где а и b - комплексные числа, которые могут принимать любые значения, удовлетворяющие условию нормировки |а|+ |b|= 1. Можно сказать, что кубит с вероятностью |а| находится в состоянии |0ñ и с вероятностью |b| - в состоянии |1ñ. Это обобщение классического бита, который является предельным случаем кубита при |а|= 1, либо |b|= 1.
Состояние |0ñ = |↑ñ = (1, 0) - это вектор-столбец (спин-вверх); состояние |1ñ = |↓ñ = (0, 1) тоже вектор-столбец, но спин-вниз.
2.6. Волновая функция
Довольно часто в качестве синонима словосочетания "вектор состояния" используют термин "волновая функция". Но различие между ними есть, и я хочу немного пояснить этот момент. Термин "волновая функция" я стараюсь не употреблять, поскольку под ним обычно подразумевается, что вектор состояния является функцией координат и времени. То есть предполагается, что, по умолчанию, в качестве "абсолюта" нам задан пространственно-временной континуум. Лично я считаю, что описание в терминах волновой функции - это не квантовая теория, а классическая, в лучшем случае - полуклассическая с незначительными элементами квантового формализма. В аксиоматике квантовой теории просто нет такого понятия, как пространственно-временные координаты, и в самодостаточной квантовой теории различные пространственно-временные континуумы получаются лишь как естественное следствие процесса декогеренции нелокального источника реальности.
Я предпочитаю использовать термин "вектор состояния" как функции внутренних степеней свободы системы. Использовать для описания системы не внутренние, а внешние ее характеристики относительно какой-либо выбранной системы отсчета я считаю, мягко говоря, некорректным. Тем более что для замкнутой системы, описываемой вектором состояния (волновой функцией), просто по определению не может существовать никакой внешней системы отсчета, так как, строго говоря, в случае чистого состояния (замкнутой системы) нет никакого внешнего тела, с которым можно было бы ее связать. Кстати, часто именно при таком некорректном подходе возникают так называемые "парадоксы" квантовой теории, типа парадокса ЭПР-пары, когда смешивают внешние и внутренние степени свободы системы (координаты и спин). Естественно, что внутренние степени свободы в данном случае не зависят от внешних (спин не зависит от координат), и можно по внешним степеням свободы систему усреднить. При этом получается "парадоксальный" на первый взгляд результат, согласно которому спиновые степени свободы скоррелированны независимо от расстояния между составными частями системы.
Ничего удивительного здесь нет. Если вы хотите разрешить парадокс, то будьте добры забыть о том, что замкнутая система имеет внешние координаты, и описывайте процесс ее "деления" на части как внутренний. Лишь тогда возникают локальные пространственно-временные координаты как внутренние характеристики самой системы, точнее, характеристики взаимодействия ее подсистем, когда с какой-либо одной из них связывается система отсчета. И внешние степени свободы здесь действительно не имеют значения, с небольшим уточнением - до тех пор, пока мы рассматриваем нашу систему как замкнутую, пока она не начнет "чувствовать", что она не одна в этом мире.
В макроскопическом мире спиновые степени свободы достаточно хорошо изолированы от других, поэтому они довольно долго "живут" в своем локальном "параллельном" пространстве-времени, пока оно не пересечется и не "схлопнется" с окружением. Для спиновой системы между ее составными частями может и не быть никакого дальнодействия- это будет обычное взаимодействие, но в своем пространстве-времени. Если внутренние степени свободы системы не находятся в максимально запутанном состоянии, то они будут хотя бы частично локализованы, и сформируется локальный пространственно-временной континуум. Но для нас это все равно будет выглядеть как дальнодействие, как следствие существенного различия в метриках пространства-времени для спиновой системы и нашего мира.
Таким образом, описание в терминах волновой функции само по себе уже является полуклассическим. Например, в шредингеровском представлении предполагается наличие канонических координат и импульсов. Обычно так и пишут:"Рассмотрим динамическую систему с n степенями свободы, имеющую классический аналог (выделено мной. - С. Д. ) и, следовательно, описываемую каноническими координатами и импульсами".
Полноценное квантовое описание и несепарабельные состояния не имеют классического аналога. Волновая функция - это частный случай, лишь одно из возможных представлений вектора состояния, максимально приближенное к классическому описанию системы (частицы) в терминах сепарабельных состояний. Это представление, которое предполагает "отделимость", например, по координатам в шредингеровском представлении.
Естественно, что такое сепарабельное представление волновой функции создает сложности в описании и понимании физических состояний, которые могут находиться в нелокальном состоянии. Частица может быть "размазанной" в нашем трехмерном пространстве или расщеплена на несколько когерентных пучков (например, в случае с фотонами), и, если мы хотим приписать ей какую-то конкретную координату (траекторию), несложно сообразить, что сделать это невозможно. Например, частица проходит через две щели одновременно, причем, если мы начнем следить, через какую щель она прошла, то нарушим когерентность, частица локализуется (произойдет редукция волновой функции), но после этого интерференция наблюдаться уже не будет.
