183. Дележ яблок. Пока Крэкхэмы заправляли свой автомобиль в одной живописной деревушке, 8 детей, направлявшихся в школу, остановились и стали наблюдать за ними. В корзине у детей было 32 яблока, которые они собирались продать. Тетушка Гертруда по доброте душевной купила все яблоки и сказала, что дети могут разделить их между собой.
Дора спросила у каждого, как его зовут, и вечером того же дня сказала (правда, кое-что усложнив): "Энн получила 1 яблоко, Мэри 2, Джейн 3 и Кэт 4. Нед Смит получил столько же яблок, сколько и его сестра, Том Браун получил яблок в 2 раза больше своей сестры, Бил Джонс - в 3 раза больше своей сестры и Джек Робинсон - в 4 раза больше своей сестры".
Ну-ка, кто из вас сумеет назвать фамилию каждой девочки?
184. Покупая резинку. Вот головоломка, которая по виду весьма напоминает некоторые старые головоломки, но требует совершенно иного подхода. Автор ее не известен.
Четыре матери (каждая со своей дочерью) пошли в магазин купить резинку. Каждая мать купила в 2 раза больше метров резинки, чем ее дочь, и каждая из них купила столько метров, сколько центов она платила за метр. Миссис Джонс истратила на 76 центов больше, чем миссис Уайт; Нора купила на 3 метра меньше резинки, чем миссис Браун; Глэдис купила на 2 метра больше резинки, чем Хильда, которая истратила на 48 центов меньше, чем миссис Смит.
Как зовут мать Мэри?
185. Квадраты и треугольные числа. Какое третье по величине число (наименьшее число считается первым) является одновременно и треугольным числом, и квадратом? Разумеется, первые два числа, обладающие указанным свойством, - это 1 и 36. Чему равно следующее число?
186. Точные квадраты. Найдите четыре числа, сумма каждой пары которых и сумма которых представляли бы собой точные квадраты.
187. Элементарная арифметика. Вот один вопрос, похожий на те, что были так популярны в Венеции (да и не только в ней) в середине XVI в. Своим появлением они во многом были обязаны Николе Фонтана, больше известному под именем Тарталья (заика).
Если бы четверть от двадцати равнялась четырем, то чему равнялась бы треть от десяти?
188. Перестановка цифр. Если мы хотим умножить 571 428 на 5 и разделить на 4, то для этого нам нужно лишь переставить 5 из начала в конец: число 714 285 дает верный ответ.
Не сумели бы вы найти число, которое можно было бы умножить на 4 и разделить затем на 5 столь же просто: переставив первую цифру в конец?
Разумеется, если бы разрешалось переставлять цифру из конца в начало, то 714 285 подошло бы и на этот раз. Однако цифру следует переставлять именно из начала в конец.
189. Странное сложение. Однажды во время завтрака полковник Крэкхэм попросил юных членов своей семьи написать 5 нечетных цифр, которые в сумме давали бы 14. Сделать это смог лишь один из них.
190. Шесть простых вопросов.
1) Вычтите четыре тысячи одиннадцать сотен с половиной из двенадцати тысяч двенадцати сотен двенадцати.
2) Добавьте 3 к 182 так, чтобы результат получился меньше 20.
3) Какие 2 числа в произведении дают 7?
4) Какие 3 цифры при умножении на 5 дают 6?
5) Если бы четырежды пять равнялось 33, то чему равнялась бы четверть от 20?
6) Найдите дробь, у которой числитель был бы меньше знаменателя и это свойство сохранялось бы при перевертывании дроби.
191. Три пастуха. Когда Крэкхэмы подъезжали к одному большому городу, им пришлось остановиться, потому что по дороге двигалось стадо овец, за ним - стадо быков, а следом пастухи гнали табун лошадей. Крэкхэмы поняли, что в городе сегодня базарный день. Джордж, воспользовавшись случаем, придумал следующую головоломку.
Три пастуха, гнавших свои стада, встретились на большой дороге. Джек и говорит. Джиму:
- Если я дам тебе 6 свиней за одну лошадь, то в твоем стаде будет вдвое больше голов, чем в моем.
А Дан заметил Джеку:
- Если я дам тебе 14 овец за одну лошадь, то у тебя в стаде будет втрое больше голов, чем у меня.
Джим в свою очередь сказал Дану:
- А если я дам тебе 4 коровы за лошадь, то твое стадо станет в 6 раз больше моего.
