5. 441. Это исчезновение мнимых логических констант выступает и в том случае, если "~ ($ х). ~fx" говорит то же самое, что и " (х). fx, или если "~ ($ х). ~fxх = a" говорит то же самое, что и "fа".
5. 442. Если нам дано предложение, то вместе с ним уже даны результаты всех операций истинности, основанием которых оно является.
5. 45. Если есть логические первичные знаки, то правильная логика должна уяснить их место по отношению друг к другу и оправдать их существование. Конструкция логики из ее первичных знаков должна стать ясной.
5. 451. Если логика имеет исходные понятия, то они должны быть независимыми друг от друга. Если введено исходное понятие, то оно должно быть введено во всех связях, в которых оно вообще имеет место. Следовательно, нельзя вводить понятие сначала для одной связи, а потом для другой. Например: если введено отрицание, то мы должны его понимать в предложениях формы "~ p" так же, как в предложениях вида – ~ p V q) , " ($ х). ~fx " и других. Мы не можем вводить его сначала для одного класса случаев, потом для другого, потому что тогда оставалось бы сомнительным, является ли его значение в обоих случаях одинаковым, и не было бы основания для у потребления в обоих случаях одного и того же способа символизации. (Короче, для введения первичных знаков имеет значение mutatis mutandis, то же самое, что Фреге в работе "Основные законы арифметики" ("Grundgesetze der Arith-metik") говорил относительно введения знаков через определения.)
5. 452. Введение нового знака в символизм логики должно быть всегда чревато последствиями. Ни один новый знак не должен вводиться в логике – так сказать, с совершенно невинной миной – в скобках или в сноске. (Так, в "Principia Mathematical Рассела и Уайтхеда встречаются словесные определения и исходные предложения. Почему здесь внезапно появляются слова? Это нуждается в оправдании. Но оправдания нет и не может быть, так как этот процесс (внезапное появление слов. – Перев.) фактически не дозволен.) Но если введение нового знака является необходимо доказанным в каком-либо месте, то должны тотчас же спросить: где должен этот знак постоянно применяться? Отныне его место в логике должно быть выяснено.
5. 453. Все числа в логике должны допускать оправдание. Или – скорее – должно выявиться, что в логике нет никаких чисел. Нет никаких привилегированных чисел.
5. 454. В логике нет соседства, нельзя дать никакой классификации. В логике не может быть более общего- и более особенного.
5. 4541. Решения логических проблем должны быть простыми, так как они устанавливают стандарт простоты. Люди всегда догадывались, что должна быть дана область вопросов, ответы на которые априори симметричны и объединяются в законченные регулярные структуры. Область, в которой предложение достоверно: simplex sigillum veri.
5. 46. Если логические знаки вводятся правильно, то тем самым вводится смысл всех их комбинаций, следовательно, не только "pVq", но также и "~ (pV~q)" и т. д. Тем самым вводится результат всех возможных комбинаций скобок. И благодари этому становится ясным, что собственно общими первичными знаками являются не "p\/q", ($ х) f (x)" и т. д., а самая общая форма их комбинаций.
5. 461. Большое значение имеет тот кажущийся неважным факт, что логические псеадоотношения, как V и É, нуждаются в скобках, в отличие от действительных отношений. Употребление, скобок при этих псевдопервичных знаках уже Указывает на то, что они не являются в действительности первичными знаками. Все-таки, по-видимому, никто не верит, что скобки имеют самостоятельное значение.
5. 4611. Логические знаки операций являются пунктуациями.
5. 47. Ясно, что все то, что может быть сказано заранее о форме всех предложений вообще, может быть сказано за один раз (aufeinmal). Ведь все логические операции уже содержатся в элементарном предложении. Потому что "о" говорит то же самое, что и " ($ х) fх. х. == а". Где есть композиция, там есть аргумент и функция, а где есть они, там есть уже все логические константы. Можно было бы сказать: одна логическая константа есть то, что все предложения, по своей природе, имеют общим друг с другом. Но это есть общая форма предложения.
5. 471. Общая форма предложения есть сущность предложения.
5. 4711. Дать сущность предложения значит дать сущность всех описаний, следовательно, дать сущность мира.
5. 472. Описание самой общей формы предложения есть описание одного и единственного общего первичного знака в логике.
