Моя первая проблема с абстрактной математикой
Будучи подростком, я одновременно любил и ненавидел математику из-за того, что мой учитель сосредоточивался только на ее абстрактных аспектах. Поэтому, моей первой реакцией на математику был бунт. Наша учительница алгебры в седьмом классе, которую мы будем называть миссис Глэдстоун, была хорошим преподавателем, но задавала нам слишком много абстрактной домашней работы. Мы с другом решили взбунтоваться. Наш бунт соответствовал духу времени; мы все были "беспричинными бунтарями". Поскольку миссис Глэдстоун жила неподалеку, мы решили помочь ей понять нашу точку зрения, сделав вонючие бомбы, которые мы намеревались подложить в ее дом.
Однажды после уроков мы с другом немного занялись химией, и приготовили вонючую бомбу, то есть то, что мы называли серной бомбой. Она не должна была никого ранить, а только создать ужасную вонь. Мы подложили бомбу под дом миссис Глэдстоун. Я не был хулиганом и, в действительности, не собирался никому причинять вреда, а просто хотел устроить вонь. Так или иначе, мы спрятались на краю улицы, пытаясь вжаться в землю, прижавшись к бордюрному камню. Мы подожгли длинный бикфордов шнур, который вел к бомбе, заложенной под домом.
Когда огонь, наконец, добрался до бомбы, она зашипела и так и не взорвалась по-настоящему. Бомба была негодной. Ну ладно, мы были только начинающими химиками. Однако, бомба все же оставила в воздухе ужасную вонь. Никто не пострадал, но белая стена дома миссис Глэдстон стала немного грязной. Для начинающих химиков это было замечательное зрелище, и мы оба - два юных бандита - были взволнованы.
Миссис Глэдстоун была недовольна. Она подошла к окну, открыла его, и разразилась бранью. Хуже того, она позвала полицейского, который стал спрашивать: "Кто это сделал?" Полицейский сурово взглянул на нс обоих, сделал нам выговор, и отпустил. нас ни в чем не обвинили. Придя домой, я был вынужден все рассказать маме, которая прочитала мне лекцию о необходимости научиться более прямо разговаривать со своими учителями.
На следующий день, я пошел к миссис Глэдстоун и рассказал ей о том, что мне не нравятся ее домашние задания. Наши отношения улучшились, и, что было еще лучше, она стала задавать меньше домашних заданий! Не знаю, изменился ли я, но миссис Глэдстоун изменилась. Она стала делать математику более интересной.
Математика должна быть интересной
Оглядываясь назад, я вижу, что первоначальная проблема между моей учительницей математики и мной заключалась в том, что математика, в сущности, не была для меня интересным опытом. Она звучала слишком абстрактно. Я не мог установить с ней контакт. Саму миссис Глэдстоун учили, что математика - это нечто количественное и абстрактное, над чем необходимо работать, и именно этому она учила и нас. Даже хотя она старалась делать ее более интересной, у меня все равно создавалось общее впечатление, что математика была просто инструментом, который можно использовать для ведения текущего счета или для занятий физикой. Но математика - это больше чем инструмент: она основывается на глубоко личном опыте.
Основы математики могут быть интересными. Понимание элементов математики не более трудно, чем понимание медитации. На самом деле, именно с помощью процесса медитации, мы вместе будем заново открывать математику.
Еще одна причина того, почему математика часто отпугивает людей, состоит в том, что термины наподобие тригонометрии, исчисления, матрицы, и неэвклидовой геометрии кажутся крайне чуждыми и непостижимыми. По видимому, некоторым математикам даже хочется, чтобы математика была именно такой. Им хочется, чтобы она была чистой и абстрактной, незапятнанной чувствами человеческих существ. Так или иначе, эта абстрактность заставляет людей, не имеющих отношения к науке (равно как и многих ученых) чувствовать себя недостаточно интеллектуально развитыми.
Есть еще одна причина, по которой многие неспециалисты испытывают затруднения с математикой и наукой. Значения терминов, используемых в математике и физике, отличаются от их повседневных значений. Например, такие математические понятия, как "замыкание" и "поле", или физические термины, наподобие "притяжения", "заряда", и "энергии" имеют очень специальные научные значения, которые отличаются от их значений в повседневном словоупотреблении.