Сделки не состоялись, но не могли бы вы все же сказать, сколько голов скота было в трех стадах?
192. Пропорциональное представительство. Когда Крэкхэмы остановились в Манглтоне- на-Блисе, то застали жителей этого городка взбудораженными в связи с местными выборами. Выборы проходили по принципу пропорционального представительства. Каждому избирателю давался бюллетень с 10 именами кандидатов. Избиратель должен был поставить N 1 против кандидата, за которого отдавал свой первый голос, N 2 против того, за которого он отдавал второй голос, и т. д. до десятого включительно.
Избиратели должны были ставить "галочку" против N 1, против других номеров "галочки" можно было ставить или нет по желанию. Джордж предложил остальным членам семьи узнать, сколькими различными способами может избиратель расставить "галочки" в своем бюллетене.
193. Вопрос относительно кубов. Профессор Рэкбрейн однажды утром заметил, что кубы последовательных чисел, начиная с 1, могут в сумме давать полный квадрат. Так, сумма кубов 1, 2, 3 (то есть 1 + 8 + 27) равна 36, или 6. Профессор утверждал, что если брать последовательные числа, начиная не с 1, то наименьшими числами, сумма кубов которых равна квадрату некоторого числа, будут 23, 24 и 25 (23 + 24 + 25 = 204). Профессор Рэкбрейн предложил найти два наименьших набора последовательных чисел, начинающихся не с 1 и состоящих более чем из трех чисел, сумма кубов которых также равна квадрату некоторого натурального числа.
194. Два куба. "Не могли бы вы найти, - спросил профессор Рэкбрейн, - два последовательных куба, разность между которыми была бы полным квадратом? Например, 3 = 27, а 2 = 8, но их разность (19) не является полным квадратом".
Каково наименьшее возможное решение?
195. Разность кубов. Число 1 234 567 можно представить в виде разности квадратов, стоит только выписать два числа, 617 284 и 617 283 (половина данного числа плюс ½ и минус ½ соответственно), и взять разность их квадратов. Найти же два куба, разность которых равнялась бы 1 234 567, несколько труднее.
196. Составные квадраты. Можете ли вы найти два трехзначных квадрата (без нулей), которые, будучи выписанными подряд, образуют шестизначное число, в свою очередь представляющее собой квадрат? Например, из 324 и 900 (18 и 30) получается 324 900 (570), но число 900 содержит два нуля, что запрещено условием.
Задача имеет лишь одно решение.
197. Квадраты в арифметической прогрессии. Как-то утром профессор Рэкбрейн предложил своим молодым друзьям найти три целых числа, образующих арифметическую прогрессию, при этом сумма любых двух из этих трех чисел должна представлять собой квадрат.
198. Дополнение до квадрата. "Какое число, - спросил полковник Крэкхэм, - обладает тем свойством, что если его прибавить к числам 100 и 164 в отдельности, то каждый раз получатся точные квадраты?"
199. Каре. "Один офицер построил своих солдат в каре, - сказала Дора Крэкхэм, - при этом 30 человек у него оказались лишними. Тогда он решил увеличить сторону квадрата на одного человека, но в этом случае ему 50 человек не хватило.
Сколько солдат было у офицера?"
200. Квадраты и кубы. Найдите два различных числа, сумма квадратов которых была бы кубом, а сумма кубов - квадратом.
201. Молоко и сливки. Профессор Рэкбрейн, отведав за завтраком сливок, задал следующий вопрос:
- Честный молочник обнаружил, что в молоке, которое дает его корова, содержится 5% сливок и 95% снятого молока.
Сколько снятого молока он должен добавить в каждый литр цельного молока, чтобы снизить содержание сливок до 4%?
202. Орехи для обезьян. Один человек принес к вольере с обезьянами мешок орехов. Оказалось, что если бы он поделил эти орехи поровну между 11 обезьянами в первой клетке, то остался бы лишний орех, если бы он поделил их между 13 обезьянами во второй клетке, то осталось бы 8 орехов и, наконец, если бы он поделил их между 17 обезьянами в последней клетке, то осталось бы 3 ореха.
Выяснилось также, что если бы он поделил орехи поровну между 41 обезьяной во всех трех клетках или между обезьянами в любых двух клетках, то в любом из этих случаев оставался бы излишек орехов.
Какое наименьшее число орехов могло быть в мешке?
203. Дележ яблок. Однажды утром Дора Крэкхэм спросила у брата:
- Если у трех мальчиков есть 169 яблок, которые они должны разделить между собой в отношении 1 : 2, 1 : 3 и 1 : 4, то сколько яблок достанется каждому из них?
