Алгебраическое выражение . Выражение может считаться алгебраическим только в том случае, если в его записи указаны лишь алгебраические действия, т. е. сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с рациональным показателем и извлечение корня. Все остальные действия, например возведение в степень тригонометрической функции, не относятся к алгебраическим.
Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных или возведение переменных в дробную степень, то такое алгебраическое выражение называется иррациональным, или трансцендентным. Все алгебраические выражения делятся на рациональные и иррациональные. В рациональное могут входить лишь 4 арифметических действия и возведение в степень с рациональным показателем.
Треугольник . Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно. Три точки называются вершинами треугольника, три отрезка – его сторонами.
Для обозначения треугольника указываются его три вершины. Стороны треугольника обозначаются двумя буквами, являющимися соответствующими вершинами.
Угол треугольника . Углом треугольника при данной вершине называется угол, образованный полупрямыми, выходящими из этой вершины.
Высота треугольника . Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к противолежащей стороне треугольника.
Биссектриса треугольника . Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне.
Медиана треугольника . Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны. В каждом треугольнике имеется три медианы, три биссектрисы и три высоты.
Средняя линия треугольника . Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данный сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Равные треугольники . Треугольники называются равными, если равны их соответствующие стороны и углы.
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Признаки равенства треугольников .
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если стороны и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Равнобедренный треугольник . Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми сторонами равнобедренного треугольника, а третья сторона называется его основанием.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Осью симметрии равнобедренного треугольника является биссектриса (медиана, высота) при его вершине.
Равносторонний треугольник . Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. У равностороннего треугольника все биссектрисы являются медианами и высотами. Это справедливо для любого треугольника. Из утверждения следует, что у треугольника хотя бы два угла острые.
Теорема о внешнем угле треугольника . Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Прямоугольный треугольник . Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Стороны треугольника имеют свои названия: гипотенуза – это сторона, противолежащая прямому углу, катеты – две стороны, образующие вместе прямой угол.
Катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
Признаки равенства прямоугольных треугольников .
1. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема Пифагора . В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Синус . Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус . Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс . Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс . Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Их можно определить по таблице.
Теорема косинусов . Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Теорема синусов . Отношение одной стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно отношению другой стороны к синусу соответствующего противолежащего угла.
Площадь треугольника . Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Также площадь треугольника можно найти как половинное произведение двух сторон на синус угла между ними. Справедлива и формула Герона, в которой используется значение полупериметра треугольника.
Подобные треугольники . Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника и стороны одного пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника.
Если в треугольнике провести любую прямую, параллельную основанию, то отсекаемый ею треугольник будет подобен исходному с коэффициентом подобия k. Это коэффициент равен отношению соответствующих сторон треугольников.
Построить треугольник, подобный данному, зная коэффициент подобия, значит подобно преобразовать этот треугольник.
Признаки подобия треугольников .
1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.
2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.
Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника . Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Предположим, дан треугольник АВС, в нем проведена биссектриса BD угла АВС. В этом случае верно будет равенство AD / DC = AB / BC.
Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике . Понятие среднего пропорционального отрезка в прямоугольном треугольнике раскрывается следующим образом: отрезок является средним пропорциональным между двумя данными отрезками, если его квадрат равен произведению величин этих двух отрезков.
Если в прямоугольном треугольнике высота опущена на гипотенузу, то эта высота является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу. Каждый из катетов в этом случае является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
...
А. Д. Кутасов, Т. С. Пиголкина, В. И. Чехов, Т. Х.
Яковлева "Пособие по математике для поступающих в вузы"
Очевидным является факт, что общество изменяется. Достаточно вспомнить, какие события происходили в XX столетии: изобретения радио, телевидения, атомной бомбы, создание компьютерной техники, революции в социальной сфере, две мировые войны и многое другое. Общество не стоит на месте. Другое дело – в каком направлении оно изменяется. И нет ли такого феномена, когда изменения к лучшему в одних отношениях оказываются сопряженными с изменениями к худшему в других отношениях? И какая тенденция может в конце концов возобладать: первая или вторая?
Вопрос об изменениях общества и их характере привлекал к себе внимание как мыслителей Античности, Средних веков, так и мыслителей Нового времени. Значителен интерес к нему и в последние столетия. Этот вопрос влечет за собой размышления: а каковы же факторы происходящих изменений, что в целом обусловливает движение социума? Выяснить, допустим, родоначальников классической механики (следовательно, и указать ее "причину"), как и создателей науки генетики (и ее "причину"), не представляет особого труда. Эти и им подобные "изменения" в обществе уже давно установлены. Но изменений в обществе (больших и малых) даже за короткий отрезок времени – множество; что же, спрашивается, обусловливает целостное изменение общества? Ответ на этот вопрос уже не такой простой, он не столь очевиден, как в случае с основоположниками классической механики или генетики. Здесь приходится мысленно проникать в глубины социального бытия, в сущностные связи и отношения, переплетенные, как правило, с несущественными и случайными процессами и событиями. Человечество в лице своих мыслителей пыталось установить те факторы объективного и субъективного порядка, которые стали называться движущими силами общественного развития.
