Но отсюда не следует, что противоречия нет. Вера математики во всесильность своего метода (в то, что все можно переопределить – исключить противоречия в принципе) ограничивает саму математику. Впрочем, пределы своего могущества обозначила сама же математика в лице Геделя теоремой о не полноте: если система полна, то она противоречива, а если не противоречива, то она не полна.
И я хочу добавить, перефразируя Канта, что две вещи на свете наполняют мою душу священным трепетом: желание, насколько это возможно, исключить противоречия и не испытывать ужас при встрече с ними.
Здравствуй, Таня!
Если бы бога спросили, как он относится к математике, которая в силу своего определения ставит табу на использование слова "противоречие", он, наверно, указал бы на импликацию: "истинно говорю вам, что из противоречия следует как истина, так и не истина … и без этой истины нет математики".
Глава 2. Число
Число есть только другое название для различия. Точное тождество есть единство, а от различия возникает множество.
У. Стенли Джевонс.
2.1. Число один
Возможно ли привести хотя бы один пример, который бы показал, что утверждение "один – это то, что равно себе" неверно? Найти такой пример мне не удалось. …
Один "А" = {А = А}. Один "А → В" = {А → В =А → В}. Одна "двойка" = {двойка = двойка}. Одно "много" = {много = много}.
Рассуждаем. Как уже отмечалось в предыдущей главе, "самотождественно" можно заменить на "существовать". Допустим, имеется некое А, и оно становится неким В: А → В. Получается, что до момента изменения "А остается тем же самым А". После изменения А нет – оно не существует, но существует В. На всем же промежутке наблюдения нельзя сказать, что "А существует" и что "В существует", но можно сказать, что "существует изменение из А в В", т. е. "А → В = А → В".
Обычно, единице сопоставляется некая мера: длина локтя, ложка песка, яблоко и т. д. Но что значит "сопоставить"? Ведь единице можно сопоставить не только яблоко, но и "чашку чая с бутербродом", "яблоко и яблоко"! Конечно, одно "яблоко" – не то же самое, что одно "яблоко и яблоко".
Так вот, все эти различия становятся не существенными в записи "один – это то, что равно нулю", т. е. "1 = {0 = …}". Теперь тем, что находится в скобках после знака равно, может быть как "А – А", "А и В – А и В", так и "0". В последнем случае, "1 = {0 = 0}" вырождается в "один – это то, что ноль существует".
Сказанное будет уместно сравнить с выводами Фреге [7]: "один – это число, соответствующее понятию равное 0". Но трактуется это утверждение в современной математике иначе: как "1 = {0}", а не как "1 = {0 = 0}". Впрочем, если понятие множества натуральных чисел "N = {x всех таких | что существует(х)}" записать лишь по отношению к единице, то получим "1 = {0 такое | что существует 0}".
2.2. Число ноль
Хотя определение "ноль – это то, что не равно себе" полностью совпадает с определением, данным Фреге [7], "0 – это число, соответствующее понятию не равное себе", философских нестыковок с общепринятым мнением здесь ожидается куда больше.
Причиной тому, во-первых, служит высказывание самого Фреге [7]: "поскольку под понятие не равное себе ничего не подпадает, я объясняю: 0 – это число, соответствующее понятию неравное себе". И, во-вторых, более фундаментальное – отрицание противоречия как математического объекта в принципе. … И это не только забавно. С одной стороны, "под понятие не равное себе ничего не подпадает". С другой стороны, ноль есть, т. е. само это "под понятие не равное себе ничего не подпадает" все же существует.
Немного конкретики. … Если перед глазами, например, яблоко, груша и два карандаша, то, сколько здесь не фруктов? Если не фруктов два, то чему тогда будут соответствовать яблоко и груша как числу? Нулю! Вернее, яблоко и груша будут соответствовать нулю не фруктов. … И именно этот смысл отобразит система координат, если по одной оси отобразить фрукты, а по другой не фрукты.
Другой пример. Возьмем "х2 + 1 = 0". Решений этого уравнения не существует (мнимые не рассматриваем). Не существует, поскольку для всех значений "х" не найдется ни одно такое, что будет верно тождество. Например, для натуральных чисел в качестве значения, имеем: "1 = 0", "2 = 0", "5 = 0" и т. д.
Представим это в общем виде и с учетом "дополнения отношений": "А = В" или "А = ~А" или "А ≠ А". Тогда, ноль – это то, что "А ≠ А" (ноль – это "А = ~А", ноль – это "А = В").
Иначе говоря, "ноль – это то, что не равно себе" заменимо на "противоречие – это то, что не равно себе". Ноль – то же, что противоречие, и противоречие существует.
