Седьмая глава
В Зазеркалье
Несмотря на то что многообразия Калаби-Яу произвели в физике подлинный взрыв, этот взрыв чуть было не обратился во всхлип, причем по причинам, совершенно не связанным с затруднениями, вызванными избыточной плодовитостью теории струн в виде множества теорий, которые впоследствии были объединены Эдвардом Виттеном. Привлекательность этих геометрических форм была очевидной. Ронен Плессер из Университета Дьюка так описал планы по работе над ними: "Мы надеялись, что сможем классифицировать эти пространства, определимся с типом физики, который они порождают, исключим некоторые из них из рассмотрения - и на основании этого сделаем вывод, что нашу Вселенную можно описать, например, пространством номер 476, и получим из этого все, что бы мы хотели узнать".
На сегодняшний день этот простой план все еще находится на стадии реализации. Прогресс застопорился еще двадцать лет назад; тогда же иссяк энтузиазм ученых, и поползли неизбежные сомнения. В конце 1980-х годов многие физики считали, что попытка использования многообразий Калаби-Яу в физике потерпела поражение. Например, физик Пол Эспинволл, на данный момент работающий в Университете Дьюка, вскоре после защиты диссертации в Оксфорде обнаружил, что найти работу и получить гранты для исследования многообразий Калаби-Яу и теории струн стало весьма непросто. Разочаровавшиеся в теории студенты, в том числе и два бывших однокурсника и соавтора Брайана Грина из Оксфордского университета, начали покидать физику ради того, чтобы стать финансистами. Те, кто остался, подобно Грину, были вынуждены отбиваться от обвинений в желании "заниматься вычислениями ради вычислений - математикой под видом физики".
Возможно, это и правда. Но, учитывая, что Грин и Плессер вскорости внесли важнейший вклад в область зеркальной симметрии, который дал вторую жизнь сонному царству многообразий Калаби-Яу и восстановил в правах подзабытую на то время область геометрии, я должен выразить им свою огромную признательность за то, что они предпочли продолжение исследований торговле ценными бумагами. Однако перед тем, как наступил этот подъем, доверие к многообразиям упало до такого минимума, что, по крайней мере, некоторое время казалось, будто их история закончилась.
Первые тревожные признаки появились, когда теория струн в своем развитии натолкнулась на понятие конформной инвариантности. Струна, движущаяся через пространство-время, заметает поверхность с двумя вещественными измерениями (одним пространственным и одним временным) и одним комплексным - так называемый мировой лист. Если струна имеет форму петли, то мировой лист представляет собой вытянутую многомерную трубку, или, точнее, комплексную риманову поверхность без границы; в случае же незамкнутой струны в роли мирового листа будет выступать бесконечная лента - комплексная риманова поверхность, имеющая границу. В струнной теории мы исследуем все возможные колебания струн, которые определяются физическим принципом - принципом наименьшего действия, зависящим от конформной структуры мирового листа - внутреннего свойства римановых поверхностей. Таким образом, конформная инвариантность изначально встроена в теорию струн. Кроме того, теория струн обладает масштабной инвариантностью, а это означает, что умножение расстояний на произвольную постоянную не изменяет отношений между точками. Итак, можно изменять поверхность - накачивать ее воздухом подобно воздушному шару или сжимать ее, выпуская накачанный воздух, растягивать ее любыми другими путями, меняя форму или расстояние между точками, - не затрагивая при этом чего-либо существенного с точки зрения теории струн.
Проблемы возникают, когда требование конформной инвариантности выдвигается в рамках квантовых представлений. Подобно тому как классическая частица движется по геодезической линии - траектории, соответствующей минимальному четырехмерному пространственно-временному расстоянию между двумя точками, как предсказывает принцип наименьшего действия, о котором шла речь в третьей главе, классическая струна также движется по траектории, длина которой минимальна. В результате этого мировой лист, образованный движущейся струной, представляет собой минимальную поверхность особого типа. Поверхность такого двухмерного мирового листа можно описать при помощи системы уравнений - двухмерной теории поля, которая точно предсказывает возможные пути перемещения струны. В теории поля все силы описываются при помощи полей, пронизывающих пространство-время. Движение струны и ее поведение в целом определяется силами, которые на нее действуют, и струна перемещается таким образом, чтобы поверхность соответствующего мирового листа была минимальной. Среди огромного количества возможных мировых листов, соответствующих множеству возможных путей перемещения струны, теория поля отбирает именно тот, площадь которого минимальна.