В конечном счете, математика связана с тем, как мы воспринимаем. В математике закодирован наш метод осознания и восприятия. Иными словами, психология, физика, и математика, по своей основе, связаны друг с другом.
Счет зависит от культуры
Вернемся к опыту счета. Например, представьте себе, что на земле лежат пять камней - два красных и три синих. Все камни очень похожи друг на друга, и отличаются только цветом. Если я спрошу взрослого человека, сколько камней лежит на земле, то он. подобно большинству людей, пересчитает их и ответит: "пять".
(Рис. 2.2. Камни на земле)
Однако, дети ведут себя по другому. Маленький ребенок, вероятно, дал бы тот же ответ не сосчитав общее число камней, а сосчитав число темных, а потом число светлых. Дети в возрасте до восьми лет обычно говорят, что есть три темных и два светлых камня.
Между методами счета взрослого человека и ребенка есть разница. Какой метод правильный? Подсчет взрослого человека, который говорит - пять камней, или подсчет ребенка, который говорит - три темных и два светлых камня? Является ли различие только категориальным?
Нет. Счет связан с выбором. Он связан с психологией наблюдателя. Мы считаем то, что нас увлекает. Например, детей могут в большей степени интересовать цвета камней, а не их общее количество. Их восприятие действует по-другому. Им меньше мешает процесс накопления, который воздействует на взрослых, и требует, чтобы мы говорили, что общее число камней - пять, а не три темных и два светлых камня. Что из этого следует? То, что вы считаете, зависит от того, кто вы!
Восприятие и маргинализация
Вообразите, что вы - скотовод. Представьте себе, что вы следите за тем, как ваши овцы утром выходят на пастбище. Они проходят через ворота, а вы стоите там и стараетесь определить, сколько овец выходят из загона. Как вы узнаете, сколько овец выходит? Вы их считаете. Каким образом вы их считаете? Возможно, вы стоите у ворот и считаете каждую проходящую овцу. Допустим, вы насчитали пять овец.
Как и в примере с камнями, ребенок мог бы считать по-другому. Он мог бы сказать, что вышли две коричневые и три черные овцы. Но "две коричневые и три черные овцы" отличаются от "пяти овец". Оба способа счета относятся к разным опытным критериям. Если черные и коричневые овцы имеют равную стоимость на рынке, то число 5 представляет собой важное общее число, поскольку оно описывает богатство, хотя и игнорирует различие между овцами.
Восприятие пяти маргинализирует различие между овцами. Считая до пяти, вы говорите, что для вас - или для скотовода - более важно общее число овец, нежели различия между овцами.
С другой стороны, ребенок может испытывать особые чувства к черным овцам, и не думать об их рыночной стоимости. Ребенок может ощущать, что овцы - чувствующие существа, и даже существа, которые надеются, что они имеют значение. По этим причинам, ребенок, возможно, замечает трех черных овец и двух овец, которые не черные, а коричневые. Метод счета, используемый ребенком, маргинализирует взрослую заинтересованность в общем числе овец, в то время как взрослое восприятие игнорирует или маргинализирует субъективные чувства, которые ребенок может испытывать к конкретной овце.
В соответствии со своими основными допущениями, каждый метод подсчета точен, но когда мы формулируем окончательную сумму, эти допущения обычно игнорируются. Это напоминает мне о замечании, которое я услышал, путешествуя по Индии. Когда мать спрашивают, сколько у нее детей, она может ответить: "два сына", даже если у нее пятеро детей, трое из которых - дочери.
Иными словами, то, что - и как - мы считаем, отражает то, как мы думаем или воспринимаем. Оно отражает наше отношение к тому, что мы наблюдаем. Таким образом, простой опыт счета зависит от многих, предположительно, объективных факторов. Наше осознание определяет, что мы считаем, а что мы игнорируем или маргинализируем - то есть, что мы считаем имеющим второстепенное значение.
Совокупности и соответствие
Вернемся к овцам. Как мы, будучи взрослыми или детьми, запоминаем и сообщаем другим свой подсчет того, сколько овец ушли с нашего выгона? Мы могли бы поискать камешки на земле, чтобы представлять ими число, которое мы хотим сообщить. Когда овца выходит за ворота, мы могли бы брать камешек и откладывать его в сторону, чтобы помогать себе запоминать. Когда выходит еще одна овца, мы можем откладывать второй камешек. В конце концов, у нас будет кучка из пяти камешков. Ребенок тоже мог бы использовать камешки, но у него, скорее всего, получилось бы две кучки - из трех камешков для черных овец, и из двух камешков для коричневых.