Сугубо философские размышления о противоречии устами классика ниже. …
2.3. Философия противоречия
Диалектика тождества и различия в сфере смысла из книги "Самоё само" Лосева [8]:
"Эта диалектика, по общему правилу, должна "отражать" те связи и переходы, которые царят в соответствующей области учения о бытии. Для этого вспомним диалектику бытия и небытия, данную в гл. II, § 1, п. За, и попробуем выразить ее в категориях сущности.
Небытие отлично от бытия. Значит, это бытие в отношении небытия тождественно с небытием. Значит, небытие отлично от небытия. Допустим, однако, что небытие отлично от небытия. Но то, что отлично от небытия, есть бытие. Следовательно, небытие тождественно с бытием. Итак, различие между небытием и бытием существует лишь постольку, поскольку между ними существует тождество. Или: когда между членами отношения существует различие, то это происходит только потому, что между ними существует тождество. Другими словами, различие возможно только там, где есть тождество; и оно возможно только потому, что там же есть и тождество.
Бытие отлично от небытия. Но небытие тоже есть некоторое бытие. Следовательно, бытие отлично от самого себя. Допустим, однако, что бытие отлично от бытия. Но то, что отлично от бытия, есть небытие. Следовательно, бытие тождественно с небытием. Итак, тождество бытия с небытием вытекает из различия бытия с небытием. Тождество возможно только там, где есть различие, и оно возможно только потому, что там же есть и различие.
Бытие тождественно с самим собою, т. е. с бытием Но бытие как предикат отлично тут от бытия как субъекта, ибо иначе было бы бессмысленно и самое это утверждение. А то, что отлично от бытия, есть небытие. Следовательно, если утверждение, что бытие тождественно с самим собою, имеет хоть какой-нибудь смысл, то только потому, что бытие отлично от самого себя. Итак, тождество есть различие.
Небытие тождественно с небытием. Но небытие как предикат отлично тут от небытия как субъекта, ибо иначе было бы бессмысленно и самое это утверждение. А то, что отлично от небытия, есть бытие. Следовательно, если утверждение, что небытие тождественно с небытием, имеет хоть какой-нибудь смысл, то только потому, что небытие различно с небытием. Итак, тождество есть различие.
Эти четыре аргумента имеют одно и то же содержание: тождество есть не что иное, как различие; и различие есть не что иное, как тождество; однако при этом тождество не есть различие; и различие не есть тождество.
Бытие и небытие тождественны только в том случае и только потому, что тому и другому тождественно присуще различие со своим другим. И также бытие и небытие различны между собою только в том случае и только потому, что тому и другому присуще тождество с самим собою. Отбросим отличие бытия от небытия, нечему будет и отождествляться. Отбросим тождество бытия и небытия с самим собою, нечему будет и различаться. Это нужно твердо запомнить раз навсегда всякому, желающему разбираться в диалектике сущности: тождество всегда обязательно есть тождество различия (и только различия), тождественно данного где бы то ни было; и различие всегда обязательно есть различие тождества, различно данного где бы то ни было".
Какие комментарии? При условии, что существуют только тождество и различие и ничего более… различие есть различие… истинно то, что различие есть различие… истина есть то, что различие есть различие… истина, т. е. тождество есть то, что различие… тождество есть различие.
А вот что думает Лосев о противоречии [8]:
"Спрашивается: какой же это имеет смысл, как это отражается в сфере сущности? Ясно, что тут не годится ни тождество, ни различие. Категория тождества "отражает" собою то, что бытие просто полагает себя, т. е. себя как себя, а вовсе не себя как не-себя. Различие тоже тут выражает еще далеко не все, так как категория различия переносит в сущность только то, что бытие полагает небытие, или иное себе, а не специально себя как иное себе.
Где же та категория сущности, которая была бы смыслом этого нового положения дела, когда бытие заключается только в полагании себя как не-себя, т. е. в полагании границы, когда акт полагания бытия свидетельствует и о полагании небытия, когда бытие само громко кричит о своем собственном отрицании, о своей собственной границе? Это есть противоречие.
Под противоречием обычно понимается в логике такое отношение между двумя моментами, когда один из них является А, а другой не-А (белый – не-белый, продолговатый – непродолговатый и проч.). Вскрыть смысл этого соотношения было бы очень интересно, но авторы руководств по логике обычно не занимались этим, считая, что это понятно и без всяких разъяснений. Тем не менее дело тут вовсе не в понятности или непонятности. Философ вскрывает смысл именно того, что понятно; и только потому он и может вскрыть смысл предмета, что этот предмет понятен. Если бы он не был понятен, было бы невозможно говорить и об его смысле. Итак, что такое противоречие, всем понятно. Стало быть, законно спросить: а что оно значит? Значит оно вот что.
