Действительно, математики, которые первыми выдвинули эти идеи, не думали ни о каких конкретных практических приложениях для них; просто квадратичные вычеты показались им интересными. Но они также были убеждены, что их понимание станет новым мощным дополнением к математическому инструментарию. Практики не в состоянии пользоваться инструментом, пока его не существует. И хотя на первый взгляд может показаться, что разумнее подождать появления конкретной задачи, прежде чем придумывать инструменты, подходящие для ее решения, при таком подходе мы до сих пор жили бы в пещерах. «Зачем ты теряешь время, стуча камнем по камню, а, Уг? Тебе следовало бы стучать палкой по голове мамонта, как делают остальные мальчики».
У квадратичных вычетов множество самых разных применений. Один из моих любимых примеров – проектирование концертных залов. Музыка, отражаясь от плоского потолка, дает явственное эхо, которое искажает звук и вообще мешает слушать. С другой стороны, звукопоглощающий потолок делает звучание мертвым и смазанным. Для хорошей акустики звук должен отражаться, но в виде рассеянного отзвука, а не резкого эха. Поэтому архитекторы встраивают в потолок специальные рассеиватели. Вопрос в том, какой они должны быть формы.
В 1975 г. Манфред Шрёдер изобрел рассеиватель, состоящий из серии параллельных борозд, глубина которых выводится из последовательности квадратичных вычетов для некоего простого модуля. Возьмем, к примеру, простое число 11. Мы только что видели, что квадраты чисел от 0 до 10 по модулю 11 равны:
0 1 4 9 5 3 3 5 9 4 1,
и далее, для более крупных чисел, эта последовательность повторяется периодически. Она симметрична относительно середины, промежутка между двумя тройками, потому что x² = (–x)² по любому простому модулю. Сравним рисунок ниже – на нем эти числа показаны в виде прямоугольников – с формой рассеивателя на предыдущем рисунке. Обратите внимание: в данном случае глубина выемок получается путем вычитания вычетов из какой-то постоянной величины. Это не оказывает серьезного влияния на основной математический смысл.
Что такого особого в квадратичных вычетах? Одна из характеристик звуковой волны – ее частота: сколько волн приходит в ухо каждую секунду. Высокие частоты дают высокие звуки, низкие частоты – низкие звуки. Еще одна характеристика, связанная с частотой, – длина волны: расстояние между последовательными пиками. Высокочастотные волны короче, низкочастотные – длиннее. Колебания с заданной длиной волны резонируют с пустотами в поверхности, размеры которых близки к длине их волны. Так что волны разных частот по-разному реагируют на столкновение с поверхностью.
Рассеиватель на основе квадратичных вычетов обладает восхитительным математическим свойством: волны различных частот взаимодействуют с ним одинаково. Технически это означает, что преобразование Фурье постоянно на некотором диапазоне частот. Шрёдер указал на одно важное следствие: такая форма рассеивает звуковые волны многих разных частот одинаково. На практике ширина бороздок выбирается так, чтобы избежать диапазона волн, доступных для человеческого уха, а их длина кратна с определенным коэффициентом последовательности квадратичных вычетов, связанных с шириной.
Когда бороздки параллельны, как на рисунке, звук рассеивается в стороны, под прямым углом к бороздкам. Существует двумерный аналог этой системы – квадратное поле со стержнями, тоже рассчитанными на основе квадратичных вычетов, – который рассеивает звук равномерно во всех направлениях. Такие рассеиватели часто можно найти в звукозаписывающих студиях, где они помогают улучшить звуковой баланс и избавиться от лишних шумов.
Так что хотя Эйлер и Гаусс понятия не имели, для чего когда-нибудь будет использовано их изобретение и будет ли оно использовано хоть для чего-то, оно нередко играет принципиально важную роль (неявно, где-то за сценой), когда вы слушаете записанную музыку, будь то классика, джаз, кантри, рок, хип-хоп, кроссовер-трэш металлика – все что угодно.
Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».
