Следует признать, что в специальной технической литературе элементы формального языка математики нередко употребляются без особой надобности, когда то же самое можно выразить достаточно строго и лаконично на естественном языке. Это происходит либо в силу привычки, если автором является математик, либо из стремления придать изложению внешнюю солидность. Подобная мнимая математизация, не внося ничего полезного, создает излишние барьеры для понимания существа дела и обмена информацией.
Применение формального языка математики оправдано всегда, если речь идет о сложных вещах, изложение которых на естественном языке требует синтаксически сложных предложений и может привести к неточному их толкованию. Важно также и то, что работа с формальными языками развивает способности к логическому мышлению в любой прикладной области.
6. Математические модели. Реальные объекты, с которыми имеет дело инженер, обладают бесконечным множеством свойств и характеризуются бесконечным множеством связей как внутри самого объекта, так и вне его (связи с другими объектами и окружающей средой). Переход к соответствующим моделям является наиболее сложным и ответственным этапом применения математического аппарата в инженерном деле. В значительной мере успешное решение этой задачи определяется опытом и интуицией специалиста в данной конкретной области. В то же время можно указать и ряд общих требований, которые обычно предъявляются к математической модели: достаточная точность, предельная простота и стандартная форма.
Обеспечить достаточную точность модели - это значит учесть при идеализации реального объекта все существенные свойства и связи, отвлекаясь от второстепенных. Несущественных свойств и связей. Решение этого вопроса зависит не только от характера самого объекта, но и от поставленной задачи. Поэтому для одного и того же объекта может потребоваться не одна, а несколько моделей, обслуживающих различные задачи при его проектировании или исследовании. Например, усилительная электронная цепь при определении начального режима описывается нелинейными алгебраическими уравнениями, а в режиме усиления слабых сигналов - линейными дифференциальными уравнениями.
- 12 -
Для определения нелинейных искажений такой цепи в ее модели необходимо учесть нелинейность характеристик электронных ламп или транзисторов.
Представляя реальный объект с достаточной точностью, математическая модель в то же время должна быть оп возможности проще, так как дальнейшая работа со сложной моделью не только затруднительна, но может оказаться и практически невозможной. Противоречивость этих требований нередко вынуждает поступиться точностью в интересах простоты, однако такой компромисс допустим только в тех пределах, при которых модель еще отражает существенные свойства реального объекта. Разработка методов упрощения реальных объектов и систем с целью построения предельно простых математических моделей является одной и центральных задач любой прикладной области.
При моделировании реальных объектов целесообразно ориентироваться на математические модели стандартного вида, которые обеспечены соответствующим аппаратом. Физические процессы характеризуются пространственно-временными соотношениями и в общем случае описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Важным методом упрощения модели является представление объекта или совокупности объектов в виде системы таких ее частей (компонентов), связь между которыми можно с достаточной точностью охарактеризовать функциями только одно переменной (времени). В одних случаях этот путь предсказывается самой структурой объекта (например, электронные цепи или системы управления), в других случаях требуется искусственное расчленение объекта на отдельные части (например, балку с распределенной нагрузкой представляют в виде участков с сосредоточенными нагрузками). Если известны модели компонентов в виде некоторых зависимостей относительно их внешних связей, то модель системы можно представить обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем самым осуществляется переход от модели с распределенными параметрами к более простой модели с сосредоточенными параметрами.
Моделирование компонентов системы само по себе может представлять серьезные трудности, однако эта задача всегда проще, чем рассмотрение системы в целом. Кроме того, несмотря на огромное разнообразие систем, набор различных компонентов весьма ограничен, и их модели, полученные один раз в стандартной форме, могут затем многократно использоваться при моделировании сложных систем. В общем случае модели компонентов характеризуются нелинейными зависимостями. Однако многие задачи допускают их линеаризацию, что соответственно сильно упрощает и модели систем, которые в таких случаях описывается линейными уравнениями. Если параметры компонентов можно считать не зависящими от времени, то система представляет стационарной моделью
- 13 -
в виде дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Параметры системы и приложенные к ней воздействия можно рассматривать как детерминированные или случайные величины, что приводит соответственно к детерминированным или стохастическим моделям. Выбор той или иной модели зависит от характера протекающих процессов и поставленной задачи исследования.