Квантовая интерпретация данной теории поля учитывает не только наиболее существенные особенности движения струны в пространстве-времени и поверхности, заметаемой данной струной, но также и некоторые более мелкие детали, обусловленные колебаниями струны в процессе движения. В результате мировой лист будет иметь небольшие особенности, отражающие эти колебания. В квантовой механике частица или струна, движущаяся в пространстве-времени, движется одновременно по всем возможным траекториям. Вместо того чтобы просто выбрать один мировой лист, обладающий минимальной поверхностью, квантовая теория поля рассматривает средневзвешенное значение всех возможных конфигураций мирового листа, и большое значение в ее уравнениях отведено поверхности с меньшей площадью.
Вопрос состоит в том, будет ли теория двухмерного квантового поля после усреднения, проведенного путем интегрирования по всем возможным геометриям мирового листа, по-прежнему удовлетворять условию масштабной инвариантности и другим аспектам конформности? Ответ на этот вопрос зависит от метрики пространства, в котором находится мировой лист; для одних метрик теория поля является конформной, для других - нет.
Для того чтобы определить, поддерживается или нет масштабная инвариантость конкретной метрикой, рассчитывается так называемая бета-функция, определяющая отклонение теории от конформности. Если значение бета-функции равно нулю, то при деформации мирового листа - раздувании, растяжении или сжатии - ничего не изменяется, что говорит о конформности теории. Бета-функция автоматически обращается в нуль в случае риччи-плоской метрики подобной той, которой обладают пространства Калаби-Яу. К сожалению, как и в случае многих обсуждавшихся ранее сложных уравнений, решение уравнения для бета-функции в явном виде найти невозможно. Вместо этого было найдено приближенное решение путем аппроксимации искомой функции суммой бесконечного числа слагаемых - так называемым степенным рядом. Считается, что чем больше членов ряда задействовано в аппроксимации, тем она лучше.
Чтобы лучше понять, как это работает, представьте, что вы хотите измерить площадь поверхности сферы, заворачивая ее в проволочную сетку. Если проволока состоит только из одной петли, то, натянув ее на сферу, вы едва ли получите хорошую оценку для площади. Однако если взять не одну, а четыре треугольные петли, соединенные в форме тетраэдра, охватывающего сферу, аппроксимация будет гораздо лучше. Увеличение числа петель до двенадцати - в форме пятиугольников, соединенных в додекаэдр, или до двадцати - в форме треугольников, соединенных в икосаэдр, даст еще более точные оценки. Как и в нашем примере, слагаемые степенного ряда бета-функции также носят название петель. Взяв только первое слагаемое ряда, вы получите однопетлевую бета-функцию, взяв первые два - двухпетлевую и т. д.
Добавление новых петель к проволочной сетке приводит к следующей проблеме: расчеты бета-функции, которые и без того чрезвычайно сложны, при возрастании числа петель становятся еще сложнее, и объем вычислений многократно возрастает. Расчеты показали, что первые три слагаемых степенного ряда, как и было предсказано ранее, равны нулю - что весьма обнадежило физиков. Однако в статье 1986 года Маркус Грисару, физик, в настоящее время работающий в Университете Макгилла, и двое его коллег, Антон ван де Вен и Даниэла Занон, обнаружили, что четырехпетлевая бета-функция в нуль не обращается. Последовавший за этим расчет, выполненный Грисару и его коллегами, показал, что пятипетлевая бета-функция тоже не равна нулю. Это открытие стало заметным ударом по позициям, занимаемым в физике многообразиями Калаби-Яу, поскольку из него следовало, что метрика данных многообразий не приводит к сохранению конформной инвариантности.
