§ 3. Собственно индуктивный вывод получается лишь тогда, когда добытые индукцией общие начала распространяются на другие сходные явления. А так как основанием служит здесь сходство одного частного явления с другим частным, то подобный вывод есть аналогия, или заключение от частного к частному.
Примеч. Это было совершенно верно замечено Миллем, но из этого следует, что математические выводы ничего общего с индукцией не имеют, ибо в них об аналогии нет речи. Этого последствия Милль не вывел; в своей критике умозаключений он тщательно избегал примеров из математики, которые опровергли бы всю его теорию. К этому мы вернёмся далее.
§ 4. Так как индуктивный вывод основан на сходстве, то есть на частном тождестве, то и в нём в основании лежит логическое начало, именно закон тождества; но так как частное тождество не исключает различий, то никакого точного вывода этим путём сделать нельзя.
§ 5. Вывод по аналогии может иметь большую или меньшую степень вероятности, смотря, во первых, по близости сходства. На основании логического закона тождества мы можем заключить, что тождественные причины при тождественных условиях дадут тождественные следствия. Но абсолютное тождество исключается уже тем, что наблюдаются разные явления, которые происходят под разными условиями пространства и времени, а потому подобный вывод всегда только приблизительный.
§ 6. Верность вывода зависит, во вторых, от свойства сходных признаков: постоянные, или существенные признаки могут служить основанием для аналогии; изменяющиеся же признаки никаких верных выводов не дают.
§ 7. В третьих, верность вывода зависит от количества наблюдений: чем больше количество исследованных явлений, в которых раскрывается известный закон, тем более вероятия, что тот же закон распространяется и на другие однородные явления. Здесь господствует математическое правило вероятностей. При огромном количестве явлений и при отсутствии всякого противоречащего факта вероятность приближается к полной достоверности.
Таковы, например, заключения, что солнце завтра встанет, или что человек непременно умрёт.
§ 8. Верность вывода зависит, в четвёртых, от всесторонности наблюдений: нужна большая или меньшая вероятность, что все однородные явления исследованы и что ничего не пропущено. Из того, что доселе я не наблюдал противного, ещё не следует, чтобы оно не существовало.
Негры, никогда не видавшие белых, уверены, что все люди черны; но подобные умозаключения приличны только негру.
§ 9. При всём этом вывод по аналогии даёт лишь большую или меньшую вероятность, следовательно, возможность, а не необходимость. Сами выведенные законы остаются, как сказано, чисто фактическими, то есть действительными и условными, но отнюдь не безусловно необходимыми. Вполне точными, достоверными и необходимыми выводы делаются только в силу дедукции.
КНИГА ВТОРАЯ
Дедукция
Глава 1. Основания
§ 1. Дедукция есть путь от общего к частному; обратный путь является здесь последствием первого. Поэтому основанием дедукции служат общие определения разума.
§ 2. Эти общие определения даются четырьмя формами умственной деятельности: 1) понятия дают определения в тесном смысле; 2) суждения дают аксиомы; 3) умозаключения дают конструкцию из чисто рациональных элементов; 4) категории как выражение способов действия разума, образующих общую систему, а потому связанных одни с другими, служат непосредственным источником выводов.
§ 3. Из определений выводятся заключающиеся в них признаки и необходимо связанные с этими признаками свойства.
Примеч. Когда определения получаются путём опыта, то из них ничего нельзя вывести, кроме того, что в них заранее вложено. Так, например, когда я говорю, что человек есть животное, то из этого определения можно вывести только те признаки, из которых заранее составлено понятие о животном. Подведение понятия о человеке под понятие о животном основано именно на том, что в первом заключаются все признаки последнего. Если с этими признаками связаны другие, то эта связь опять же должна быть удостоверена опытом во всех однородных случаях и может распространяться на другие только в силу аналогии. Но определения могут получаться и иным путём. В них соединяются два элемента: получаемое из опыта содержание и логическая форма, определяющая объём (ч. 1, кн. 3, гл. 2, §§ 11, 16). Эта логическая форма даёт чисто умственные определения, которые могут служить основанием дальнейших логических выводов. Когда я говорю, например, что два есть соединение единицы с единицей, то это определение получается не сравнением вещей, а чисто умственным сочетанием отвлечённых единиц, которые суть логические определения. Точно так же определение круга: "это есть линия, отстоящая везде на равном расстоянии от точки", получается не сравнением кругов, а чисто умственным процессом, ибо, имея элементы умозрительного пространства, линию и точку, я могу построить из них круг. Из этого определения непосредственно вытекают и другие свойства, необходимо связанные с первым, например, что диаметр вдвое больше радиуса, что линия, соединяющая концы двух радиусов, образует равнобедренный треугольник и т. п. Подводя под эти определения формы вещей, получаемые из впечатлений, мы можем делать логические выводы; но основанием их служат логические определения, а не опытный материал. Поэтому все подобные выводы имеют характер чисто формальный, чем и обнаруживается их умозрительное происхождение.
