Все простые числа, за исключением числа 2, нечетные (поскольку все четные числа по определению кратны двум), поэтому два последовательных числа (за исключением пары 2, 3) не могут оба быть простыми. Однако два числа, различающиеся на 2, могут: например, пары (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19); несложно найти и еще варианты. Такие пары простых чисел называются простыми числами-близнецами.
Предположение о том, что существует бесконечное число пар простых чисел-близнецов, высказано давно, но до сих пор не доказано. До недавнего времени прогресс в этом вопросе был минимальным, но в 2013 г. Чжан Итан поразил математический мир заявлением о том, что он мог бы доказать, что существует бесконечное число пар простых чисел, которые различаются между собой не более чем на 70 млн. После этого его статья была принята к публикации ведущим журналом теоретической математики Annals of Mathematics. Возможно, это утверждение звучит слабовато по сравнению с гипотезой о простых числах-близнецах, но впервые кому-то удалось показать, что бесконечное число простых чисел различается между собой не более чем на некоторую фиксированную величину. Если бы 70 млн можно было как-нибудь ужать до 2, это решило бы проблему гипотезы о простых числах-близнецах.
Сегодня математики все чаще пользуются Интернетом, чтобы объединить силы в работе над какой-нибудь задачей, и Теренс Тао организовал коллаборацию, целью которой стало снижение числа 70 млн до чего-нибудь поменьше. Он сделал это в рамках проекта Polymath – системы, созданной для содействия работам такого рода. По мере того как математики лучше понимали методы Чжана, число сдавалось. Джеймс Мэйнард снизил число 70 млн до 600 (и даже до 12, если принять еще одно предположение, известное как гипотеза Эллиота – Халберстама). К концу 2013 г. новые идеи Мэйнарда снизили это число до 270.
Это пока не 2, но намного ближе к делу, чем 70 млн.
Проблема Гольдбаха для нечетных
Вторая загадка, связанная с простыми числами и нашедшая, наконец, решение (вероятно!), восходит к 1742 г., когда немецкий математик-любитель Христиан Гольдбах написал Леонарду Эйлеру письмо, содержавшее несколько наблюдений над простыми числами. Одно из них выглядело так: «Любое целое число, большее 2, можно записать как сумму трех простых чисел». Эйлер тогда вспомнил предыдущую беседу, в которой Гольдбах сделал родственное предположение: «Любое четное целое число есть сумма двух простых чисел».
При господствовавшем на тот момент представлении, что 1 – целое число, из второго заявления следует первое, поскольку любое число может быть записано либо как n + 1, либо как n + 2, где n – четное. Если n есть сумма двух простых чисел, то число, о котором идет речь, есть сумма трех простых чисел. Эйлер сказал: «Я рассматриваю это [второе утверждение] как полностью верную теорему, хотя и не могу доказать ее». Надо сказать, что эти слова довольно точно характеризуют состояние проблемы на сегодняшний день.
Однако мы уже не считаем 1 простым числом, о чем говорилось выше. Потому мы сегодня разбиваем задачу Гольдбаха на две отдельные гипотезы.
Бинарная проблема Гольдбаха утверждает:
«Всякое четное число, большее 2, есть сумма двух простых чисел».
Тернарная проблема Гольдбаха (или проблема Гольдбаха для нечетных) гласит:
«Всякое нечетное число, большее 5, есть сумма трех простых чисел».
Из бинарной гипотезы следует тернарная, но не наоборот.
С годами нескольким математикам удалось добиться прогресса в этих вопросах. Самым сильным результатом по бинарной гипотезе, возможно, является результат Чэнь Цзинжуня, который доказал в 1973 г., что всякое достаточно большое четное целое число есть сумма простого и полупростого чисел (полупростое число – это либо простое число, либо произведение двух простых чисел).