В каком-то смысле, кучки камешков выглядят простыми, и являются таковыми. Но что мы на самом деле делали, собирая кучки из камешков, чтобы представлять ими овец, вышедших на пастбище?
Разделимость. Во-первых, мы допускали, что овцы представляют собой совокупность - группу, которую можно считать.
Слово "совокупность" происходит от греческого термина, означающего "собираться в стадо". Совокупность - это группа сходных вещей, которые остаются в достаточной степени отдельными, чтобы их можно было считать. Камни представляют собой типичную совокупность. Каждый из них является отдельным, и обладает собственной индивидуальностью.
Психология. Затем, мы допускали, что совокупность или группу овец, которую мы воспринимаем, нуждается в подсчете. Теперь мы знаем, что на выбор того, что мы воспринимаем, влияют возраст, культура, и личная психология.
Таким образом, в процессе счета мы не только допускаем, что вещи, которые мы считаем, могут быть разделены друг от друга, но и выбираем, на каких категориях сосредоточиваться. По большей части, счет, по самой своей природе, предполагает допущение и выбор, хотя мы этого даже не осознаем. В выборе того, что мы считаем, важную роль играют культура и психология.
Стандартизация. Считая овец, мы делали и третье допущение. Мы допускали, что можем использовать стандартную совокупность или группу, а именно, камешки, для измерения другой совокупности - овец. То, какую стандартную совокупность мы используем, зависит от того, кто мы, и кому мы хотим сообщить, сколько у нас овец. Мы можем использовать палочки, камешки, пальцы, или другие объекты. Наш окончательный выбор стандартных совокупностей или знаков будет кое-что говорить о коллективной природе нашего сообщества.
Сопоставление. Кроме того, используя любую стандартную совокупность, мы допускаем, что можем использовать стандартную совокупность в качестве знака, представляющего другую совокупность. То есть, мы можем использовать, скажем, пальцы, чтобы представлять совокупность овец. Мы сопоставляем одну совокупность - овец, выходящих на пастбище - другой совокупности - пальцам или камешкам. Мы должны помнить, что хотя камешки представляют овец, они очень отличаются от них.
Итак, считая овец, мы допускали, что они разделимы на части. Затем мы допускали, что части, которые мы выбираем - это важные части, что они образуют совокупность. Затем мы допускали, что можем использовать стандартную совокупность - камешки - для того, чтобы представлять овец, и, наконец, что мы можем сопоставлять камешек каждой овце, выходящей на пастбище.
Всякий раз, считая что-либо - будь то овцы, атомы, или звезды - мы допускаем, что они разделимы, не зависят от нашей психологии, и что они могут быть стандартизированы и представлены чем-либо другим. Думая об этих допущениях, мы понимаем, что они не всегда верны, что наши допущения - это только приближения. Они верны лишь частично.
Таким образом, то, что мы учитываем, в некотором смысле, всегда бывает приближением к тому, что мы считаем.
Развитие числовых систем
Подумаем о стандартизации. Какой стандарт правильный? Кто выбирает правильный стандарт? Наши предки - охотники и собиратели, жившие на заре человеческой истории - вероятно, поначалу считали как наш скотовод. Им был нужен какой-то метод для того, чтобы запоминать своих овец и сообщать их число своим соседям, и потому они разрабатывали процедуры стандартизации. Поскольку было неудобно таскать с собой множество камешков, со временем, люди начали разрабатывать менее обременительные способы запоминания, наподобие нанесения зарубок на палочку, использования пальцев, или изобретениясчетных устройств типа китайского абака.
Какие способы счета и запоминания вы бы использовали, если бы устали от применения камешков и хотели делиться своей информацией с другими людьми? Зарубки на палочке хороши, но ваши руки, ноги, и пальцы более удобны и чем камешки, и чем палочки. Вы могли бы даже использовать в качестве стандартной совокупности суставы на своих пальцах либо свои конечности.