§ 4. Аксиомы суть суждения, очевидность которых вытекает из самих терминов. Из связываемых понятий прямо получается их связь.
§ 5. Таковыми могут быть только чистые законы разума, которые, будучи собственными действиями сознающего себя разума, для него очевидны.
§ 6. Основные аксиомы суть закон тождества и закон противоречия. Аксиомы, выражающие закон исключения третьего и закон достаточного основания, представляют сочетание этих двух (кн. 3, гл. 4 и 5).
§ 7. Математические аксиомы суть приложения основных аксиом к количественным определениям.
Такова, например, так называемая аксиома, что две величины, равные третьей, равны между собой. Она очевидна для разума по простоте своих элементов, но может быть доказана тем, что количество во всех трёх одинаково.
Примеч. Теоретики эмпиризма и это положение выводят из опыта, уверяя, что оно получается ежедневным наблюдением над вещами. В действительности никто таких сравнений не производит, а между тем положение ясно и для ребёнка. Кто без всякого опыта не понимает, что две величины, равные третьей, равны между собой, тому недостаёт самых элементарных логических способностей. Это идиот или животное, не способное подняться выше реальных представлений. К этому уровню последовательно низводят себя теоретики эмпиризма в стремлении отрицать всякие разумные начала.
§ 8. Конструкция есть сочетание элементарных определений на основании аксиом с целью умозаключения.
Таковы в математике уравнения, таково же построение силлогизма. Сюда принадлежит и означенная выше логическая схема пространства и времени как форм восприятия впечатлений (ч. 1, кн. 1, гл. 1, § 35).
§ 9. Категории, выражая способы действия разума, составляют, как сказано, цельную систему определений, связанных между собой. Поэтому из них могут быть выведены как их отношения, так и их сочетания. Эта система лежит в основании всей остальной дедукции.
Это очевидно из того, что всякое умозаключение основано на приложении категорий (ч. 1, кн. 3, гл. 4).
Глава 2. Содержание
§ 1. Основаниями дедукции определяется и само содержание, или предмет чисто дедуктивных наук. Исходя от логических начал, из которых выводятся последствия, они ограничиваются чисто логической областью.
§ 2. Первую ступень составляет исследование определений и деятельности разума в познании вещей - логика. Логические формы суть синтезы впечатлений, получаемых при взаимодействии субъекта с внешним миром и с самим собой. Эти синтетические определения создаются деятельностью разума и сознаются им непосредственно, в силу самосознания, не только как действительные, но и как необходимые. Определение их составляет первую задачу логики. Затем из них, приложением категорий причинности, взаимодействия и целесообразности выводятся способности, законы и методы.
§ 3. Само отвлечённое определение разума есть категория количества; отвлекаясь от всякого качества, оно представляет соединение и разделение безразличного, или тождественного. Развитие определений количества даёт вторую ступень чисто дедуктивных наук - математику.
§ 4. Математика разделяется на две отрасли: отвлечённую и конкретную. Первая исследует чисто логические отношения величин вообще как логических определений, сводя их к началу равенства, то есть количественного тождества. Вторая прилагает эти отношения к определениям пространства и времени, которые даются логической схемой впечатления, то есть конструкцией.
Примеч. Из чистых понятий пространства как безграничного и точки как границы совместной внешности и притом границы изменяющейся, чисто умственным процессом могут быть конструированы всевозможные геометрические формы, которые посредством новых построений сближаются, сравниваются и сводятся к равенству или неравенству. Такими же чисто умственными процессами выводятся и отвлечённые законы движения, составляющие содержание кинематики, отвлечённые законы равновесия, которые исследуются статикой, и наконец, как приложение тех и других, законы движения наполняющей пространство массы, что составляет предмет кинетики. Всё это науки чисто умозрительные.*
§ 5. Но количество составляет только самое отвлечённое определение разума. По существу своему, оно состоит в связи со всеми остальными определениями. Вывод совокупной системы логических определений из чистых законов разума составляет третью ступень дедуктивных наук, завершающую собой обе предыдущие. Эта ступень есть диалектика, или метафизика.