Когда мы говорим "не-А", мы, прежде всего, как-то полагаем самое А. Но как? Исключительно только в отрицательном смысле, полагаем его небытие. Но и этого мало. Если бы мы просто говорили, что никакого А нет, это еще далеко не значило бы, что мы полагаем не-А. Пусть я говорю, что здесь нет белого цвета. Это еще не значит, что здесь есть что-то не-белое. Это значит только то, что белого цвета здесь нет, и больше ничего. А для противоречия надо, чтобы не только отрицался факт данного А, но и признавался еще некий новый факт или множество фактов, выходящих за пределы отринутого А. Надо, чтобы в то же самое время признавался факт зеленого, синего и проч. цветов. Значит, в противоречии появляется такое небытие, которое есть в то же время и бытие, не просто отсутствие бытия, но присутствие того, что не есть само бытие. Оказывается, бытие полагает себя, но полагает себя не как просто себя (тогда мы говорили бы просто "белое" или "белое есть белое"); и оно полагает небытие, но не как просто небытие (тогда мы говорили бы просто "белого нет"). Оказывается, что бытие полагает себя как иное себе и полагает иное себе в его тождестве с самим собою. Бытие совпало тут с небытием, но, оказывается, само же бытие и произвело это свое совпадение с небытием.
Не-А есть не что иное, как А, полагающее себя в своем совпадении со своим небытием, или – совпадение бытия и небытия А, данное средствами самого же А. Для ясности диалектики противоречия будем рассуждать, исходя из более понятной категории различия.
Ясно, что противоречие есть вид различия, потому что там, где есть противоречие, обязательно имеется и различие, но там, где есть различие, еще не обязательно присутствие противоречия.
Что же надо теперь прибавить к различию, чтобы получилось противоречие? Пусть А отлично от В. Что надо для того, чтобы А противоречило В? Очевидно, надо, чтобы не кто-то другой утверждал, что А отлично от В, но чтобы само А активно свидетельствовало о своем отличии от В. А не только будет отличаться от В, но оно еще будет специально подчеркивать это самое отличие от В, будет кричать об этом отличии. Однако выражения "свидетельствовать", "подчеркивать", "кричать" являются здесь, конечно, фигуральными; и как же можно было бы выразить это в строгих диалектических категориях?
Свидетельствовать о том, что бытие есть именно бытие, а не что-нибудь иное, само бытие может только путем фиксирования своей твердой границы с этим иным. Бытие здесь как бы доходит до своей границы, останавливается на ней и, показывая на дальнейшее, как бы произносит: а что дальше, то уже не бытие.
Другими словами, для получения не-белого надо 1) фиксировать само белое, 2) фиксировать все белое целиком, т. е.
фиксировать его с его собственной границей, и при этом 3) так фиксировать белое с его границей, чтобы это было фиксированием того, что находится за этой границей. Надо, чтобы мы совершали акт полагания, но чтобы в то же время этот акт полагания белого имел совершенно новый смысл, а именно смысл полагания того, что за пределами белого.
Что это значит, выясняется тотчас же, как мы только привлечем понятие границы. Ведь граница бытия и небытия есть, как мы хорошо знаем, сразу и бытие и небытие. Но границей можно пользоваться как некоторым слепым фактом, специально его не фиксируя, не осмысляя и не подчеркивая. В таком виде ею и пользуется различие.
Когда мы говорим, что А отличается от В, то здесь мы фиксируем не специально границу между А и В (хотя она фактически здесь не может не быть), но фиксируем и сравниваем самое качество А и В. Противоречие же подчеркивает именно самую границу, полагает, осмысливает, делает своим предметом именно границу. Следовательно, наше белое, положенное вместе со своей границей, должно теперь полагаться только как граница, а не как белое со всем своим положительным содержанием, но именно как отрицание всего прочего.
Сама граница не есть ни просто белое, ни просто не-белое, ни бытие, ни не-бытие. Но если мы эту границу зафиксируем как такую, сделаем своим предметом, или, попросту, положим как бытие, тогда она превратится в кричащее отрицание. А это и есть противоречие.
В противоречии, стало быть (подчеркнем еще раз), фиксируется ни просто бытие, ни просто не-бытие, но – граница между тем и другим. Кроме того, граница эта не просто тут имеется, существует, дана (т. е. не есть акт полагания, не есть категория бытийная), но имеется как таковая (т. е. "отражается" в "сущность", берется как смысловая, а не бытийная категория).
И вот когда мы совершаем акт полагания, когда мы полагаем бытие, но так полагаем, что по смыслу оно оказывается только границей, то это и создает для нас категорию противоречия. А так как граница есть совпадение бытия и небытия, то, следовательно, противоречие и есть не что иное, как совпадение бытия и небытия, осуществленное как бытие, выраженное средствами бытия, положенное в сфере бытия, данное для самого же бытия".
