Труд Галилея "О движении" (De Motu) выполнен в общих традициях Тартальи и Бенедетти. Хотя он намного превосходит их работы, но все же показывает, что даже такой проницательный ум, как Галилей, не мог передать проблему падающих тел и летящих снарядов ясно и просто, во всяком случае, пока она рассматривалась в рамках теории импетуса. Галилей написал элементарный, но исчерпывающий труд. В первых главах изложена природа тяжелого и легкого. Уже здесь он порывает с Аристотелем, отрицая существование легких тел. Легкость относительна. На самом деле все тела более или менее тяжелые. Представляется, что эту идею он вывел, размышляя о плавающих телах. И действительно, многое из этой части механики Галилея взято из гидростатики Архимеда. Вся его теория на этот счет может быть сведена к следующему утверждению: тела падают со скоростью, пропорциональной их плотности (а не их весу, как считал Аристотель), минуя плотность среды. Так что в воздухе, к примеру, тела, сделанные из одинакового материала, имеющего одинаковую плотность, будут падать с одинаковой скоростью, независимо от веса. Если есть два предмета с одинаковым весом, тот, что имеет большую плотность, будет падать быстрее. Если плотность – или плавучесть – среды будет постепенно уменьшаться, падение предметов успокоится постепенно, и в пределе (в вакууме) их скорость станет пропорциональна их плотностям. Так что, несмотря на заверения Аристотеля, движение в вакууме возможно, и предметы из разных материалов будут падать в нем с разной скоростью.
Используя вес как определяющий фактор, Галилей вывел несколько новых необычных идей относительно ускорения свободного падения. Согласно его объяснению, падающее тело должно сначала преодолеть силу, которая поместила его на место, значит, его начальное движение ускоренное. Когда достигнута характерная скорость падения, больше нет ускорения. Его и быть не может, утверждает Галилей, потому что постоянная сила порождает постоянную скорость. Поскольку тяжелым телам приходится преодолевать большую силу, они достигают характерной скорости медленнее, чем легкие. Тем самым Галилей отверг утверждение Аристотеля, что не встречающее сопротивления естественное движение будет бесконечно быстрым, как в вакууме, и открыл путь для дальнейшего рассмотрения скорости падающих тел без сопротивления среды. Одновременно Галилей был вынужден сделать вывод – истинная инерция невозможна, хотя он имел слабое представление о ее практическом существовании. После размышлений о наклонных плоскостях (на основании которых он позже пришел к заключению, что все-таки есть инерционное движение) он отметил, что, если взять идеально гладкое тело и поверхность с отсутствующей силой трения, можно сделать вывод, что тело на плоскости, параллельной линии горизонта, будет двигаться под воздействием очень малой силы, намного меньшей, чем любая данная сила. Это очень близко к концепции инерции. Бенедетти сформулировал концепцию инерции более четко, но только применительно к абстрактным телам, двигающимся через геометрическое пространство.
Как Галилей сумел пройти долгий путь от физики Архимеда, Аристотеля и теории импетуса к совершенно новой динамике, неясно. Между De Motu и "Диалогом о двух главнейших системах" (1632) он очень мало писал о механике. После 1604 года в основном занимался астрономией и много времени уделял полемике. Но все же сохранились некоторые намеки на то, как он шел от одной системе к другой. Он хотел описать закон возникновения ускоренного движения при свободном падении. В письме Паоло Сарпи, датированном октябрем 1604 года, он писал:
"Я искал принцип, совершенно несомненный, который можно было принять за аксиому, чтобы описать следующее: расстояния, пройденные в естественном движении, относятся как квадраты времени, и, следовательно, расстояния, пройденные за равное время, относятся как серии нечетных чисел. А принцип следующий: тело, испытывающее естественное движение, увеличивает свою скорость в той же пропорции, что и расстояние до исходной точки".
И это самое любопытное! То, что доказал Галилей, является всем нам знакомым законом свободного падения, а именно s = /2 at. Но естественный и очевидный принцип, на основании которого он вывел этот закон (мгновенная скорость пропорциональна пройденному расстоянию), совершенно неверен. То, что скорость связана с пройденным расстоянием, естественное предположение. Скорость, как полагали, была пропорциональна расстоянию (Леонардо, Бенедетти и впоследствии Декарт, который так и не сумел исправить эту ошибку). Это практически неизбежный результат попыток описать математически движение падающего тела. Ведь пока математикой считалась в основном геометрия, в первую очередь на ум приходило расстояние, а не время. Только намного позже Галилей пришел к пониманию того, что, хотя постоянная причина должна вызывать постоянное следствие, этим постоянным следствием может быть скорость изменения, а не фиксированная величина; иными словами, может быть неизменное ускорение, а не постоянная скорость. Отсюда в конечном итоге выводится закон инерции. Однако потребовалась более высокая в полном смысле этого слова степень математизации, прежде чем математическая точка зрения могла показаться по-настоящему совместимой с эмпирическим тестом, который Галилей, вероятно, уже проводил в это время, – скатыванием шаров по наклонной плоскости, как описано в "Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки" (Discourses on Two New Sciences, 1638). Тем не менее выводы 1604 года вполне подтвердили его веру в математический подход, хотя должны были еще пройти годы, прежде чем было выполнено математическое обоснование. Ранние труды Галилея показывают одновременно и силу и слабость прикладной математики XVI века в мире физических тел.