Глава 3. Способы действия
§ 1. Способ действия в дедукции есть логическое доказательство, то есть указание необходимой связи между основанием и следствием.
§ 2. Доказательство основано на умозаключении и принимает одну из четырёх указанных выше форм (ч. 1, кн. 3, гл. 4, § 2 и след.) 1) Из частных определений, путём чисто логической индукции, выводятся заключающиеся в них общие начала. Так в логике выводятся способности и законы из логических форм. 2) Из категорий, путём анализа, выводятся их содержание и связь; таков способ действия метафизики. 3) Из суждений непосредственно делаются выводы путём перемещений; таковы преобразования уравнений в чистой математике. 4) Путём конструкции из общих начал выводятся частные приложения; таков способ действия конкретной математики.
Примеч. Указание соответствия между различными способами доказательства и различными науками не означает, что эти науки ограничиваются означенными способами; но они в них преобладают и могут служить наилучшими примерами приложений методы.
§ 3. Доказательства основываются на законах разума. Каждый закон даёт своего рода доказательство. На законе тождества основывается доказательство положительное, на законе противоречия - отрицательное. Закон исключения третьего даёт доказательство от противного: если нет А, то есть не А. Это доказательство весьма употребительно в математике. Наконец, закон сочетания противоположностей отрицает одностороннее положение и полагает необходимую связь. Это - доказательство, свойственное метафизике.
§ 4. Противоположные способы доказательства проверяются друг другом. Разделением проверяется соединение и обратно. Несостоятельностью односторонних положений подтверждается необходимость связи.
§ 5. Доказательство есть выражение логической необходимости, а потому имеет для разума безусловную силу. Проверка положительной необходимости отрицательной устраняет возможность ошибки.
Глава 4. Выводы
§ 1. Вывод есть результат доказательства. Это - утверждение действительности, вытекающей из логической необходимости.
§ 2. Логическая необходимость есть закон разума в познании вещей; поэтому она распространяется на всё познаваемое в пределах связуемых понятий.
Примеч. Этими свойствами логический вывод отличается от индуктивного. Последний, как сказано, в точном смысле не простирается далее тех частных и условных фактов, из которых он извлечён; а потому он не содержит в себе ничего безусловно общего. Раскрываемая им связь чисто фактическая, а не логическая; поэтому он не заключает в себе ничего необходимого. Когда индуктивные выводы выдаются за безусловно общие и необходимые, то этим выражается сочетание индукции с дедукцией.
§ 3. Полученный вывод есть отношение, выведенное из других отношений. Как удостоверенное отношение, оно может, в свою очередь, служить основанием для новых выводов.
§ 4. Этим путём образуется цепь выводов и доказательств. Продолжение её зависит от возможности вводить новые отношения, то есть от конструкции. Таков способ действия в математике.
§ 5. Сообразно с различными способами выводов, цепь может идти от общего к частному или обратно.
Так, в математике мы имеем вывод от интеграла к дифференциалу, от первого дифференциала ко второму и т. д., и обратно - от дифференциала к интегралу и от низшего интеграла к высшему.
§ 6. Цепь выводов может идти так, что конец совпадает с началом. Это бывает там, где определения составляют цельную, законченную систему. Тогда образуется цикл.
Такова форма выводов в метафизике.
§ 7. Эта форма дедукции высшая из всех, ибо она даёт полноту знания в определённой области. Совпадение конца с началом составляет вместе с тем проверку правильности выводов.
§ 8. Так как в системе всё связано одно с другим, то можно начать с любого определения, и поочередно, в силу логической необходимости, перейти ко всем остальным, пока не завершится круговорот.
§ 9. Но основной закономерный процесс дедукции идёт от общих определений к частным и от частных, в силу закона сочетания противоположностей, снова возвращается к общим. Вследствие этого, при совпадении конца с началом, получается не полное их тождество, а совпадение общего начала, заключающего в себе частное содержание только в возможности, с тем же началом, заключающим в себе то же содержание, но уже в действительности, или в полноте определений. В этом состоит закон логического развития, который служит прототипом всякого понятия о развитии.
