным формам? Какую научную информацию они несут? Вейль объясняет, как получить ответы на эти вопросы с помощью, на первый взгляд, не связанной с ними отвлеченной математики, отвечающей на другой вопрос: какие формы следует использовать, чтобы выложить мозаикой плоскость или заполнить пространство, если все формы одинаковы, соприкасаются сторонами и не оставляют свободного места?
Эту задачу можно решить с помощью квадратов, прямоугольников, треугольников, параллелограммов и шестиугольников. Возможно, вы полагаете, что с таким же успехом годятся и другие многоугольники – попробуйте, и вы убедитесь, что других возможностей не существует. Пяти-, семи и восьмиугольники, как и остальные правильные многоугольники, не совмещаются друг с другом таким образом, чтобы не оставалось свободного пространства. Книга Вейля перечисляет все математически возможные решения – в общей сложности 17 для двух измерений (так называемые "узоры обоев") и 230 для трех.
Этот перечень потрясает тем, что перечисленные в нем формы в точности совпадают с формами кристаллов, обнаруженными в природе. Можно сделать вывод, что вещество кристалла напоминает мозаику, состоящую из одинаковых неделимых строительных блоков, повторение которых образует общее целое. Конечно, мы теперь знаем, что эти строительные блоки представляют собой соединения атомов и молекул. Тем не менее следует принять во внимание, что взаимосвязь между математикой и строением кристаллов была установлена в XIX веке, когда атомная теория еще подвергалась сомнению. Забавно, что отвлеченное изучение строительной плитки и блоков и всех вероятных комбинаций из них может привести к глубокому проникновению в сущность строения вещества. Это типичный пример того, что физик Юджин Вигнер называл "безосновательной эффективностью математики в естественных науках".
История этим не заканчивается. В квантовой механике теория групп и принципы симметрии оказались полезными для предсказания электрических, магнитных и прочих свойств твердых веществ. Не останавливаясь на достигнутом, физики успешно применили принципы симметрии для объяснения фундаментальных свойств ядра и элементарных частиц, а также сил, посредством которых они взаимодействуют.
Когда, будучи юным студентом, я читал книгу Вейля, кристаллография казалась мне идеалом, к которому должна стремиться наука: элегантная математика, обеспечивающая понимание всех физических возможностей. По иронии судьбы, через много лет я сыграл роль в том, чтобы этот идеал существенно подпортить. В 1984 году Дэн Шехтман, Илан Блех, Денис Гратиас и Джон Кан сообщили об открытии загадочного искусственного сплава алюминия и марганца с икосаэдрической симметрией. Подобная симметрия, с шестью пятикратно симметричными осями – самая известная из запрещенных кристаллических симметрий. По удачному стечению обстоятельств, Дов Левайн (Технион, Хайфа, Израиль) и я разрабатывали гипотезу новой формы твердого вещества, которую назвали "квазикристаллы", сокращенно от "квазипериодические кристаллы". (Квазипериодическое расположение атомов может быть описано суммой колебательных функций, где частота имеет иррациональное выражение.) Нас вдохновила двумерная мозаика, придуманная сэром Роджером Пенроузом и известная как "мозаика Пенроуза", которая состоит из двух мозаик, объединенных в пятикратно симметричную структуру. Мы показали, что квазикристаллы способны существовать в трех измерениях и не подчиняются законам кристаллографии. Фактически они могут обладать любой симметрией, запрещенной для кристаллов. Более того, мы продемонстрировали, что дифракционные решетки, предсказанные для икосаэдрических квазикристаллов, соответствовали наблюдениям Шехтмана и его коллег.
Начиная с 1984 года, в лабораториях были синтезированы квазикристаллы с другими запрещенными типами симметрии. В 2011 году Дэн Шехтман получил Нобелевскую премию за экспериментальные достижения, которые изменили наши представления о возможных формах вещества. Позднее мои коллеги и я представили доказательства того, что квазикристаллы могли быть одними из первых минералов, образованных в Солнечной системе.
Кристаллография, с которой я познакомился в книге Вейля, предположительно была исчерпывающей и непреложной, но оказалась крайне неполной, упускающей из виду без преувеличения неисчислимое множество типов симметрии вещества. Наверное, из этого следует извлечь урок: хотя простота и элегантность – полезные критерии оценки теорий, иногда они могут ввести нас в заблуждение.