Комментарии? А что будет границей в отношении двух частей в круге Эйлера, такой, чтобы принадлежать обеим этим частям? Очевидно, тем третьим будет не то, что "А остается тем же самым А" и не то, что "не-А остается тем же самым не-А", а "А = не-А".
Иначе говоря, имеем совокупность {А = А, А = не-А, не-А = не-А}.
2.4. Верх и низ логики
Поразительно! … Удивляет и восхищает, насколько мысли выдающихся людей при всем своем различии в области деятельности, могут утверждать одно и то же. Речь о логике и, в частности, о границе в понимании Лосева (Гегеля) и сосуществующего состояния в понимании Гейзенберга (Вейцзеккера).
Слово Гейзенбергу – одному из авторов квантовой механики, сформулировавшему соотношение неопределенностей, его книге "Шаги за горизонт" [20]: "Отправляясь мысленно в мир атомов, мы столь же мало сможем ориентироваться в нем с помощью классической аристотелевской логики, как космонавт – с помощью понятий "верх" и "низ"".
Там же [20]: "Логика, называемая квантовой, была проанализирована уже в 30-е годы Г. Биркгофом и И. фон Нейманом, а недавно вновь подробно исследована К. Ф. фон Вейцзеккером. Прежде всего здесь должна утрачивать силу одна из основополагающих аксиом аристотелевской логики, то есть логики повседневной жизни. Речь идет о принципе, согласно которому либо утверждение некоего высказывания, либо его отрицание должно быть верным. а другое ложным, третьего не дано".
Еще [20]: "Существуют, следовательно, промежуточные ситуации, для которых остается неопределенным, ложно или истинно высказывание, причем слова "остается неопределенным" ни в коем случае нельзя понимать просто в смысле незнания истинного положения дел. …
Высказывание с промежуточным значением истинности нельзя, стало быть, истолковывать так, что "в действительности" истинно либо одно, либо другое альтернативное высказывание и неизвестно лишь, какое из них считать таковым. Высказывание с промежуточным значением истинности скорее уж вовсе не поддается выражению на обыденном языке. Вейцзеккер называет такое высказывание дополнительным по отношению к простым альтернативным высказываниям".
И далее [20]: "Рассмотрим теперь на этом примере различные уровни языка. В классической логике отношение между разными уровнями было бы отношением однозначного соответствия. Два высказывания: "Атом находится в левой половине" и "Истинно, что атом находится в левой половине" – логически относятся к разным уровням. Но в классической логике оба высказывания полностью эквивалентны, то есть оба либо истинны, либо ложны. Не может случиться так, что одно будет истинным, а другое ложным. …
Но в логической схеме дополнительности это отношение сложнее. Из истинности или ложности первого высказывания действительно следует истинность или ложность второго, но из ложности второго не обязательно следует ложность первого….
Если второе высказывание ложно, может все еще быть неопределенным, находится ли атом в левой половине ящика. Атом не обязательно будет находиться и в правой половине. Относительно истинности высказываний уровни языка остаются полностью эквивалентными, но относительно ложности они уже неэквивалентны. Отсюда легко понять и то, почему мы говорим о "неколебимости классических законов" в квантовой теории….
Намеченная здесь модифицированная логика квантовой теории неизбежно влечет за собой модификацию онтологии. Ведь всякому высказыванию, которое оставляет неопределенным, в правой или в левой половине ящика находится атом, соответствует в природе некая ситуация, не отождествимая ни с той, когда атом находится в левой половине, ни с той, когда атом находится в правой половине ящика. Такие соответствующие дополнительным высказываниям состояния Вейцзеккер назвал сосуществующими состояниями, указывая тем самым, что оба альтернативных состояния присутствуют в них в качестве возможностей".
Итак, кроме существования атома в левой половине ящика и существования этого же атома в правой половинке ящика есть еще и третье состояние – сосуществующее состояние. Лосев, думаю, выразился бы об этом несколько иначе. Границей атома, когда он находится только в правой половинке ящика и того положения, когда он находится только в левой половине ящика, есть такое состояние, когда он сразу расположен как в левой, так и в правой половинках ящика как возможность. Противоречие, сосуществующее состояние подчеркивает именно эту границу: нахождение (возможность нахождения) атома в левой половинке ящика – то же, что нахождение (возможность нахождения) атома в правой половинке ящика.
Как только логика тщательнейшим образом рассматривает то, что не существует, так сразу приходится признать правоту Лосева (Гегеля) – кроме А или не-А существует еще и сама их граница "А = не-А", которая отрицает, что может быть только А или только неА..