Стохастические модели имеют особенно важное значение при исследовании и проектировании больших систем со сложными связями и трудно учитываемыми свойствами. В подобных ситуациях близость математической модели к исходной системе усиливается приданием ей вероятностного или статистического характера, учитывающего существенные свойства и связи, которые не поддаются детерминированному описанию.
Реальные физические процессы протекают в непрерывно изменяющимся времени, которое является аргументом соответствующих им функций. Роль непрерывного аргумента в различных задачах исследования или проектирования могут играть и другие физические величины (расстояние, объем, масса, температура и т.п.). При этом математические модели, типичными представителями которых являются дифференциальные уравнения, также называют непрерывными. Однако во многих случаях целесообразно рассматривать состояние системы только для последовательности дискретных значений независимой переменной (времени), отвлекаясь от характера происходящих процессов в промежутке между этими значениями. Этот подход обслуживают различные типы дискретных моделей.
Важным типом дискретных моделей являются конечно-разностные дифференциальные уравнения, которые описывают процессы в исследуемой системе относительно конечных (не обязательно равных)приращений независимой переменной. Такая модель представляет собой как бы моментальные фотографии состояний системы, выполненные последовательно через некоторые промежутки времени (или другой независимой перемененной). Ясно, что точность моделирования тем выше, чем меньше приращения независимой переменной, но уменьшение интервалов между дискретными значениями неизбежно приводит к увеличению объема вычислений. Представление непрерывных систем дискретными моделями всегда связано с решением вопроса об оптимальном выборе шага дискретности как компромисса между точностью и простотой.
Для многих систем дискретность является основным свойством их функционирования. В некоторые моменты времени происходит переход их одного состояния в другое, последовательно которых представляет наибольший интерес, а процессы между этими состояниями либо отодвигаются на второй план, либо и вовсе не имеют
- 14 -
значения. В таких случаях дискретная модель представляет собой естественное отображение системы в том смысле, что дискретные моменты времени определяются изменением ее состояний. Более того, вместо времени (или другой независимой переменной) можно рассматривать последовательность состояний, различающихся каким-либо другим признаком. Типичным представителем дискретных моделей этого типа являются, например, конечные автоматы.
Для представления математических моделей широко используется аппарат теории множеств, матриц и графов. Соответственно различают теоретико-множественные, матричные и топологические модели. В последнее время в качестве математических моделей реальных объектов находят применение различные алгебраические структуры: группы, кольца, поля и т.п.
7. Математические методы. После того как математическая модель построена, дальнейшая работа состоит в применении соответствующих математических методов с целью получения необходимых характеристик данной модели, а значит. И исследуемого реального объекта. Большое разнообразие математических методов можно свести к тем основным видам: аналитическим, графическим и численным.
Получение характеристик модели в аналитической форме желательно во многих отношениях. Преде всего, представляется возможным провести исследование в общем виде, независимо от численных значений параметров системы. Аналитические зависимости позволяют использовать эффективные методы оптимизации и получить соотношения, характеризующие поведение системы при изменении ее параметров. Не менее важно и то, что при подстановке в аналитические выражения численных значений можно контролировать точность вычислений. Однако аналитические методы применимы только для простейших моделей. Так, общее разложение определителя системы шести линейных уравнений содержит сотни членов, а для десяти уравнений число членов определителя может достигать нескольких миллионов, решения алгебраических уравнений выше четвертой степени в общем случае не представимы в радикалах. Из-за громоздкости аналитических выражений или невозможности их получения значение аналитических методов в инженерной практике сильно ограничивается. В то же время аналитическая форма является основной при изложении и развитии математического аппарата в общем виде.
