Предсказуема. В принципе. На практике вы не знаете ни линейную скорость, ни быстроту вращения, а исход броска очень зависит от обоих параметров. Как только вы подбросили монетку, ее судьба уже предопределена (если не учитывать ветер, пробегающую мимо кошку и другие привходящие обстоятельства). Но поскольку вам не известна ни линейная скорость, ни быстрота вращения, вы понятия не имеете, каков будет неизбежный исход броска, даже если вы умеете молниеносно проделывать вычисления в уме.
То же самое и с игральной костью. Ее можно представить себе как подпрыгивающий куб, чье поведение тоже подчинено законам классической механики и описывается определенными уравнениями. Если с достаточной точностью отследить начальное движение кубика и достаточно быстро сделать нужные расчеты, можно совершенно точно предсказать результат. Что-то подобное удалось проделать для рулетки. Точность прогноза здесь меньше (предсказывается, на какой половине колеса остановится шарик), но она достаточно высока, чтобы выиграть, да и результаты предсказаний не должны быть идеальными, чтобы разорить казино.
Следовательно, Альберт Эйнштейн выбрал неверную метафору, когда подверг сомнению случайный характер квантовой механики, отказываясь верить, будто Бог играет в кости. Ему следовало бы в это поверить. А затем он мог бы задаться вопросом, как ведут себя эти игральные кубики, где они расположены и каков реальный источник квантовой "случайности".
У проблемы есть и более глубинный слой. Предсказать исход броска игральной кости трудно не только из-за того, что мы толком не знаем начальных условий броска. Мешает еще и своеобразная природа процесса – хаотическая.
Хаос на самом деле не носит случайного характера. Но точность любых измерений, какие мы можем сделать, имеет пределы, а значит, для нас хаос непредсказуем. В случайной системе прошлое не оказывает влияния на будущее. В хаотической системе прошлое все-таки влияет на будущее, только вот расчеты, которые позволили бы нам оценить величину этого эффекта, чрезвычайно чувствительны по отношению к малейшим ошибкам наблюдения. Каждая изначальная ошибка, пусть даже очень небольшая, затем так стремительно разрастается, что совершенно разрушает прогноз.
С броском монетки что-то похожее: достаточно серьезная ошибка при измерении начальной линейной скорости и начальной быстроты вращения лишит нас возможности заранее узнать результат броска. Но монетка не является "истинно хаотической", поскольку, пока она вращается в воздухе, ошибка растет относительно медленно. В по-настоящему хаотической системе ошибка растет очень быстро – по экспоненте. Острые углы игральной кости, вступающие в дело, когда идеальный математический куб отскакивает от плоской поверхности стола, дают именно такого рода экспоненциальное расхождение. Поэтому игральная кость кажется "случайной" по двум причинам: из-за человеческого незнания начальных условий, как с монеткой, и из-за хаотической, хотя и детерминированной динамики (т. е. в данном случае предопределенной, четко подчиняющейся физическим законам, которые позволяют точно предсказать конкретные результаты).
Все, что я до сих пор говорил, опиралось на ту или иную математическую модель, которую мы выбрали для описания процесса. Но зависит ли (не) случайный характер той или иной физической системы от модели, которую мы используем?
Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним первый большой успех применения случайных моделей в физике. Речь идет о статистической механике. Эта теория лежит в основе термодинамики (по сути, физики газов), чье появление в известной степени мотивировалось необходимостью создавать более эффективные паровые двигатели. Какой максимальной эффективности может достичь паровая машина? Термодинамика ставит тут очень четкие и специфические ограничения.
На заре термодинамики главное внимание обращали на "крупномасштабные" переменные – объем, давление, температуру, количество теплоты. Все эти переменные связаны между собой "газовыми законами". К примеру, закон Бойля – Мариотта гласит, что произведение давления газа на его объем постоянно при данной температуре. Закон совершенно детерминистичен: зная объем, можно вычислить давление, и наоборот.
Однако вскоре стало очевидно, что физика газов на атомарном уровне, лежащая в основе газовых законов, носит, в сущности, случайный характер: молекулы газа беспорядочным образом отскакивают друг от друга. Людвиг Больцман первым стал изучать, как это отскакивание молекул (представляемых в рамках его модели как крошечные твердые сферы) соотносится с газовыми законами (и со многим другим). Согласно его теории, классические переменные – давление, объем и температура – представлены как статистические средние, что заставляет предположить присущий системе случайный характер. Обоснованно ли такое предположение?