5. 473. Логика должна сама о себе заботиться. Возможный знак тоже должен быть способен обозначать. Все то, что в логике возможно, является также дозволенным. ("Сократ тождествен" ничего. не означает потому, что нет свойства, называемого "тождественный". Предложение бессмысленно потому, что мы не дали некоторого произвольного определения, а не потому, что символ сам по себе не дозволен.) В некотором смысле мы не можем делать ошибок в логике.
5. 4731. Самоочевидность, о которой так много говорил Рассел, в логике может стать лишней только благодаря тому, что язык сам предотвращает каждую логическую ошибку. Априорность логики заключается в том, что нельзя нелогически мыслить.
5. 4732. Мы не можем дать знаку неправильный смысл.
5. 47321. "Бритва" Оккама не является, конечно, произвольным правилом или правилом, оправданным своим практическим успехом: она просто. говорит, что не необходимый элемент символики ничего не значит. Знаки, служащие для одной цели, логически эквивалентны; знаки, не служащие ни для какой цели, логически неэначимы.
5. 4733. Фреге говорит: каждое законно образованное предложение должно иметь некоторый смысл; и я говорю: каждое возможное предложение образовано законно, и если оно не имеет смысла, то это может быть только потому, что мы не дали некоторым его составным частям никакого значения. (Даже если мы верим, что это сделано.) Так, предложение "Сократ тождествен" ничего не говорит потому, что мы не дали никакого значения слову "тождественный" как прилагательному. Потому что, когда оно выступает как знак равенства, оно символизирует совсем другим образом-отношение-обозначения другое, – следовательно, символ в обоих случаях также совершенно разный; оба символа только случайно имеют общий знак.
5. 474. Количество необходимых основных операций зависит только от нашего способа записи.
5. 475. Это только вопрос построения системы знаков с определенным числом измерений-с определенной математической множественностью.
5. 476. Ясно, что здесь речь идет не о количестве исходных понятий, которые должны обозначаться, но только о выражении правила.
5. 5. Каждая функция истинности есть результат последовательного применения операций (- – – – – И) к элементарным предложениям. Эта операция отрицает все предложения в правых скобках, и я называю ее отрицанием этих предложений.
5. 501. Выражение в скобках, члены которого являются предложениями, я обозначаю-если последовательность членов в скобках безразлична-знаком вида "x". "x" есть переменная, значения которой являются членами выражения, заключенного в скобки; и черточка над переменной означает, что она заменяет все свои значения в скобках. (Если, например, "x" имеет три значения: Р, W, R, то, следовательно, (x) = (Р, W, R) Значения переменных устанавливаются. Установление есть описание предложений, заменяемых переменной. Как происходит описание членов выражения, заключенного в скобки, не существенно. Мы можем различать три вида описаний: I. Прямое перечисление. В этом случае мы можем просто вместо переменной поставить ее постоянное значение. II. Указание функции fx, значения которой для всех значений х являются описываемыми предложениями. III. Указание формального закона, по которому образованы эти предложения. В этом случае члены выражения, заключенного в скобки, суть все члены формального ряда.
5. 502. Я, следовательно, пишу вместо " (- – – – – И) (x...) ", N (x)". N (x) есть отрицание всех значений пропозициональной переменной.
5. 503. Так как, очевидно, легко выразить, как посредством этой операции могут образовываться предложения и как посредством ее они не должны образовываться, то поэтому данное обстоятельство также должно допускать точное выражение.
5. 51. Если x имеет только одно значение, то N (x) = ~ р (не р), и если имеет два значения, то N (x) = ~ p. ~q (ни р, ни q).
5. 511. Как может всеобъемлющая, отражающая мир логика употреблять такие специальные трюки и манипуляции? Только связывая все это в бесконечно тонкую сеть, в огромное зеркало.
5. 512. "~ р" истинно, если "p" ложно. Следовательно, в истинном предложении "~ р" "р" есть ложное предложение. Как может теперь штрих "~" привести его в соответствие с действительностью? Но то, что отрицает в "~ р", есть, однако, не "~", но то, что является общим для всех знаков этого способа записи, отрицающих р. Отсюда общее правило, по которому образуются "~ р", "~ ~ ~ р", "~ р V ~ p", "~ p ~ p" и т. д. (до бесконечности). И это общее вновь отражает отрицание.