Математика, которую использовал прикладной математик того времени, не отличалась особой новизной. На самом деле в начале в его распоряжении не было почти ничего, недоступного в предшествующие века. Простые вычисления с использованием арабских числительных были известны с 1200 года, так же как и алгебраические методы решения простых уравнений, а геометрия, используемая землемерами, судоводителями, художниками и механиками, ушла недалеко от Евклида. Тригонометрические требования навигации и астрономии были математически сложными, и тригонометрия существенно была продвинута вперед именно астрономами и (позднее) чистыми математиками, так же как и методы вычислений. Большинство авторов в этот период писали не только о чистой математике, но и о прикладной науке, так что теория и практика, можно сказать, оказались совместимыми. К началу XVII века теоретическая математика по сложности намного превысила уровень начала XVI века – прогресс стимулировали одновременно практические требования и влияние гуманизма. Для конца XVI века характерно мощное влияние математиков поколения, пришедшего после Евклида; и кроме того, следует помнить, что до 1550 года даже Архимед был более известен своими механическими, а не математическими трудами. Поздние греческие математики оставались практически неизвестными, пока Региомонтан и другие математики-гуманисты не спасли свои труды от забытья и не заставили научный мир обратить внимание на их важность.
Но только во второй половине XVI века математический прогресс удостоился внимания переводчиков. Большой вклад в эту работу внес Федериго Коммандино (1509–1575), математик герцога Урбино, чей двор, проникнутый идеями гуманизма, отверг астрологию, и Коммандино получил возможность посвятить все свое время изучению трудов греческих математиков. Он был неутомимым и очень способным переводчиком, хорошо владевшим и греческим языком, и математикой. Именно ему мир обязан первым достаточно полным текстом математических трудов Архимеда, и сам Коммандино написал достойный труд о центрах тяжести твердых тел с использованием методов Архимеда. Он также выполнил перевод "Конических сечений" Аполлония (1566) – текст был лучше, чем у Региомонтана. Однако лишь в самом конце века математики всерьез начали изучать конические сечения. Коммандино также перевел весьма ценный труд "Математические коллекции" Паппа Александрийского, а также ряд других трудов по теоретической и прикладной математике. Алгебра Диофанта была известна только математикам, таким как Джон Ди, который мог читать по-гречески; в 1575 году она появилась на латыни, предложив алгебраистам новые проблемы.
Геометрия, несомненно, была и самой полезной, и самой продвинутой отраслью математики. Возможно, по этой причине ей уделялось сравнительно меньше внимания, чем другим отраслям. Большое значение придавалось постижению трудов древних, и только самые прогрессивные математики могли надеяться, что им удастся развить новые формы. Много времени уделялось Архимедову геометрическому анализу твердых и плоских поверхностей – этой работе предстояло доказать свою целесообразность только в следующем веке. Франческо Мавролико (1494–1575), считавшийся одним из лучших геометров XVI века и авторитетом в области геометрической оптики, написал труд о конических сечениях, рассматривая их, в отличие от Аполлония, как действительно плоские сечения конуса. Не утрачивался интерес и к платоновым правильным многогранникам, и к асимметричным телам – впервые ими заинтересовался обозначил Лука Пачоли (ум. в 1510 г.) в "Божественной пропорции" (Divine Proportion, 1509). Астроном Кеплер в 1615 году опубликовал труд по стереометрии винных бочек: стараясь установить правильный метод определения объема содержимого винного бочонка, он коснулся определения площадей и объемов методом бесконечно малых величин, а не более привычным методом перебора. Он также исследовал разные тела, получающиеся вращением конического сечения вокруг оси, лежащей в его плоскости. В результате получил девяносто два разных тела. Кеплер, как и Мавролико, внес существенный вклад в развитие математической оптики. В действительности самые важные геометрические труды XVI века касались применения геометрии в оптике, астрономии и механике.
В XV и XVI веках люди в основном занимались тем, что сегодня мы бы назвали элементарной математикой, – вычислениями с помощью индо-арабских цифр, а также решением квадратных и кубических уравнений. Эти два типа математики обычно объединялись под общим термином – арифметика, который к этому времени утратил свое исконное греческое значение (теория чисел) и начал вытеснять средневековый термин – алгоритм. (Алгоритм – вычисление с помощью арабских цифр – искажение имени исламского математика IX в. аль-Хорезми; слово алгебра – искажение названия трактата, в котором он описал искусство решения задач арифметическими, а не геометрическими методами.)