Бросание монетки и игральной кости в основе своей детерминированы. То же самое касается и системы, состоящей из огромного количества маленьких круглых сфер. В этом космическом бильярде каждый шар подчиняется законам механики. Если известны исходное положение и скорость каждой сферы, последующее движение будет полностью предопределено. Но Больцман и не пытался следить за точным маршрутом каждой сферы. Он сделал допущение, что позиции и скорости сфер носят "статистический" характер, без какой-то склонности к движению в том или ином определенном направлении. Так, давление – это мера усредненной силы, которая возникает, когда шарики отскакивают от внутренней поверхности стенок сосуда, где они находятся, если предположить, что каждая сфера с одинаковой вероятностью двигается в любом направлении.
Статистическая механика описывает движение большого количества сфер статистическими величинами – такими как "среднее". Иными словами, она использует случайную модель на микроуровне, чтобы объяснить детерминированную модель на макроуровне. Корректен ли такой подход?
Да, хотя Больцман этого тогда и не знал. По сути, он сделал два допущения: движение сфер хаотично и хаос этот особого рода – порождающий "среднее состояние", которому можно дать четкое определение. Из этих идей впоследствии вырос целый раздел математики – эргодическая теория. В ходе развития математики гипотеза Больцмана превратилась в широко известную теорему.
Таким образом, произошел удивительный сдвиг точки зрения. Детерминированная модель (газовые законы) усовершенствовали до случайной (с крошечными сферами), а затем эту случайность математически обосновали как следствие детерминированной динамики.
И все-таки носит ли поведение газов случайный характер? Всё зависит опять-таки от точки зрения. Одни аспекты их поведения лучше описываются статистически, другие – детерминировано. Общего ответа нет, все зависит от контекста. И эта ситуация вовсе не является такой уж необычной. При решении некоторых задач (например, при расчетах характеристик воздушных потоков вокруг космического челнока) жидкость или газ можно рассматривать как единое целое, как некий континуум, подчиняющийся определенным законам. В других ситуациях, например при изучении броуновского движения (беспорядочного перемещения частиц взвеси, вызванного столкновениями с атомами), следует принимать в расчет атомарную природу жидкости или газа, и здесь годится больцмановская модель в каком-то из ее современных вариантов.
Итак, в нашем распоряжении две различные модели, между которыми есть математическая связь. Никакая из них не описывает реальность полностью и исчерпывающе, но каждая все-таки дает неплохое ее описание. Бессмысленно было бы утверждать, что реальность сама по себе "случайна" или "не случайна": случайность – математическая характеристика, отражающая то, как мы описываем систему, а не характеристика системы как таковой.
Значит, в мире нет ничего по-настоящему случайного? Пока мы не разберемся в основах квантового мира, сказать наверняка нельзя. Согласно наиболее распространенным интерпретациям, квантовая механика строится на допущении, что где-то очень глубоко, на субатомном уровне, Вселенная носит по-настоящему случайный характер, и ее нельзя дальше членить на какие-то детерминированные процессы. Тут совсем не как с моделью термодинамической случайности, где участвуют твердые сферы и где статистические свойства объясняются нашим (неизбежным) неведением точного положения и состояния всех этих шариков. Здесь нельзя по принципу аналогии построить какую-то "модель системы в миниатюре" с немногочисленными параметрами, которые, если мы их только узнаем, позволят нам разгадать тайну. Просто не существует никаких "скрытых переменных", чье детерминированное, но хаотическое поведение управляло бы броском квантовой игральной кости. Квантовый мир случаен – и точка. Или?..
В пользу предположения о случайном характере квантового мира явно говорит один математический довод. Еще в 1964 году Джон Белл придумал, как проверить, случайны ли процессы в квантовой механике или же она управляется скрытыми переменными, то есть, по сути, квантовыми свойствами, которые мы пока просто не научились наблюдать. В основу работы Белла легла идея о двух квантовых частицах (таких как электроны), которые после взаимодействия разводятся на огромное расстояние.
Проделайте определенные измерения параметров этих разделенных частиц, и вы сможете определить, что же управляет их свойствами – случайность или скрытые параметры. Ответ на этот вопрос очень важен: он позволит выяснить, способны ли квантовые системы, которые уже взаимодействовали в прошлом, затем влиять на свойства друг друга, даже находясь на противоположных концах Вселенной.