204. Колка дров. Однажды за завтраком полковник Крэкхэм сказал, что двое знакомых ему рабочих могут за день напилить 5 кубометров дров. Наколоть же пиленых дров они могут за день 8 кубометров. Полковнику хотелось бы знать, сколько кубометров дров нужно напилить рабочим, чтобы за остаток дня успеть их наколоть.
205. Пакеты с орехами. Джордж Крэкхэм положил за завтраком на стол 5 бумажных пакетов. Когда его спросили, что в них такое, он ответил:
- Я положил в эти пять пакетов сто орехов. В первом и втором пакетах 52 ореха, во втором и третьем - 43, в третьем и четвертом - 34; в четвертом и пятом - 30. Сколько орехов в каждом пакете?
206. Распределение орехов. Тетушка Марта купила орехов. Томми она дала один орех и четверть оставшихся, и Бесси получила один орех и четверть оставшихся, Боб тоже получил один орех и четверть оставшихся, и, наконец, Джесси получила один орех и четверть оставшихся. Оказалось, что мальчики получили на 100 орехов больше, чем девочки.
Сколько орехов тетушка Марта оставила себе?
207. Юные разбойники. Три юных "разбойника с большой дороги", возвращаясь из кино, встретили торговку с яблоками. Том схватил половину всех яблок, но 10 бросил обратно в корзину. Бен взял треть оставшихся, но вернул назад 2 яблока, которые ему не понравились. Джим взял половину оставшихся яблок, но кинул назад одно червивое. У торговки в корзине осталось только 12 яблок.
Сколько яблок было у торговки до налета?
208. Бисквиты. Один торговец упаковал свои бисквиты (все одинакового качества) в коробки по 16, 17, 23, 39 и 40 фунтов соответственно и не желал продавать их иначе, как целыми коробками. Покупатель попросил его отпустить 100 фунтов бисквитов.
Не могли бы вы выполнить этот заказ? Если нет, то насколько близко сможете вы подобраться к цифре 100? Разумеется, у торговца достаточно коробок каждого веса.
209. Трое рабочих.
- Мы с Билом, - сказал Кейзи, - можем выполнить для вас эту работу за 10 дней, а если вместо Била будет Алек, то мы справимся и за 9 дней.
- А еще лучше, - сказал Алек, - дайте мне в помощь Била, и мы сделаем вашу работу за 8 дней.
Сколько времени потребуется каждому рабочему для того, чтобы выполнить эту работу в одиночку?
210. Работая в одиночку. Альфред и Бил вместе могут выполнить некоторую работу за 24 дня. Если Альфред может сделать только ⅔ того, что делает Бил, то за сколько дней каждый из них выполнит ту же работу в одиночку?
211. "Бумеранг". Я называю "бумерангом" один из самых древних видов арифметических головоломок. Кого-нибудь просят загадать число и после ряда вычислений сказать результат. Услышав результат, тот, кто задавал вопрос, немедленно сообщает задуманное число. Существуют согни различных вариантов этой головоломки.
Самый старый из зафиксированных письменно примеров этой головоломки встречается, по-видимому, в "Арифметике" Никомаха, который умер около 120 г. Он просит вас задумать любое целое число от 1 до 100 и затем разделить его последовательно на 3, 5 и 7, сообщая каждый раз остаток. Получив эти сведения, он немедленно отгадывает задуманное вами число.
Не смог бы читатель придумать простой способ, позволяющий в уме совершить этот подвиг? Если нет, то, может быть, ему будет интересно узнать, как это делал древний математик.
212. Пчелы Лонгфелло. Когда Лонгфелло был профессором новых языков в Гарвардском колледже, он часто развлекался, задавая своим студентам более или менее простые арифметические головоломки. Вот одна из них.
Если ⅕ пчелиного роя полетела на цветы ладамбы, ⅓ - на цветы слэндбары, утроенная разность между этими числами полетела на дерево, а одна пчела продолжала летать между ароматными кетаки и малати, то сколько всего было пчел?
213. Лилавати. Вот небольшая задачка, заимствованная из "Лилавати" (1150 г.) Бхаскары.
"Прекрасная дева с лучистым взором назвала мне число. Если это число умножить на 3, прибавить ¾ произведения, разделить на 7, уменьшить на уз частного, умножить на себя, уменьшить на 52, извлечь квадратный корень, прибавить 8, разделить на 10, то получится 2".