Графические методы обладают наглядностью и успешно используются как для иллюстрации аналитических методов, так и непосредственно в инженерных расчетах. Они особенно удобны, если не требуется высокая точность или если интерес представляет качественная картина происходящих процессов. Например, графические построения на фазовой плоскости позволяют судить
- 15 -
о характере колебаний в системе, ее устойчивости и т.п. Графические методы используются при решении теоретико-множественных уравнений, минимизации логических функций, статистической обработке результатов наблюдений и во многих других случаях. Инженеры привыкли пользоваться графиками нелинейных характеристик компонентов и протекающих в системах процессов, полученных теоретически или экспериментально. К сожалению, графические методы ограничены возможностями построений на плоскости или в трехмерном пространстве, вследствие чего они применимы только для простых моделей. Особое место занимают методы теории графов, но и они теряют наглядность при усложнении модели. В практике инженерных расчетов графические методы часто используются совместно с аналитическими. В таких случаях их называют графоаналитическими методами.
Наиболее общими являются численные методы. Схема вычислений задается формулой или совокупностью правил (алгоритмом), выполнение которых в определенном порядке приводит к требуемому результату. В зависимости от характера вычислительного процесса численные методы подразделяются на прямые и итерационные.
При использовании прямых методов результат получается путем последовательных операций над числами и его точность зависит исключительно от точности промежуточных вычислений. В итерационных метода результат получается путем последовательных приближений, начиная от некоторых начальных значений. Каждое последующее значение (итерация) вычисляется по одной и той же схеме, представляющей собой цикл вычислительного процесса. Необходимым условием работоспособности итерационного метода является сходимость последовательности итераций к искомой величине или совокупности величин, т.е. возможность получения результата с требуемой точностью. Практически требуется также достаточная скорость сходимости итерационного процесса, т.е. достижение требуемой точности таким количеством итераций, которое реализуется в данных конкретных условиях. Часто прямые методы называют точными, а итерационные - приближенными. Однако эти названия не связаны непосредственно с точностью получаемых результатов. Нередко, как раз наоборот, результаты, полученные прямыми методами, уточняются с помощью итерационных процессов.
В настоящее время разработано огромное количество вычислительных процедур, обслуживающих различные задачи исследования математических моделей. К ним относятся, например, численные методы интегрирования и дифференцирования, интерполяции и приближения функций, решения систем различных типов алгебраических и дифференциальных уравнений, оптимизации, исследования
- 16 -
устойчивости и т.д. С развитием вычислительной техники численные методы становятся незаменимым средством проектирования, организации производства и научных исследований.
8. Использование вычислительных машин. Пока вычислительные средства ограничивались арифмометром и логарифмической линейкой, инженер мог использовать в своей работе только сравнительно простой математический аппарат. В современных условиях все большее значение приобретает применение развитого математического аппарата в сочетании с высокопроизводительной вычислительной техникой.
Возрастающая роль математического моделирования в инженерном деле обусловлена характерными особенностями развития техники. Это, прежде всего, усложнение технических проектов, жесткие технико-экономические условия, требования высокого качества и надежности в условиях массового производства, сжатые сроки проектирования и освоения новых изделий. В то же время математическое моделирование опирается на большой парк вычислительных машин, отличающихся принципом действия и уровнем специализации, производительностью и объемом памяти, способами программирования и организацией связей с внешними устройствами.
Области применения двух основных типов машин - аналоговых и цифровых - определяются их характерными особенностями. Аналоговые машины имеют большие преимущества по скорости, а цифровые - по точности выполнения математических операций. Положительные стороны обоих типов машин объединяются в гибридных вычислительных комплексах, включающих цифровые и аналоговые устройства, связанные через цифро-аналоговые преобразователи. Развитию таких комплексов способствуют, по крайней мере, два обстоятельства. Во-первых, повышение точности и компактности аналоговых устройств за счет совершенствования решающих компонентов (в частности, операционных усилителей) на основе интегральной технологии. Во-вторых, снижение эффективности применения цифровых устройств из-за возможного уменьшения точности при очень большом количестве операций.