5. 513. Можно было бы сказать: общее всех символов, которые утверждают как р, так и q, есть предложение "pVq". Общее всех символов, которые утверждают или р, или q, есть предложение "рVq". Итак, можно сказать: два предложения друг другу противоречат, когда они не имеют ничего общего друг с другом; и каждое предложение имееттолько одно отрицание, так как имеется только одно предложение, которое полностью лежит вне его. Таким же образом в расселовском способе записи обнаруживается, что "q: pV~ p" говорит то же самое, что и "q"; что "р V ~ p"ничего не говорит.
5. 514. Если установлен способ записи, то в нем имеется правило, по которому образуются все предложения, отрицающие р, правило, по которому образуются все предложения, утверждающие р, правило, по которому образуются все предложения, утверждающие р или q, и т. д. Эти правила эквивалентны символам, и в них снова отражается их смысл.
5. 515. Следует показать в наших символах, что то, что связывается посредством "V", "." и т. д., должно быть предложениями. Именно это имеет место, так как символы "р" и "q" ведь сами предполагают "V", "~" и т. д. Если знак "р" в "pVq" не замещает комплексного знака, то он сам по себе не может иметь смысла, но тогда знаки "рVр", "р. р" и т. д., имеющие тот же смысл, что и "р", также не имеют смысла. Но если "рVр" не имеет смысла, то "рVq" также не может иметь смысла.
5. 5151. Должен ли знак отрицательного предложения образовываться с помощью знака положительного? Почему нельзя выразить отрицательное предложение посредством отрицательного факта? (Например, если "а" не стоит в определенном отношении к "b", то это можно было выразить тем, что aRb не имеет места.) Но ведь здесь отрицательное предложение также косвенно образовано через положительное. Положительное предложение предполагает существование отрицательного предложения и наоборот.
5. 52. Если значения S являются всеми значениями функции fx для всех значений х, то N (x) = ~ ($x). fx
5. 521. Я отделяю понятие "все" от функции истинности. Фреге и Рассел вводили общность в связи с логическим произведением или логической суммой. Так было труднее понять предложения " ($x). fх" и " (x) fx", в которых скрыты обе эти идеи.
5. 522. Своеобразие "символики общности", во-первых, в том, что она ссылается на логический первообраз, и, во-вторых, что она подчеркивает константы.
5. 523. Символ общности выступает как аргумент.
5. 524. Если даны объекты, то тем самым уже даны все объекты. Если даны элементарные предложения, то тем самым также даны все элементарные предложения.
5. 525. Неправильно передавать предложение " ($x). fх" словами "fx возможно", как это делает Рассел. Несомненность, возможность или невозможность положения вещей выражаются не предложением, но тем, что выражение есть тавтология, осмысленное предложение или противоречие. Тот прецедент, на который постоянно могли бы ссылаться, должен наличествовать уже в самом символе.
5. 526. Можно полностью описать мир при помощи вполне обобщенных предложений, т. е. не согласовывая заранее какое-либо имя с определенным объектом. Чтобы затем перейти к обычному способу выражения, нужно просто к выражению "имеется один и только один х, который..." прибавлять: "и этот х есть а".
5. 5261. Вполне обобщенное предложение является составным, как и любое другое предложение. (Это проявляется в том, что мы в " ($х, Ф). Фх" должны упоминать "Ф" и "x" раздельно. Оба независимо стоят в отношениях обозначения к миру, как и в необобщенном предложении.) Охарактеризуем составной символ: он имеет нечто общее с другими символами.
5. 5262. Ведь истинность или ложность каждого предложения меняет нечто в общей структуре мира. И пространство, которое оставляется его структуре совокупностью элементарных предложений, есть как раз то, которое ограничивается вполне общими предложениями. (Если истинно какое-либо элементарное предложение, то тем самым во всяком случае истинно еще одно элементарное предложение.)
5. 53. Тождество объектов я выражаю тождеством знаков, а не с помощью знака тождества. Различие объектов – различием знаков.
5. 5301. Очевидно, что тождество не есть отношение между объектами. Это становится совершенно ясным, если, например, рассмотреть предложение: " (х) : fx. É. х = а". Это предложение говорит просто то, что только а удовлетворяет функцию f, а не то, что только такие вещи удовлетворяют функцию f, которые имеют определенное отношение к а. Можно, конечно, теперь сказать, что как раз только а имеет это отношение к а, но, чтобы выразить это, мы нуждаемся в самом знаке тождества.