Использование арабских цифр было известно специалистам уже несколько веков; трактат аль-Хорезми по этому вопросу был одним из первых арабских текстов, переведенных в XII веке. А трактат XIII века Леонардо Пизанского (его название "Книга абаки" вводит в заблуждение; на самом деле он сделал абаку [счеты] ненужной) был ясным, кратким и очень полезным изложением главных используемых методов. Но арабские цифры медленно вытесняли счеты. И это было вовсе не так странно, как может показаться. Даже в XVI веке правила простой арифметики казались людям очень сложными для понимания, а письменное деление столбиком действительно занимало очень долгое время. В то же время быстрые и несложные методы более простых арифметических операций были востребованы, особенно в торговых городах Италии и Германии. Чтобы удовлетворить спрос, в конце XV века появилось немало трактатов на эту тему на местных языках. В них рассматривались самые разные вопросы от нумерации до двойной бухгалтерии, от простого сложения до решения квадратных уравнений, от умножения до извлечения корней. Самый полный и подробный трактат XV века – "Сумма", написанный Лукой Пачоли в 1487 году (был опубликован только в 1494 г.), – включал арифметику, алгебру и (кратко) практическую геометрию, став полезным учебником математики.
И в арифметических, и в алгебраических операциях были необходимы некоторые сокращения, да и вообще книгопечатание без сокращений являлось неслыханной идеей в XV веке, все еще находящемся под влиянием стиля манускрипта. Первыми арифметическими знаками стали сокращенные формы слов plus и minus. Современные значки, которые мы используем для обозначения этих операций, впервые появились как торговые символы, обозначающие перевес или недовес тюков или ящиков с товарами. Большинство алгебраических символов XVI века также были не столько символами, сколько сокращенными формами слов. Отдельные термины использовались для степеней, чтобы избежать написания целого словесного выражения. Преимущества символизма становились очевидными медленно. (Даже в конце XVII в. математики писали то аа, то а.) Все мы хорошо знакомы с системой арифметического и алгебраического символизма, которая считается стандартной уже больше двух веков, и потому мы склонны предполагать, что каждый символ имеет присущие ему достоинства, и считать раннее принятие любого из них достижением. События XVI века показывают, что это заблуждение, и большинство современных символов обязаны своим появлением одной лишь удаче. Пока математики медленно и с трудом переходили от алгебры сокращений (часто ее называют синкопированной алгеброй) к алгебре символов, многие полезные знаки были утрачены.
Каждый автор создавал свой собственный символизм, опираясь на предшественников, писавших на его языке, – так что мало-помалу появились национальные школы алгебраических условных знаков. Правда и то, что нет ни одного автора XVI века, трудившегося в этой области, который не изобрел хотя бы одного символа, который до сих пор используется. Так, например, Роберт Рекорд, учитель, а не математик, первым применил современный знак равенства, хотя его использовали и раньше как нематематический коммерческий символ. В работе 1557 года он объяснил, что, по его мнению, ничто не может быть более равным, чем две одинаковые параллельные прямые. Трудно найти пример, лучше иллюстрирующий сложность оценки вклада в символизм, чем работа Симона Стевина о десятичных дробях. Его небольшой труд по этому вопросу был опубликован в 1585 году на голландском языке под названием "Десятая часть" (De Thiende) и имел большое влияние на популяризацию десятичных долей для упрощения арифметических расчетов, но его нотация оказалась сумбурной, нескладной и впоследствии была заменена. Первое предложение о необходимости использования общих правил выдвинул Франсуа Виет (1540–1603). Он предложил использовать гласные для неизвестных количеств и согласные для известных или постоянных количеств. Этот принцип был в конце концов принят (в несколько другой форме), когда Декарт начал ставить буквы в конце алфавита (в первую очередь х) для обозначения неизвестных, а буквы в начале алфавита – для обозначения констант. Это правило быстро вошло в практику XVII века.
Более важным, чем развитие символизма, было открытие общих методов действий с алгебраическими степенями и сложными уравнениями. Греки решали квадратные уравнения геометрически. Исламские математики пошли по их стопам и нашли решения некоторых форм кубических уравнений. Но многие из них впоследствии не нашли решения математическими методами XVI века: немногие квадратные уравнения могли решаться алгебраическими методами, в отличие от геометрических. Пачоли сформулировал простые общие правила для таких уравнений, как х+ х = а, но для более сложных случаев использовал громоздкие геометрические решения. Цель заключалась в нахождении простых методов, которыми любой может научиться пользоваться, – вот только поиск этих простых методов оказался сложным. Сегодня мало кто сочтет сложной задачу: "Найдите число, которое, умноженное на свой корень плюс 3, составит 21". То есть найти х, если х + 3х = 21. Даже если мы не помним, как ее решить, мы точно знаем, что для этого есть метод. А Кардан, гордившийся своими алгебраическими знаниями, не сумел этого сделать, когда Тарталья предложил ему в 1539 году, среди прочих задач, решить эту. Тогда Тарталья подумал, что Кардан хочет заставить его разгласить свой метод решения простых кубических уравнений.