В первую очередь привлекали внимание Разум, Интеллект, Дух, Человек (все равно, был ли он в облике индивида Homo sapiens, или Абсолютной Идеи, или Бога). Так, А. Августин (354–430 гг. н. э.) в своем главном философском произведении "О граде Божьем" предпринял попытку объяснить многие явления истории под углом зрения христианской догматики. По его убеждению, в центре исторического процесса стоит Бог, и все нити земных дел связаны с явлением Христа. Аналогичную трактовку социальных изменений можно встретить во все позднейшие столетия вплоть до нашего времени – в трудах представителей неотомистского направления в философии.
В философии Гегеля (1770–1831) изменения социальной действительности детерминируются Абсолютной идеей, ее саморазвитием. Всемирная история, по Гегелю, есть прогресс в сознании свободы, который должен быть познан в его необходимости. "Сама в себе свобода, – отмечал он, – заключает бесконечную необходимость осознать именно себя и тем самым становится действительной, потому что по своему понятию она есть знание о себе, она является для себя целью, и притом единственной целью духа, которую она осуществляет".
На пути своей реализации Дух преодолевает препятствия, в том числе и порождаемые им самим; он преодолевает и такие действия, которые исходят от индивидов. Гегель писал: "Ближайшее рассмотрение истории убеждает нас в том, что действия людей вытекают из их потребностей, их страстей, их интересов, их характеров и способностей, и притом таким образом, что побудительными мотивами в этой драме являются лишь эти потребности, страсти, интересы и лишь они играют главную роль. Конечно, там можно найти и общие цели, желание добра, благородную любовь к отечеству; но эти добродетели и это всеобщее играют ничтожную роль в отношении к миру и к тому, что в нем творится. Конечно, мы можем найти в самих этих субъектах и в сферах их деятельности осуществление определений Разума, но число их ничтожно по сравнению с массой рода человеческого, да и добродетели их сравнительно не очень распространены. Наоборот, страсти, своекорыстные цели, удовлетворение эгоизма имеют наибольшую силу". Это может быть причиной даже гибели процветающих государств. Однако необходимость, заложенная в Абсолютном Духе, все-таки, несмотря на противодействие ей со стороны отрицательных сил, претворяет себя в общем логическом саморазвитии в направлении к исторической цели.
Несколько иначе, но по сути так же решают вопрос об основном факторе развития общества и многие другие философы: Кондорсе, И. Г. Гердер, О. Конт, Л. Уорд, А. Тойнби, П. А. Сорокин, Н. А. Бердяев; общим для них (хотя в разной форме) является наличие духовной основы социального развития. В ряду соответствующих трактовок находится и концепция экзистенциалиста К. Ясперса (1883–1969), о которой скажем несколько больше. Он считает важнейшим рубежом, от которого отправляется история, "осевое время", наполненное ценнейшими для человека идеями. Это время охватывает период между 800 и 200 гг. до н. э., когда почти одновременно действовали первые греческие философы, израильские пророки, основатели зороастризма в Иране, буддизма и джайнизма в Индии, конфуцианства и даосизма в Китае. "Тогда произошел самый резкий поворот в истории. Появился человек такого типа, какой сохранился и по сей день". Новое, возникшее в эту эпоху, сводится, по К. Ясперсу, "к тому, что человек осознает бытие в целом, самого себя и свои границы. Перед ним открывается ужас мира и собственная беспомощность. Стоя над пропастью, он ставит радикальные вопросы, требует освобождения и спасения. Осознавая свои границы, он ставит перед собой высшие цели. Познает абсолютность в глубинах самосознания и в ясности трансцендентного мира… В эту эпоху были разработаны основные категории, которыми мы мыслим по сей день, заложены основы мировых религий, и сегодня определяющих жизнь людей". Основатели мировых религий в своем творческом усилии определили основные русла духовной жизни. Как на Востоке Конфуций и Будда, так и на Западе И. Христос не говорят, каков сам мир, в котором мы живем, но скорее о том, как жить в мире, чтобы быть достойным его. Они определили путь, по которому пошло развитие человечества. "После того как совершился прорыв осевого времени и сформировавшийся в нем дух стал посредством своих идей, творений, образов доступен каждому, кто был способен слышать и понимать, когда стали ощутимы безграничные возможности, все последующие народы становятся историчными в зависимости от степени интенсивности, с которой они отзываются на совершившийся прорыв, и от глубины, на которой он ими ощущается". Чтобы спасти человеческую сущность, мы должны, указывает К. Ясперс, постоянно обновлять свою связь с осевым временем и возвращаться к его изначальности. Человеческая история, по К. Ясперсу, есть в первую очередь история человеческого духа, а материальное воплощение ее, в том числе техника, – следствие духовной истории. Изложенное К. Ясперсом – важное историческое наблюдение, имеющее большое культурологическое значение. Сомнение вызывает лишь то, что в социально-философском контексте вряд ли справедливо сложный комплекс факторов духовного развития человечества сводить к идеям, выдвинутым лишь в осевое время.