5. 5302. Расселовское определение "==" не годится, так как согласно ему нельзя сказать, что два объекта имеют общими все свойства. (Даже если это предложение никогда не верно, оно все же имеет смысл.)
5. 5303. Между прочим: сказать о двух предметах, что они тождественны, бессмысленно, а сказать об одном предмете, что он тождествен самому себе, значит ничего не сказать.
5. 531. Следовательно, я не пишу "f (a, b). a == b", но "f (а, а)" (или "f (b, b) "). И не "f (а, b). ~ а == b", но "f (а, b)".
5. 532. И аналогично: не " ($х, y).f (х, у). х == y", но ($х).f (x, x) "; и не " ($х, у). f (x. y). ~ х = у", но " ($х, y).f (х, у)".
(Следовательно, вместо расселовского " ($х, y).f (х, у) ":" ($х, y).f (х, у)". V " ($х).f (х, x)".)
5. 5321. Вместо "(х) : fх х == а" мы, следовательно, пишем, например, " ($х).f (х, у)". : ~ ($х, y). fх fу". А предложение "только один х удовлетворяет f ()" гласит: " ($х).fx: ~ ($х, y).fx. fy".
5. 533. Следовательно, знак тождества не является существенной составной частью логической символики
5. 534. И теперь Мы видим, что псевдопредложения, как "а==а", "а= Ь. Ь = с. É а ==с", " ($). х == х", " ($х). х == о" и т. д., в правильной логической символике даже не могут быть написаны.
5. 535. Тем самым исчезают и все проблемы, связанные с подобными псевдопредложениями. Здесь уже решаются все проблемы, связанные с расселовской "аксиомой бесконечности". То, что должна высказать аксиома бесконечности, могло бы выразиться в языке тем, что имеется бесконечно много имен с различным значением.
5. 5351. Существуют определенные случаи, когда возникает искушение употребить выражение вида "а =а" или "рÉр" и тому подобные. Это происходит именно тогда, когда хотят говорить о прообразе: предложение, вещь и т. д. Так, Рассел передал в "Принципах математики" ("Principles of Mathematics") бессмыслицу "р есть предложение" в символах посредством "рÉр" и принял ее как гипотезу для определенных предложений, чтобы показать, что места их аргументов могут быть заняты только предложениями. (Ставить гипотезу рÉрперед предложением, чтобы его аргументам обеспечить правильную форму, уже потому бессмысленно, что эта гипотеза для не-предложения как аргумента является не ложной, "о бессмысленной, и потому, что само предложение с аргументами неправильного вида является бессмысленным и, следовательно, предохраняет себя от неправильных аргументов столь же хорошо или столь же плохо, как и бессмысленная гипотеза, предназначенная для этой цели.)
5. 5352. Также-хотели выражать "предметов не существует" через "~ ($х, y). х=х". Но даже если это было бы предложением, разве оно не было бы истинным, даже если бы действительно "предметы существовали", но при этом не были бы тождественны самим себе?
5. 54. В общей пропозициональной форме предложение входит в предложение только как основание операций истинности.
5. 541. На первый взгляд, кажется, будто предложение может также входить в другое и другим способом. В особенности в определенных формах предложений психологии, как "А думает, что р имеет место" или "А мыслит р". Здесь на первый взгляд кажется, что предложение р как будто стоит к объекту А в каком-то отношении. (Так понимались эти предложения и в современной теории познания (Рассел, Мур и т. д.).)
5. 542. Но ясно, что "Доверит, что р", "А мыслит р", "А говорит р" являются предложениями формы: "р говорит р"; и здесь мы имеем не координацию факта и объекта, а координацию фактов посредством координации их объектов.
5. 5421. Это также показывает, что душа-субъект и т. д., – как она понимается в современной поверхностной психологии, есть небылица. Составная душа больше не была бы собственно душой.
5. 5422. Правильное объяснение формы предложения "А судит о р" должно показать, что невозможно судить о бессмыслице (расселовская теория этому условию не удовлетворяет).
5. 5423. Воспринимать комплекс значит воспринимать, что его составные части относятся друг к другу так-то и так-то. Этим, возможно, объясняется и то, что фигуру можно видеть как куб двояким образом; возможно, этим объясняются и все подобные явления. Ибо мы действительно видим два различных факта. (Если я смотрю сначала на углы "а" и только мельком на "b", то "a" кажется спереди, а "b" – сзади, и наоборот.)