В 1995 г. французский математик Оливье Рамаре доказал, что всякое четное число есть сумма не более шести простых чисел, а всякое нечетное число – сумма не более семи простых чисел. Среди специалистов стало крепнуть мнение, что проблема Гольдбаха для нечетных близка к решению, и они оказались правы: в 2013 г. Харальд Хельфготт объявил о доказательстве с применением связанных методов. Математики до сих пор проверяют его результат, но он, кажется, до сих пор держится. Из доказанной (будем надеяться) тернарной проблемы следует, что любое четное число есть сумма не более чем четырех простых чисел (если n – четное, то n – 3 – нечетное, а значит, сумма трех простых – q + r + s, поэтому n = 3 + q + r + s, то есть сумма четырех простых чисел). Это близко к бинарной проблеме Гольдбаха, но маловероятно, что ее удастся доказать полностью при помощи нынешних методов. Так что развиваться еще есть куда.
Загадки простого числа
В математике есть свои тайны и загадки, и ученые, которые пытаются их разгадать, зачастую похожи на детективов. Они ищут зацепки, занимаются логической дедукцией, делают выводы и ищут доказательства собственной правоты. Как в делах Сомса, важнейший шаг в исследовании – это понять, как и с какого конца начать и какая линия рассуждений может привести к успеху. Во многих случаях мы до сих пор этого не знаем. Возможно, такое заявление звучит как признание собственного невежества, и в какой-то степени это действительно так. Но это заявление означает также, что новая математика до сих пор ждет своего открытия, а значит, эта область науки не вычерпана досуха. Простые числа – богатый источник правдоподобных предположений, о верности или ошибочности которых мы ничего не знаем. Вот некоторые из них. Во всех случаях pn обозначает n-е простое число.
Гипотеза Аго-ДжугиЧисло p является простым в том, и только том случае, если pBp − 1 + 1 делится на p, где Bk – это k-е число Бернулли (Takashi Agoh, 1990 г.). Если вам по-настоящему интересно, информацию об этих числах можно посмотреть в Интернете. Приведем первые несколько вариантов:
А вот другое, эквивалентное утверждение: число p является простым в том, и только том случае, если
[1p − 1 + 2p − 1 + 3p − 1 + … + (p − 1)p − 1] + 1
делится на p (Guiseppe Giuca, 1950).
Контрпример, если таковой существует, должен иметь по крайней мере 13 800 знаков (David Borwein, Jonathan Borwein, Peter Borwein and Roland Girgensohn, 1996).
Гипотеза АндрикиЕсли pn – это n-е простое число, то
(Dorin Andrica, 1986).
Имран Гори использовал данные о наибольших промежутках между простыми числами, чтобы подтвердить эту гипотезу для n вплоть до 1,3002 × 1016. На рисунке вы можете видеть зависимость √(pn+1) – √pn от n для первых 200 простых чисел. Число 1 располагается в самом верху вертикальной оси, а все остальные пики, показанные на графике, – ниже. Они явно уменьшаются с увеличением n, но мы не можем быть уверены, что на каком-то очень большом n не наблюдается гигантский пик, превосходящий 1. Чтобы данная гипотеза оказалась ошибочной, где-то должен существовать особенно большой промежуток между двумя очень большими последовательными простыми числами. Это представляется весьма маловероятным, но и полностью исключить такой вариант пока невозможно.
Гипотеза Артина о первообразных корнях
Любое целое число a, не равное −1 и не являющееся полным квадратом, есть первообразный корень по модулю бесконечного числа простых чисел. То есть всякое число от 1 до p − 1 есть некая степень a минус некое число, кратное p. Существуют конкретные формулы для количественного соотношения таких простых чисел по мере их увеличения (Emil Artin, 1927).
Гипотеза БрокараПри n > 1 существует по крайней мере четыре простых числа между p² и p²n+1 (Henri Brocard, 1904). Ожидается, что это верно; более того, по идее должны быть верны куда более сильные утверждения.
Гипотеза Крамера
Промежуток pn+1 − pn между последовательными простыми числами для больших n не превосходит (ln pn)² с постоянным коэффициентом (Harald Cramér, 1936).
Крамер доказал аналогичное утверждение, в котором вместо (ln pn)² фигурирует при условии что верна гипотеза Римана – возможно, самая важная нерешенная проблема математики (см. «Кабинет…»).
Крамер доказал аналогичное утверждение, в котором вместо (ln pn)² фигурирует при условии что верна гипотеза Римана – возможно, самая важная нерешенная проблема математики (см. «Кабинет…»).