Моделирование на вычислительных машинах может осуществляться двумя основными способами: в режиме пакетной обработки данных и в режиме оперативного взаимодействия.
В режиме пакетной обработки общение с машиной при решении некоторой задачи сводится к вводу исходных данных и получению требуемых результатов. Каждый раз такое общение происходит по однотипной схеме и оформляется как отдельный заказ. Часто пользователь вообще непосредственно не участвует в вычислительном процессе. Который обслуживается персоналом вычислительного центра.
В режиме оперативного взаимодействия пользователь может вмешиваться в ход решения задачи,редактировать исходные и
- 17 -
промежуточные данные в зависимости от получаемых результатов, уточнять и изменять постановку задачи. На практике такое взаимодействие осуществятся на различных уровнях технического оснащения - от цифропечатающих устройств и графопостроителей до специально организованных пультов, называемых терминалами и дисплеями. Типичный дисплей состоит из электронно-лучевого индикатора, на котором отображается информация в цифровой и графической форме, и клавиатуры для ввода данных (или печатающего устройства, которое также используется для контроля и вывода). Часто дисплей снабжается световым пером, позволяющим осуществлять операции ввода исходных данных и команд
Рис. 1. Математическое моделирование на вычислительной машине в режиме оперативного взаимодействия.
редактирования и управления вычислительным процессом. В последнее время достигнуты существенные успехи в реализации общения пользователя с вычислительной машиной с помощью речевых команд.
Моделирование в режиме оперативного взаимодействия является наиболее привлекательным и перспективным методом использования вычислительных машин, позволяет достигнуть высокой степени автоматизации при проектировании, организации производства и научных исследований. Это, однако, не умаляет значения режима пакетной обработки данных при решении инженерных задач на вычислительных машинах различной сложности - от малых с простейшими методами программирования до больших универсальных с развитым математическим обеспечением.
Многие инженерные задачи могут решаться на машинах с помощью стандартных методов и программ. В таких случаях инженеру достаточно быть осведомленным о возможностях, которые могут быть предоставлены в его распоряжение вычислительным
- 18 -
центром или персоналом, эксплуатирующим и обслуживающим конкретную вычислительную машину. Однако рано или поздно возникнет необходимость написания программ для решения специальных задач и хорошо, если инженер подготовлен к этому. Как минимум, нужно ознакомиться хотя бы с начальными сведениями по программированию, чтобы иметь возможность общаться с программистами и совместно работать с ними. Но лучше всего самому овладеть методами программирования. Обретенная независимость в общении с машиной и большое эмоционально удовлетворение компенсируют с избытком сравнительно набольшую затрату времени и усилий, необходимых для изучения подходящего языка программирования.
В сложном процессе проектирования математическое моделирование сочетается с экспериментами над реальными объектами. Эксперимент служит источником исходных данных и критерием правильности выбранной модели. В то же время само моделирование является как бы экспериментом в чистом виде, в котором представлены наиболее существенные свойства и связи исследуемых объектов.
9. Математическое образование инженера. Значение математического образования в подготовке инженеров за последние десятилетия сильно возросло. Совершенствованием содержания и методики преподавания высшей математики в вузах постоянно занимаются крупнейшие ученые и педагоги. Однако существующее положение вещей оставляет желать много лучшего. "Обучают ли наших студентов всему тому, что им нужно или что им может быть нужно?" - ставит вопрос академик С. Л. Соболев и отвечает: "Этого сказать нельзя. Даже в университетах программы не поспевают за жизнью, но особенно это заметно во втузах."
Складывается необычная ситуация. Благодаря глубокой реформе преподавания математики в средней школе многие школьники теперь изучают такие разделы, о которых инженеры даже не слышали в свои студенческие годы. В школьные программы вводятся важные разделы современной математики - теория множеств, математическая логика и др. А начальное знакомство с некоторыми положениями теории графов в порядке опыта проводится даже в старших группах детских садиков (об этом свидетельствует книга "Дети и графы" супругов Папи, перевод которой вышел в 1974 г. в издательстве "Педагогика").