Поэтому ученым приходилось считать, что волновая функция характеризует лишь вероятности обнаружения частицы в той или иной точке пространства. Предполагалось, что волновая функция (волновой пакет) распределена во всем пространстве (иначе как учесть нелокальность), но описывает она не координаты самой частицы (которой и нет в нелокальном случае), а вероятность ее "проявления" в том или ином месте.
Отсюда так называемый корпускулярно-волновой дуализм, истоки которого в том, что частица может находиться в нелокальном состоянии, а в зависимости от ситуации (от наших приборов) вести себя и как частица, и как волна. Сложность понимания дуализма связана с тем, что частица действительно "распылена" во всем нашем пространстве-времени, точнее, ее просто нет в нашем классическом мире - ни в виде материи, ни в виде поля. Она может "проявиться" в том или ином виде лишь при декогеренции (редукции волновой функции), при взаимодействии с окружением (приборами). Таким образом мы ее буквально "вытаскиваем с того света" (из квантового домена реальности) в наш предметный мир. А до этого она нелокальна и находится в мире "потустороннем", запредельном относительно материального мира, и это ее вполне нормальное физическое состояние наряду с локальным, которое нам более привычно. Многим физикам такое необычное состояние казалось противоестественным, непривычным, поэтому они стремились хотя бы при ее описании вернуть частицу из "потустороннего мира" в привычный мир материальных объектов.
Вероятностное истолкование волновой функции решало еще одну проблему. В случае, когда система при декогеренции скачком переходит в новое состояние, то волновая функция мгновенно перестраивается в соответствии с этим переходом. Такая редукция приводила бы к противоречиям с требованиями теории относительности, если бы волновые функции представляли собой обычные материальные волны, например электромагнитные. Действительно, в этом случае редукция волновой функции означала бы существование сверхсветовых (мгновенных) сигналов. Вероятностное истолкование снимало это затруднение.
Подчеркну еще раз, что волновая функция дает сведения о вероятности нахождения одной частицы в данном месте, а не о вероятностном числе частиц в этом месте. Только такая точка зрения позволяет адекватно описать физические эксперименты, например, по интерференции, причем каждая частица (например, фотон) интерферирует лишь сама с собой. Интерференции между двумя разными фотонами никогда не происходит.
2.7. Представления вектора состояния
Как уже было сказано, в аксиоматике квантовой механики нет таких понятий, как координата и время. Они могут появиться в одном из представлений, когда мы переходим к нему (например, шредингеровскому) от теоретических абстрактных понятий квантовой механики: вектора состояния, линейных операторов и т. д. Но одно из представлений - это далеко не вся квантовая теория. На мой взгляд, об этом неплохо пишет Дирак в "Принципах квантовой механики" в главе III, которая так и называется "Представления".
Он говорит примерно следующее: после того, как введены основные понятия квантовой механики - вектор состояния, линейный оператор и т. д., встает вопрос о выборе наиболее удобного способа "манипулирования" этими теоретическими, абстрактными объектами. Обычно с этими абстрактными величинами бывает удобно сопоставить числа или совокупность чисел и далее работать уже с этой совокупностью чисел.
Такой переход аналогичен введению в геометрии координат, которые позволяют использовать для решения геометрических задач мощные математические методы.
Естественно, что способ, согласно которому абстрактные величины заменяются числами, не является единственным, подобно тому, как в геометрии можно выбрать много различных координатных систем. В квантовой теории каждый такой способ называется представлением, а совокупность чисел, заменяющих абстрактную величину, - представителем этой абстрактной величины в данном представлении. Таким образом, представитель, например, вектора состояния аналогичен координатам геометрического объекта. Если нужно решить какую-то конкретную квантовую задачу, то можно облегчить работу, выбрав представление так, чтобы представители существенных для данной задачи абстрактных величин имели наиболее простой вид.
Далее Дирак говорит о волновой функции как об одном из представлений вектора состояния, как функции отдельных наблюдаемых. В IV главе (п. 22) он рассуждает о шредингеровском представлении, в котором сделано предположение, что все координаты являются наблюдаемыми и имеют сплошной спектр собственных значений. В этом представлении все координаты диагональны (предполагается их сепарабельность) и составляют полный набор коммутирующих наблюдаемых для данной динамической системы.