Тайна универсальной плитки
Из мемуаров доктора Ватсапа
– Расследование преступления часто сравнивают со складыванием пазла, – заметил Сомс неожиданно, без всякого повода. Если, конечно, не считать поводом голубоватую струйку дыма из его трубки, за которую так и хотелось потянуть. Дым окутывал его голову настоящим облаком.
– Уместное сравнение! – отозвался я, поднимая голову от газеты.
Он хитро улыбнулся.
– Вовсе нет, Ватсап. Напротив, очень неудачное. Расследуя преступление, мы не знаем, какими могут быть эти кусочки, и не можем даже сказать, все ли они находятся в нашем распоряжении. Не зная, что за головоломка у нас в руках, как можем мы быть уверены в ответе?
– Право, Сомс, ведь это становится очевидным, когда достаточное число известных элементов складывается в единый элегантный узор.
Он вздохнул.
– Ах, но кусочков может быть так много, Ватсап! И разных узоров, которые они могут образовать, тоже. Чтобы решить, который из них правильный, нужно обладать определенным… je ne sais quoi[29]. Но я не знаю, чем именно.
В этот момент раздался стук в дверь, и в гостиную буквально ворвалась какая-то женщина.
– Беатрис! – воскликнул я.
– О, Джон! Ее украли! – и она, рыдая, бросилась в мои объятия. Я постарался утешить ее как мог, хотя мое сердце, признаюсь, пустилось вскачь.
Через некоторое время она успокоилась.
– Пожалуйста, помогите мне, мистер Сомс! Это рубиновая подвеска, она досталась мне от матери. Я везде искала ее сегодня утром, но она исчезла!
– Не расстраивайтесь, дорогая, – сказал я, похлопывая Беатрис по плечу. – Мы с Сомсом поймаем вора и вернем вашу драгоценность.
– Вы приехали в кэбе? – поинтересовался Сомс.
– Да. Он ждет снаружи.
– Тогда не будем терять времени и обследуем место преступления.
Через полчаса ползания по полу, взятия образцов пыли из углов в нескольких комнатах и внимательного осмотра порога и клумб под окнами Сомс покачал головой.
– Никаких следов взлома и проникновения, мисс Шипшер. А вот на вашей шкатулке с украшениями есть маленькие царапины. Свежие и не ваши, поскольку сделаны левшой, – он поставил шкатулку на место. – Бывали ли в доме в последнее время посторонние? Может быть, торговцы?
– Нет… Ох! Плиточники!
Два человека, назвавшиеся плиточниками, стучались с черного хода и предлагали обновить ванную комнату в доме.
– Это новая мода, мистер Сомс. Белые квадратные плитки, среди которых из плиток более сложной формы выложен синий узор. У Димвортов ванную отделали таким образом в прошлом месяце, и отец… – ее голос сорвался, Беатрис расстроенно замолчала, чуть не плача. Я взял ее за руку.
– Часто вы нанимаете незнакомых рабочих, которые стучатся к вам с черного хода? – поинтересовался Сомс.
– Что вы, нет, мистер Сомс. Обычно мы стали бы разговаривать только с солидной фирмой. Но у них у всех полно заказов и все расписано на несколько месяцев вперед. А эти рабочие казались честными, достойными людьми.
– Так всегда бывает. Оставляли ли вы кого-нибудь из них без присмотра?
Она мгновение подумала.
– Да. Помощник остался измерять ванную комнату, пока мастер показывал мне образцы плитки и орнамента.
– У него было вполне достаточно времени, чтобы украсть небольшую, но ценную вещицу. Они умны: не стали жадничать и тем самым обеспечили себе запас времени. Кражу заметили не сразу. Оставили они какие-нибудь документы?
– Нет.
– Приходили ли они еще раз?
– Нет, я жду от них письменной оценки стоимости работы.
– Рискну предположить, что вы ее не получите, мадам. Такой modus operandi[30] мы, детективы, называем «кражей с отвлечением».
Всю следующую неделю к Сомсу шел постоянный поток дам с аналогичными рассказами. Описание внешности «рабочих» менялось, но Сомса это нисколько не удивляло.
– Маскировка, – говорил он.