"У меня, как у сторонника теории струн и суперсимметрии, наши результаты вызвали некоторое беспокойство, - говорит Грисару. - Мы, конечно, были счастливы, что эти результаты в некоторой степени прославили нас, но слава разрушителя прекрасного здания - это далеко не то, чего можно желать каждому. Впрочем, мое мнение о науке заключается в том, что нужно смириться с теми результатами, которые ты получил".
Однако не все еще было потеряно. В статье, выпущенной в 1986 году Дэвидом Гроссом и Виттеном, работавшими тогда в Принстоне, было показано, что, несмотря на то что для риччи-плоской метрики многообразий Калаби-Яу конформная инвариантность действительно не соблюдается, эту метрику можно слегка изменить так, чтобы бета-функция, как и требовалось, обратилась в нуль. Подобная "настройка" метрики проводится не за один, а за бесконечное число корректировок, или квантовых поправок. Но в подобных случаях, когда поправки представляют собой бесконечный ряд, неминуемо возникает вопрос: сойдется ли этот ряд в конце концов к искомому решению? "Может ли выйти так, что, сведя воедино все поправки, никакого решения вы не получите?" - задается вопросом Плессер.
В лучшем случае небольшое изменение метрики приведет к незначительному изменению решения. К примеру, нам известно, как решать уравнение 2x=0, его ответом является x=0. "Если теперь я захочу решить уравнение 2x=-0,1, то обнаружу, что ответ изменился весьма несущественно (x=-0,05), - что является для меня оптимальным вариантом", - поясняет Плессер. Уравнение x=0 также не вызывает особых затруднений (вновь x=0). "Но если я попытаюсь решить уравнение x=-0,1, то обнаружу, что оно попросту не имеет решения, по крайней мере, в действительных числах, - говорит он. - Итак, вы видите, что небольшое изменение параметров может привести как к тому, что решение лишь немного изменится, так и к тому, что оно вообще исчезнет [например, для вещественных чисел]".
Как было установлено Гроссом и Виттеном, для исправленного многообразия Калаби-Яу последовательный ряд поправок сходится. Они показали, что, если почленно исправлять метрику Калаби-Яу, в результате возникнет сложнейшее уравнение, которое тем не менее можно решить. При этом все петли бета-функции устремятся к нулю.
После этого, по словам Шамита Качру из Стэнфорда, "вопрос о том, чтобы полностью отбросить многообразия Калаби-Яу, уже не стоял; теперь достаточно было только слегка их модифицировать. И, поскольку изначально не существовало возможности записать метрику Калаби-Яу, необходимость ее небольшого преобразования не стала чем-то особо удручающим".
Дальнейшее развитие идей о способах преобразования метрики Калаби-Яу основано на появившейся в том же году работе Денниса Немесчанского и Ашока Сена, в то время работавших в Стэнфорде. Полученное в результате исправления многообразие топологически оставалось многообразием Калаби-Яу, а его метрика - почти риччи-плоской, хотя и не совсем. Немесчанский и Сен вывели точную формулу, показывающую степень отклонения модифицированной метрики от риччи-плоского случая. Их работа, совместно с работой Гросса и Виттена, "помогла сохранить многообразия Калаби-Яу для физики, поскольку без них пришлось бы прекратить исследования в целой области", - утверждает Сен. Более того, по словам Сена, без первого допущения о том, что многообразия Калаби-Яу, фигурирующие в теории струн, являются риччи-плоскими, добраться до окончательного решения было бы невозможно. "Если бы мы начали с метрики, не являющейся риччи-плоской, сложно даже представить, при помощи каких методик мы получили бы исправленный вариант".
Я полностью согласен с Сеном, хотя и не считаю, что допущение о риччи-плоской метрике многообразий Калаби-Яу после этого стало бесполезным. Можно рассматривать многообразие Калаби-Яу с риччи-плоской метрикой как решение уравнения x=2. При этом уравнение, которое нужно решить, - это x=2,0000000001, поскольку, как уже было сказано, искомое многообразие является почти, но не точно риччи-плоским. Для того чтобы получить модифицированную метрику, существует только один способ - начать с решения уравнения x=2 и уже от него двигаться в требуемом направлении. При этом в большинстве случаев решение уравнения x=2 служит весьма хорошим приближением. Кроме того, риччи-плоская метрика, как правило, является простейшей для использования и охватывает подавляющее большинство явлений, интересующих ученых.