По мнению большинства физиков, эксперименты, базирующиеся на работе Белла, подтвердили, что в квантовых системах правит случайность и загадочное "действие на расстоянии". Многим ученым, судя по всему, так страстно хочется объявить о фундаментальной роли случайности в квантовой теории, что они стараются уклониться от любых попыток дальнейшего обсуждения вопроса. А жаль. Ведь работа Белла, при всей своей блистательности, не столь убедительна, как им представляется.
Здесь кроется целый ряд сложных проблем, но главное вот в чем. Математические теоремы строятся на допущениях. Свои основные допущения Белл перечисляет открыто, но доказательство его теоремы подразумевает и кое-какие неявные допущения, которые далеко не все готовы признать. Кроме того, в экспериментах, основанных на работе Белла, нашлись "дырки". По большей части эти "дырки" носят технический характер (в частности, они связаны с эффективностью детектирования и погрешностями эксперимента), но здесь есть и философские аспекты. Так, условия эксперимента предполагают, что человеческие существа, выполняющие опыт, свободны в выборе его параметров. Между тем возможно (хоть и, как нам кажется, маловероятно), что некая внешняя сила координирует и контролирует все составляющие эксперимента, в том числе и самих экспериментаторов.
Итак, несмотря на все колоссальное давление преобладающего в науке мнения, дверь для детерминистического объяснения квантовой неопределенности по-прежнему открыта. Дьявол, как всегда, кроется в деталях. Может оказаться трудно или даже вообще невозможно проверить такую теорию, но мы попросту не в состоянии знать это заранее. Возможно, она не особенно изменит квантовую механику (подобно тому, как модель с твердыми сферами не очень изменила термодинамику), но вдруг она позволит нам совершенно по-новому взглянуть на многие озадачивающие нас сегодня проблемы. Кроме того, в результате квантовая теория может вновь занять место среди других статистических научных теорий, с каких-то точек зрения нося случайный характер, а с каких-то – детерминистический.
Пока же, если оставить в стороне квантовый мир, совершенно ясно: на самом-то деле такой штуки, как случайность, не существует. Практически все эффекты, которые кажутся нам случайными, возникают не из-за того, что природа непредсказуема, а из-за человеческого невежества или других видов ограниченности нашего знания о мире. Эта мысль не нова. Еще Александр Поуп в своем "Опыте о человеке" писал:
Заключено в природе мастерство,
Хоть не способен ты постичь его,
И случай в себе промысел таит,
Который вечно от тебя сокрыт.
В разладе лад, не явленный земле,
Всемирное добро в частичном зле.
Математики не занимаются проблемами добра и зла, но во всем остальном Поуп оказался прав, и теперь ученые отлично понимают, почему.
Закон средних
Однажды, подбрасывая самую обыкновенную монетку, я получил 17 орлов подряд. Вероятность такого события составляет 1/131 072. Теперь решкам наверняка надо как-то "подтянуться" – и при следующем броске именно решка выпадет с большей вероятностью?
Нет. Вероятность выпадения орла и решки при следующем броске одинакова. То же самое касается и всех дальнейших бросков. В очень длинной последовательности бросков общая доля орлов и решек должна быть очень близка к 50 % – к "распределению поровну". Можно ожидать, что на каждые два миллиона бросков в среднем придется по миллиону орлов и по миллиону решек.
Хотя 17 очень отличается от нуля, 1 000 017 ближе к миллиону, чем к нулю: их отношение составляет 1,000017, число очень близкое к единице. Решки не "подтягиваются" к орлам: последующий миллион бросков затмевает немногочисленные первые броски, и чем больше вы будете подкидывать монетку, тем менее значительной будет становиться эта изначальная разница между количеством выпавших орлов и решек.
Схожая картина – с тем, насколько часто выпадают те или иные номера в Британской национальной лотерее. В течение какого-то периода номер 13 выпадал сравнительно редко, тем самым укрепляя суеверных игроков в убеждении, будто 13 – несчастливое число. Поэтому некоторые ожидали, что в будущем 13 станет выпадать чаще. Другие же полагали, что это число и дальше будет подтверждать свою "черную" репутацию. Математические законы вероятностей, подкрепленные бесчисленными экспериментами, говорят о том, что оба лагеря заблуждаются. В будущем у каждого номера по-прежнему одни и те же шансы на то, чтобы оказаться выбранным. Лототрон обращается со всеми шарами одинаково и вообще не "знает", какие на них номера.