Какие конечности, суставы или пальцы вы бы использовали? Вы могли бы использовать свою голову и две руки, чтобы считать до 3, пальцы - чтобы считать от 1 до 10, пальцы на руках и на ногах, чтобы считать до 20, и суставы на пальцах рук и ног для больших чисел. Именно так делали наши предки, о чем сегодня можно судить по названию "цифра" (digit), которое означает "однозначное целое число" и происходит от латинского слова "палец". Сегодня английское слово "digit" означает "цифра", но также палец руки или ноги. Иными словами, некоторые из наших основных стандартных совокупностей или систем счета основаны на человеческом теле.
Когда мы считаем, мы также игнорируем
Далее рассматриваются некоторые из элементов, которые мы игнорируем или опускаем при счете.
Групповое разнообразие. Выбирая определенную совокупность в качестве "группы овец", мы маргинализируем значение других возможных групп, например, черных и коричневых овец, в составе выбранной совокупности.
Индивидуальное разнообразие. Решая считать каждую овцу в данной группе, мы маргинализируем различия между отдельными овцами в любой группе, то есть, игнорируем индивидуальные различия, как второстепенные. Например, утверждение, что все граждане США - "американцы" верно, но помните, что совокупность "американцы" игнорирует разнообразие стран Американского континента - таких, как Мексика, Бразилия, Чили, Канада, и т. д. Кроме того, маргинализируются отдельные субкультуры, живущие в США. И даже если мы соглашаемся считать всех людей во всех различных субкультурах во всех странах обоих Америк "американцами", мы все равно игнорируем отдельных людей в любой данной субкультуре, поскольку допускаем, что все они одинаковы.
Опыт процесса. Используя такие стандарты, как камешки или пальцы, мы забываем, что имеем дело с овцами. Мы говорим "пять (овец) вышли (на пастбище)", но больше не имеем никакого ощущения процесса, связанного с выходом каждой отдельной овцы - скорости, с которой они двигались, или чувства, которое мы к ним испытывали как к индивидуальным, потенциально чувствующим существам. Число "5" не передает ни одного из этих опытных измерений.
Неантропоидная тождественность. Антропоидный означает "человекоподобный". Используя тело в качестве стандарта, мы можем представлять пять овец знаком пяти пальцев. Теперь пять овец соответствую аспектам человеческого тела. Теперь знак пяти пальцев отождествляет овец с нашей человеческой анатомией или формой.
Оказывается, что десятичная система счета сегодня является наиболее универсальной числовой системой. Используя эту и другие системы, связанные с человеческим телом (например, основанные на счете до 3 или до 20), мы непреднамеренно допускаем, что человеческая форма - это стандартное мирило мира. Мы можем забывать, что используем самих себя для измерения мира; тем не менее, у нас имеются бессознательные антропоморфные допущения - то есть, мы допускаем, что мир можно представлять в терминах нас самих, в терминах человеческих существ.
Цель этого обсуждения - подчеркнуть тот факт, что каждый раз, когда мы считаем, мы используем числа и забываем или обесцениваем многие аспекты "процесса овец". Считая, мы можем думать, что делаем нечто объективное, однако при этом игнорируем многие аспекты природы, в том числе, нашу собственную психологию.
Мораль этой истории состоит в том, что, используя числа, мы занимаемся процессом маргинализации, который игнорирует чувственные выборы, переживания, и человеческое отождествление с событиями. Математика связана с многими тонкими моментами осознания, которые мы забыли.
Все, что мы считаем, связано с нашей психологией. Политики и специалисты по рекламе - а, по существу, все люди - используют числа, которые акцентируют определенные части информации и полностью игнорируют другие. Числа - это не просто количества: они представляют психологию человека или группы, выполняющих вычисление!
То, что я только что сказал, казалось, очень расстроило одну из студенток в моем математическом классе. Она беспокойно ерзала на своем стуле, а затем выпалила: "Ясно, что мы потеряли в результате счета, но что мы приобрели?".
Единственный удовлетворивший ее ответ состоял в том, что, благодаря числам, мы приобрели способность использовать краткие символические обозначения, которые мы можем разделять с другими людьми. Когда мы хотим описать, сколько овец прошло через ворота на пастбище, и нас интересует только общее число того, что наша культура считает значимой совокупностью овец, нам нужно всего лишь поднять пять пальцев на одной из наших рук. Мы приобрели сокращенный метод общения.