Гипотеза ФирузбахтаВеличина строго уменьшается (Farideh Firoozbakht, 1982 г.). Это означает, что для любого n. Это утверждение верно для всех целых чисел вплоть до 4 × 1018.
Первая гипотеза Харди – ЛиттлвудаПусть π2 (x) обозначает число простых чисел p ≤ x, таких, что p + 2 также простое число. Определим постоянную простых чисел-близнецов
(где символ П указывает на произведение по всем простым числам p ≥ 3). Тогда гипотеза заключается в том, что
где знак ~ означает, что данное отношение стремится к 1 по мере того, как n становится сколь угодно большим (Godfrey Harold Hardy and John Edensor Littlewood, 1923).
Существует также вторая гипотеза Харди – Литтлвуда (см. ниже).
Гипотеза ГилбрейтаНачнем с простых чисел
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
и вычислим разницу между соседними членами последовательности:
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …
Повторим те же вычисления для новой последовательности, не обращая внимания на знак, и продолжим в том же духе. Пять первых последовательностей будут выглядеть следующим образом:
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 2, …
Гилбрейт и Прот предположили, что первым членом каждой из этих последовательностей всегда будет 1, сколько бы раз мы ни повторяли процедуру (Norman Gilbreath, 1958, François Proth, 1978).
В 1993 г. Эндрю Одлизко проверил эту гипотезу для первых 3,4 × 1011 последовательностей.
Гипотеза Гольдбаха для четных чиселВсякое четное целое число, большее 2, можно выразить как сумму двух простых чисел (Christian Goldbach, 1742).
Т. Оливейра-и-Силва проверил эту гипотезу на компьютере для n ≤ 1,609 × 1018.
Гипотеза ГриммаКаждому элементу множества последовательных составных чисел можно поставить в соответствие отдельное простое число, которое является его делителем (C. A. Grimm, 1969).
К примеру, если взять составные числа 32, 33, 34, 35, 36, то им можно поставить в соответствие простые числа 2, 11, 17, 5, 3.
Четвертая проблема ЛандауВ 1912 г. Эдмунд Ландау перечислил четыре фундаментальные проблемы, связанные с простыми числами и известные в настоящее время как проблемы Ландау. Первые три – это гипотеза Гольдбаха (см. выше), гипотеза о простых числах-близнецах (см. ниже) и гипотеза Лежандра (см. ниже). Четвертая проблема выглядит так: существует ли бесконечно много простых чисел p, таких что p − 1 является полным квадратом? То есть p = x² + 1 для целого x.
Вот первые несколько таких чисел: 2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12 101, 13 457, 14 401 и 15 377. А вот пример побольше (но ни в коем случае не самый большой):
p = 1, 524, 157, 875, 323, 883, 675, 049, 535, 156, 256, 668, 194, 500, 533, 455, 762, 536, 198, 787, 501, 905, 199, 875, 019, 052, 101
x = 1, 234, 567, 890, 123, 456, 789, 012, 345, 678, 901, 234, 567, 890.
В 1997 г. Джон Фридлендер и Хенрик Иванец доказали, что существует бесконечно много простых чисел вида x2 + y4 для целых x, y. Первые из этого ряда: 2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401 и 457. Иванец доказал, что существует бесконечно много чисел вида x² + 1, имеющих не более двух простых множителей.
Близко, но не то.
Гипотеза ЛежандраАдриан-Мари Лежандр предположил, что для любого положительного n существует простое число, лежащее между n² и (n + 1)². Это утверждение могло бы быть следствием из гипотезы Андрики (см. выше) и гипотезы Опперманна (см. ниже). Из гипотезы Крамера (см. выше) следует, что гипотеза Лежандра верна для всех достаточно больших чисел. Известно, что она верна вплоть до 1018.
Гипотеза Лемуана, или гипотеза ЛевиВсе нечетные целые числа, большие 5, могут быть представлены как сумма нечетного простого числа и удвоенного простого числа (Émile Lemoine, 1894, Hyman Levy, 1963).
Д. Корбитт подтвердил эту гипотезу вплоть до 109.