При решении каких-то отдельных простых задач такое представление будет оправдано, но для других задач, более сложных, оно может работать плохо, поскольку изначально была введена классичность системы, ее сепарабельность (отделимость) по координатам. Фейнман, например, попытался обойти этот момент, вводя интегралы по путям, но он боролся со следствием "кривой" изначально сепарабельной предпосылки, а не с причиной. В моем понимании это тоже полуклассический подход. Если изначально, волевым усилием, "с потолка" вводится сепарабельность (например, по координатам), то этот подход нельзя считать чисто квантовым. Он аналогичен ансамблевой интерпретации, когда одно квантовое суперпозиционное состояние заменяется набором классических состояний. Так же и в этом случае эволюция одного квантового состояния заменяется набором классических эволюций, интегралом по всем возможным классическим траекториям между двумя точками в конфигурационном пространстве. Поскольку сепарабельность координат волновой функции заложена изначально, то, чтобы описать квантовую эволюцию состояния, приходится заменять координаты хотя бы их классической смесью. Иногда это срабатывает, но в таких случаях нужно понимать, что мы делаем и с какой целью. По аналогии с многомировой интерпретацией можно, наверное, сказать, что интегралы по путям Фейнмана - это "многокоординатная" интерпретация квантовой механики для волновой функции.
С математической точки зрения на квантовую теорию сейчас все чаще смотрят как на разложение единицы (ортогональное или неортогональное) в гильбертовом пространстве состояний самой системы в каком-либо базисе. С использованием супероператоров POVM (positive operator value measure) такое разложение возможно не только для чистого состояния (замкнутой системы), но и для открытых систем, взаимодействующих со своим окружением. Базис для разложения вектора состояния может быть выбран любой, в общем случае необязательно даже, чтобы базисные векторы были независимы и ортогональны. Существует бесконечное число различных представлений вектора состояний, и базис из пространственных координат не всегда является лучшим выбором. Выбор базиса зависит от конкретной задачи. Во многих случаях можно ограничиться другими представлениями вектора состояния, например, спиновым представлением, что обычно сейчас и делается при решении многих задач.
Замечу, что спин является внутренней характеристикой самой системы, в то время как пространственные координаты - характеристика внешняя, не имеющая отношения к самому объекту (его внутренним степеням свободы). В спиновом представлении несепарабельность спиновых состояний - обычное дело, и здесь не нужны никакие полуклассические "извращения". И я считаю, что, по возможности, желательно иметь дело с внутренними степенями свободы системы, особенно в случае чистого состояния.
2.8. Сепарабельные и несепарабельные состояния
Но если описание в терминах волновых функций отнести к классической физике, то что же тогда физика квантовая? Где тот водораздел, который четко и однозначно позволяет отделить классическое описание от квантового? Естественно, это не наличие в уравнениях постоянной Планка, не дуализм волна/частица и т. д. Но что тогда? Ответ на этот вопрос сейчас известен уже не только физикам, но и философам. Я могу сослаться на философскую статью, которая, как я считаю, неплохо поясняет, в чем суть основного отличия классической физики от квантовой.
Даже философы начинают понимать, что принципиальное отличие квантовой физики от классической заключается в том, что в квантовой теории учитываются несепарабельные состояния. Автор довольно четко проводит границу между квантовой и классической физикой, совершенно справедливо связывая последнюю с сепарабельными состояниями, относя к ней и все полевые теории, в которых изначально предусмотрено наличие внешних пространственно-временных координат. Все теории физического вакуума и т. д. - это классическая физика, поскольку в них предполагается, что физический вакуум существует в неком пространственно-временном континууме. Иными словами - классический принцип сепарабельности, "отделимости" различных областей физического вакуума заложен в само это понятие изначально. Я бы сказал больше: даже если бы была разработана некая всеобъемлющая Единая Теория Поля, которая, однако, исходила бы из предположения, что это Поле существует в неком внешнем, "абсолютном" пространственно-временном континууме, - то это все равно была бы классическая физика, и до квантовой теории ей было бы далеко.
В. Каракостас сразу указывает на известный фундаментальный принцип, на котором держится вся классическая физика. Суть его такова: любая составная физическая система классической реальности может быть представлена, как состоящая из сепарабельных (отделимых) индивидуальных частей, взаимодействующих посредством сил, которые "закодированы" в гамильтоновой функции полной системы. И, если полный гамильтониан известен, то максимальное знание физических количественных величин, имеющих отношение к каждой из этих частей, приводит к исчерпывающему знанию целой составной системы. Другими словами, классическая физика подчиняется принципу сепарабельности (отделимости), который может быть сформулирован следующим образом.
Принцип сепарабельности: состояния любых сепарабельных (отделимых) по пространству и времени подсистем S1, S2…, SN составной системы S индивидуально хорошо определены, так же и состояния составной системы целиком и полностью определены ее подсистемами и их физическими взаимодействиями, включая их пространственно-временные отношения.