§ 10. Так как сочетание противоположностей в логическом цикле составляет основной логический закон, то он должен повторяться в каждой отдельной области. Поэтому общий цикл разлагается на частные циклы, и наоборот, частные циклы слагаются в общий. Где этот закон обнаружен, там достигается полная рациональность знания.
§ 11. При всём том дедукция даёт лишь общие рациональные начала. Приложение этих начал к частным явлениям требует изучения самих явлений, а оно даётся противоположным путём, индуктивным. Поэтому полнота знания требует сочетания обеих метод.
КНИГА ТРЕТЬЯ
Непосредственное сочетание метод
Глава 1. Совпадение выводов
§ 1. Индукция идёт от частного к общему, дедукция от общего к частному. Если они встречаются на полпути, в тождественных выводах, то происходит совпадение. Фактический закон, имеющий ограниченный объём, становится безусловно общим и рациональным.
§ 2. Через это совпадение один путь проверяется другим, и знание получает полную фактическую и логическую достоверность.
§ 3. Отсюда возможность двоякого доказательства одного и того же положения: доказательства умозрительного и опытного, a priori и a posteriori. Первое даёт логическую необходимость, второе - подтверждающие факты.
§ 4. Ни одно не избавляет от другого, но оба восполняют друг друга.
Примеч. Поэтому совершенно неверно утверждение, будто опытное доказательство может когда-либо избавить от логического. Первое всегда имеет ограниченное и чисто фактическое значение. Только последнее даёт общий и рациональный закон. Всего менее подобные рассуждения приложимы к математике. Утверждать, как делает Гельмгольц, что умозрительная геометрия излишня, потому что можно довольствоваться опытной, значит странным образом не понимать логическое значение математических доказательств. Геометрия, чисто логическим путём, без всяких опытных измерений доказывает, что если все стороны треугольника равны, то равны и заключающиеся между ними углы, следовательно, они совпадают, и это доказательство имеет силу для всех возможных треугольников, каковы бы ни были их формы и размеры. Опытным же путём можно измерить сколько угодно треугольников с равными сторонами, и всё-таки не будет доказано, что не может быть треугольников с равными сторонами, которые бы не совпадали. Доказывается только, что в пределах опыта подобного случая не встретилось. Такое странное увлечение великого ума односторонними эмпирическими теориями показывает жалкое состояние современной логики.
§ 5. Непосредственное сочетание метод имеет различное значение в различных областях знания. В этом отношении следует отличить науки, касающиеся физической природы, и науки, исследующие человеческие отношения.
Глава 2. Метафизические начала естествознания
§ 1. Естествознание, имея предметом изучения явления физического мира, идёт чисто индуктивным путём; но, как сказано выше (кн. 1, гл. 1, §§ 2, 3), индукция в самих своих задачах подчиняется логическим требованиям, которые направляют и её действия. Поэтому, обобщая своё содержание, она неизбежно приходит к чисто логическим, или метафизическим началам.
§ 2. Первое такое начало есть понятие о материи, которое не даётся внешними чувствами, а составляет логическое требование, исходящее от метафизического понятия о субстанции, необходимо лежащей в основании внешних явлений. Обобщая признаки, общие всем подлежащим нашим чувствам явлениям, физика приписывает их лежащей в основании материи.
§ 3. Метафизика из самого понятия о субстанции как едином, тождественном начале, лежащем в основании изменяющихся явлений, выводит, что субстанция как таковая не возникает и не исчезает, а всегда остаётся себе равной; следовательно, и материя не может ни увеличиваться, ни уменьшаться, а всегда остаётся количественно себе равной. Опытная наука фактами подтверждает этот взгляд. Химия удостоверяет, что во всех соединениях и разделениях количество материи, измеряемое весом, остаётся неизменным.
§ 4. Другое метафизическое начало есть понятие о силе. Оно присуще категории причинности и входит в логическую схему, определяющую восприятие внешних впечатлений. Естествознание усваивает себе и это начало, которое лежит в основании всей физики.
§ 5. И тут естествознание приходит опытным путём к метафизическому положению, что сила как субстанция не увеличивается и не уменьшается, а всегда остаётся количественно себе равной.