Парадоксальным образом это не значит, что в действительности все номера будут выпадать с совершенно равной частотой. Абсолютное равенство здесь крайне маловероятно. Следует ожидать, что мы увидим некие колебания вокруг среднего значения. В этом раскладе будут и номера-победители, и номера-аутсайдеры.
Математики даже предсказывают размах и вероятность таких флуктуаций. Однако ученые не в состоянии дать прогноз, какие номера окажутся в числе победителей, а какие – в числе проигравших. Заранее можно лишь сказать, что победителем и проигравшим может оказаться практически любой номер, и вероятности здесь практически равны для всех номеров.
Должно ли это произойти?
Рассматривать абстрактные понятия случайного очень приятно, однако наша повседневная жизнь блестяще умеет налагать ограничения на то, что должно бы считаться случайными событиями. Скрестите случайность с реальным миром, и вы получите причудливые и необычные математические следствия, имеющие глубинную связь с явлениями природы. Порой даже кажется, что случайность при этом словно исчезает, говорит Роберт Мэтьюз.
Многие страшатся непонятных совпадений, которые вдруг проступают в случайном узоре повседневных событий. Но всякий знает, что случайность – это сама суть беспорядка, где нет осмысленного рисунка и четких закономерностей. А потому в таких совпадениях ничего особенного нет.
Однако это не так. Вглядитесь как следует в туман случайности, и вы, быть может, разглядите в нем регулярность и универсальные истины, хотя все это мы чаще склонны приписывать глубинному космическому порядку. В чем же тут дело? А вот в чем. То, что мы называем случайностью, обычно является просто версией реальной случайности, только на цепи и в наморднике. Принужденная действовать в рамках определенных пределов, заданных ограничениями того мира, где мы живем, случайность отбрасывает небольшую долю своей хваленой математической беззаконности. Доля эта невелика, и эффект обычно крайне мал. Но иногда он становится ясным как день и даже шокирующим – если вы знаете, куда смотреть.
Возьмем лотерейные номера. Беглый взгляд на комбинации, выпавшие в прошлом, не выявляет ничего, кроме случайности.
Но если всмотреться, начнут проступать мельчайшие крупицы упорядоченности: там – пара последовательных чисел, тут – череда простых чисел.
Но лотерею никто не "подкручивает": регулярно проводится статистическая проверка, чтобы исключить возможность мошенничества со стороны организаторов. Что же происходит? Перед нами пример реванша случайности. Она мстит за то, что ее обуздали. По-настоящему случайные числа не знают границ, а вот лотерейные номера лишены столь безбрежной свободы. Их царство простирается лишь от 1 до 49. А когда случайность помещают в столь тесные рамки, допускающие возможность лишь некоторых исходов, она утрачивает часть своей абсолютной беззаконности и непредсказуемости. Она вынуждена подчиниться теории вероятностей, которая описывает поведение бесконечно случайного в конечном мире.
Так, в лотерее с 49 шарами, согласно теории вероятностей, наборы с "аномальной" (как нам кажется) комбинацией номеров будут появляться примерно в половине всех розыгрышей. Когда случайности приходится распределять свои сюрпризы по ограниченному количеству результатов, следует ожидать неожиданного.
Возьмите произвольный уикенд футбольного сезона в любом году и в любой стране – скажем, 14–15 августа 2004 года в английской премьер-лиге. В эти дни 20 команд сражаются друг с другом в 10 матчах. В половине матчей хотя бы у двух игроков, вышедших на поле, будет совпадать день рождения (без учета года). Странное совпадение? Вовсе нет. Теория вероятностей демонстрирует, что когда случайность вынуждена разбросать дни рождения 22 игроков, участвующих в каждом матче (без учета замен), среди 365 дней года (для простоты не будем рассматривать високосные годы), шансы на то, что хотя бы два игрока, участвующие в матче, отмечают день рождения одновременно, составят приблизительно 50:50. Иными словами, в примерно половине из 10 матчей, сыгранных в этот уик-энд, по меньшей мере у двух игроков должен совпадать день рождения. И что же? В действительности именно это и наблюдается.
Теория вероятностей предсказывает такие же шансы (примерно 50:50) на то, что по меньшей мере один игрок из 230, вышедших на поле в этот уикенд, будет отмечать день рождения в день матча. В описываемые дни таких нашлось даже два: Джей-Джей Оокча из Bolton Wanderers и Джонни Джексон из Tottenham Hotspur.