Следующие существенные шаги в вопросе восстановления в правах многообразий Калаби-Яу были сделаны Дороном Гепнером, в то время постдоком в Принстоне, на протяжении нескольких лет, начиная с 1986 года. Гепнер разработал несколько конформных теорий поля, каждая из которых в рамках соответствующих физических понятий обладала потрясающим сходством с описаниями отдельных многообразий Калаби-Яу определенного размера и формы. Изначально Гепнер обнаружил, что физика, относящаяся к его теории поля, - включая определенные симметрии, поля и частицы, - имеет тот же вид, что и физика струны, движущейся в определенном многообразии Калаби-Яу. Это привлекло его внимание, поскольку связь между двумя столь, казалось бы, несвязанными вещами, как конформная теория поля и многообразия Калаби-Яу, казалась поистине сверхъестественной.
Одним из тех, кто проявил чрезвычайный интерес к этой новости, стал Брайан Грин - в то время мой гарвардский постдок, специалист в области математических обоснований многообразий Калаби-Яу, закончивший докторскую диссертацию по этому предмету и, кроме того, имевший солидную подготовку в области конформной теории поля. Он тут же связался с учеными с физического факультета, также работавшими в области конформных теорий, в том числе с двумя аспирантами - Роненом Плессером и Жаком Дистлером. Дистлер и Грин начали совместное исследование корреляционных функций, связанныхс конформной теорией поля и соответствующим многообразием Калаби-Яу. Корреляционные функции в этом случае включали в себя так называемые "взаимодействия Юкавы", определяющие взаимодействия частиц между собой, в том числе и такие взаимодействия, которые наделяли частицу массой. В статье, представленной весной 1988 года, Дистлер и Грин объявили, что корреляционные функции - или взаимодействия Юкавы - для конформной теории поля и соответствующих многообразий Калаби-Яу численно совпадают, что стало еще одним подтверждением их тесной взаимосвязи, если не сказать больше. Гепнер пришел к аналогичному выводу относительно совпадения величин взаимодействий Юкавы в статье, поданной в печать вскоре после этого.
В частности, Дистлер, Грин и независимо от них Гепнер обнаружили, что для многообразий определенного размера и формы можно рассчитать все корреляционные функции, представляющие собой набор математических выражений, которые, будучи сведены воедино, полностью характеризуют конформную теорию поля. Иными словами, результатом стала возможность представить связь между конформной теорией поля и многообразиями Калаби-Яу в строгих и исчерпывающих понятиях, путем определения как типа конформной теории поля со всеми корреляционными функциями, так и точного размера и формы соответствующего многообразия Калаби-Яу. Таким образом, ограниченному классу многообразий Калаби-Яу, известных на сегодняшний день, стало возможным сопоставить соответствующую модель Гепнера.
Эта связь, нашедшая надежное подтверждение в конце 1980-х годов, помогла опровергнуть мнение относительно бесполезности многообразий Калаби-Яу. Как сказал Качру, "можно не сомневаться в существовании предложенных им [Гепнером] конформных теорий поля, поскольку они являются полностью разрешимыми, в том числе и в численном виде. И если истинность этих теорий не вызывает сомнений, а их свойства аналогичны свойствам компактификаций Калаби-Яу, то в достоверности этих компактификаций также можно не сомневаться".
"Статья Гепнера позволила сохранить многообразия Калаби-Яу, - утверждает Эспинволл, - по крайней мере, для физики и теории струн". Более того, связь между моделью Гепнера и отдельными компактификациями Калаби-Яу помогла заложить основу для открытия зеркальной симметрии, что стало достаточным для исключения всех сомнений в том, заслуживают ли многообразия Калаби-Яу дальнейшего исследования.