При правильном подходе решить эту задачу, как и многие другие старинные головоломки, невероятно легко.
214. Задача печатника. Некий печатник получил годовой заказ на 10 000 афиш в месяц. Разумеется, в январе на афише должно было стоять слово "ЯНВАРЬ", а в феврале - "ФЕВРАЛЬ" и т. д. Таким образом, необходимо было напечатать 10 000 афиш с надписью "ЯНВАРЬ", 10 000 афиш с надписью "ФЕВРАЛЬ", 10 000 афиш с надписью "МАРТ" и т. д. Литеры, которыми набирались названия месяцев, отливались по особому заказу и стоили дорого, поэтому печатнику хотелось купить их как можно меньше, чтобы часть литер, использованных при наборе одного месяца, можно было бы использовать и при наборе других месяцев, а запаса хватило бы на все месяцы года.
Сколько различных литер он должен купить? Разумеется, все слова печатаются прописными буквами, как и показано выше.
215. Пчелиный рой. Вот пример изящной формы, в которую уже упоминавшийся выше Бхаскара облек небольшую головоломку.
"Квадратный корень из половины общего количества пчел в рое вылетел на куст жасмина; 
всего роя осталось на месте; одна пчелка летает вокруг своего возлюбленного, жужжащего внутри лотоса, куда он залетел ночью, привлеченный ароматом этого цветка, который ныне стал его темницей. Скажи мне число пчел в рое".
216. Слепота у летучих мышей. Один натуралист, пытаясь мистифицировать полковника Крэкхэма, сообщил ему, что изучал вопрос о слепоте у летучих мышей.
- Я обнаружил, - сказал он, - что закоренелая привычка летучих мышей спать днем в темных углах и вылетать только по ночам привела к распространению у них слепоты, хотя некоторые особи хорошо видели обоими или одним глазом. Две из исследуемых мною мышей видели правым глазом, три - левым, четыре не видели левым и пять не видели правым глазом.
Могли бы вы подсчитать наименьшее число летучих мышей, которых пришлось осмотреть натуралисту, чтобы получить такие результаты?
217. Зверинец. В бродячем зверинце было два каприза природы: четырехногая птица и шестиногий теленок. Одного посетителя спросили, сколько всего там показывали птиц и животных, на что он ответил:
- Всего 36 голов и 100 ног. Остальное вы можете узнать сами.
Сколько же там было птиц и зверей?
218. Угон овец. Грабители угнали ⅓ стада овец и ⅓ овцы. Другая шайка угнала ¼ оставшихся овец и ¼ овцы. Затем третья шайка грабителей угнала ⅕ остатка и еще ⅗ овцы, после чего в стаде осталось 409 овец.
Сколько овец было в стаде первоначально?
219. Дележ овец. Некий австралийский фермер, умирая, оставил своих овец трем сыновьям. Альфред должен получить на 20% больше, чем Джон, и на 25% больше, чем Чарлз. Доля Джона составляет 3600 овец.
Сколько овец получит Чарлз? Возможно, что читателю удастся решить задачу за несколько секунд.
220. Арифметика в такси. Водитель такси не отличался вежливостью, и возмущенный мистер Уилкинс попросил его назвать свой номер.
- Вы хотите узнать мой номер? - сказал водитель. - Что же, пожалуйста. Если вы разделите его на 2, 3, 4, 5 или 6, то получите в остатке 1, а на 11 он разделится без остатка. Скажу еще, что из всех водителей, которые могли бы сказать о своем номере то же самое, мой номер самый маленький.
Какой номер был у водителя?
221. Аренда. "Как-то я обсуждал со своим другом вопрос об аренде, - сказал полковник Крэкхэм, - и он сообщил мне, что его земля сдана в аренду на 99 лет. Я спросил друга, сколько лет из этого срока уже истекло, надеясь получить прямой ответ. Но он сказал мне, что ⅔ прошедшего времени равны ⅘ оставшегося срока и что ответ я должен найти сам".
222. Походная колонна. Воинское подразделение двигалось походной колонной, в которой число шеренг превышало число солдат в шеренге на 5. Когда показался неприятель, произошло перестроение в 5 шеренг, при этом число солдат в каждой шеренге увеличилось на 845 человек.
Сколько человек было в подразделении?
223. Год 1927. Можно ли найти числа p и q, если p - q = 1927? Вот поясняющий пример для случая 1844 г. При p = 3 и q = 7 мы имеем