Гипотезы МерсеннаВ 1644 г. Марен Мерсенн объявил, что числа 2n – 1 являются простыми для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 и составными для всех остальных положительных целых n<257. Позже было показано, что Мерсенн допустил пять ошибок: n = 67 и 257 дают составные числа, а n = 61, 89, 107 дают простые. Гипотеза Мерсенна привела к созданию новой гипотезы Мерсенна и гипотезы Ленстры – Померанца – Вагстаффа, которые значатся в нашем перечне следующими.
Новая гипотеза Мерсенна, или гипотеза Бейтмана– Селфриджа – ВагстаффаДля любого нечетного p если выполняются любые два из следующих условий, то выполняется и третье:
1. p = 2k ± 1 или p = 4k ± 3 для некоторого натурального числа k;
2. число 2p − 1 – простое (простое Мерсенна);
3. число (2p + 1)/3 – простое (простое Вагстаффа).
(Paul Bateman, John Selfridge and Samuel Wagstaff Jr., 1989)
Гипотеза Ленстры – Померанца – ВагстаффаСуществует бесконечное число простых Мерсенна, причем число простых Мерсенна, меньших x, приблизительно равно eγ ln ln x/ln 2, где γ – постоянная Эйлера, приблизительно равная 0,577 (Hendrik Lenstra, Carl Pomerance and Samuel Wagstaff Jr., не опубликовано).
Гипотеза ОпперманнаДля любого целого числа n>1 существует по крайней мере одно простое число между n (n – 1) и n² и по крайней мере еще одно простое число между n² и n (n + 1) (Ludvig Henrik Ferdinand Oppermann, 1882).
Гипотеза ПолиньякаДля любого положительного четного n существует бесконечное число пар последовательных простых чисел с разницей в n (Alphonsede Polignac, 1849).
Для n = 2 это утверждение соответствует гипотезе о простых числах-близнецах (см. ниже). Для n = 4 она означает, что существует бесконечно много пар «двоюродных простых чисел» (p, p + 4). Для n = 6 она означает, что существует бесконечно много пар простых чисел (p, p + 6), известных как sexy (от латинского названия числа 6); при этом между числами p и p + 6 простых чисел нет.
Гипотеза Редмонда – СуняВсякий интервал [xm, yn] (то есть любое множество чисел от xm до yn) содержит по крайней мере одно простое число, за исключением [2³, 3²], [5², 3³], [25, 6²], [11², 5³], [37, 13³], [55, 56²], [181², 215], [43³, 282²], [46³, 312²], [22434², 555] (Stephen Redmond and Zhi-Wei Sun, 2006).
Эта гипотеза подтверждена для всех интервалов [xm, yn] до 10¹².
Вторая гипотеза Харди – ЛиттлвудаЕсли π (x) есть число простых чисел вплоть до x, включая x, то π (x + y) ≤ π (x) + π (y) для x, y ≥ 2 (Godfry Harold Hardy and John Littlewood, 1923).
Существуют технические соображения, согласно которым можно ожидать, что это предположение окажется ложным, но первое нарушение возникнет, скорее всего, при очень больших величинах x, вероятно, больших, чем 1,5 × 10174, но меньших, чем 2,2 × 101198.
Гипотеза о простых числах-близнецахСуществует бесконечно много простых чисел p, таких, что число p + 2 тоже простое.
25 декабря 2011 г. PrimeGrid – «проект распределенных вычислений», в котором используются свободные ресурсы на компьютерах добровольцев, пожелавших принять в нем участие, объявил наибольшую известную на сегодняшний день пару простых чисел-близнецов:
3 756 801 695 685 × 2666 669 ± 1.
Каждое из этих чисел содержит 200 700 знаков.
В интервале до 1018 содержится 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов.
Оптимальная пирамида
Стоит подумать о Древнем Египте, и в голову сразу же приходят пирамиды, в первую очередь Великая пирамида Хеопса в Гизе, самая большая из всех, и стоящая рядом с ней пирамида Хефрена, чуть поменьше, и относительно небольшая пирамида Микерина. Известны остатки более чем 36 крупных и сотен более мелких египетских пирамид – от громадных и почти полностью сохранившихся до простых отверстий в земле, содержащих лишь несколько обломков камня от погребальной камеры, а иногда и того меньше.