Перелом произошел на тринадцатом деле, краже из дома миссис Амелии Фотервелл. Сомс заметил катышек грязи, прилипший к двери в ванную, и маленький осколок кости в нем. Состав грязи и природа кости привели нас на грязный задний двор рядом с фабрикой по консервированию сардин в лабиринте узеньких улочек позади портовых доков.
– Итак, сейчас мы вломимся сюда и поищем доказательства? – сказал я, потянувшись за револьвером.
– Нет, это может спугнуть вора. Мы вернемся на Бейкер-стрит и соберем дело.
– Скажите мне, Ватсап, – начал он, когда мы распили бутылочку портвейна. – Какие общие черты объединяют все эти кражи?
– Итак, сейчас мы вломимся сюда и поищем доказательства? – сказал я, потянувшись за револьвером.
– Нет, это может спугнуть вора. Мы вернемся на Бейкер-стрит и соберем дело.
– Скажите мне, Ватсап, – начал он, когда мы распили бутылочку портвейна. – Какие общие черты объединяют все эти кражи?
Я назвал все черты, какие пришли мне в голову.
– Очень хорошо. Но вы упустили самую важную черту. Узоры. У вас, несомненно, есть их список?
Я вытащил блокнот и прочел:
• Миссис Уоттон: три плитки, образующие равносторонний треугольник.
• Беатрис: четыре плитки, образующие квадрат.
• Мисс Мейкпис: четыре плитки, образующие квадрат с квадратным отверстием.
• Близнецы из Кранфорда: четыре плитки, образующие прямоугольник с прямоугольным отверстием.
• Миссис Броудсайд: четыре плитки, образующие выпуклый шестиугольник.
• Миссис Проберт: четыре плитки, образующие выпуклый пятиугольник.
• Леди Каннигем: четыре плитки, образующие равнобедренную трапецию.
• Мисс Уилберфорс: четыре плитки, образующие параллелограмм.
• Миссис МакЭндрю: четыре плитки, образующие крылья ветряной мельницы.
• Миссис Тушингем: шесть плиток, образующие шестиугольник с шестиугольным отверстием.
• Мисс Браун: шесть плиток, образующие равносторонний треугольник со срезанными углами.
• Дама Дженки-Глейзуорси: 12 плиток, образующие правильный двенадцатиугольник с отверстием в виде правильной двенадцатиконечной звезды.
• Миссис Фозервелл: 12 плиток, образующие правильный двенадцатиугольник с отверстием в виде двенадцатиконечной звезды, формой напоминающей циркулярную пилу.
– Замечательная коллекция, – сказал Сомс. – Мне кажется, пора послать кого-нибудь из Нерушимых сил Бейкер-стрит к инспектору Роулейду с просьбой проверить владение у доков.
– И что, вы думаете, полиция там найдет?
– Вспомните, Ватсап: все дамы говорили нам, что их узор состоял из некоторого количества одинаковых плиток.
– Да.
– Но узоры очень разные, и это наталкивает на мысль, что, хотя каждый из узоров складывался из одинаковых плиток, для разных узоров нужны были плитки разной формы. Дамы не могут описать форму плиток кроме как словом «неправильная», так что у нас нет никаких данных в пользу того, что во всех узорах использовались плитки одинаковой формы. Поэтому я ожидаю, что полиция найдет 13 ящиков с плитками необычной формы: по одному на каждый узор.
Через пару часов в гостиную заглянула миссис Сопсудс.
– Инспектор Роулейд, мистер Сомс.
Инспектор вошел в сопровождении констебля с каким-то ящиком в руках.
– Я поместил под арест двух подозреваемых, – объявил он.
– Роланд «Крыса» Ратценберг и «Мордоворот» МакГинти.
– Да, но как, бога ради… о, неважно. Я могу держать их 24 часа. Но доказательства слабые.
Сомс взглянул на него пораженно.
– Но вы, конечно, нашли у них ящики с плиткой? Разве этот ящик – не образец того, что там было?
Инспектор покачал головой.
– Нет, это все, что там было.
Сомс подошел к ящику и открыл его. В нем лежало 12 одинаковых плиток.
– Вот это да, – сказал он.
– Кажется, дело развалилось, – рискнул вставить я. – Не могу поверить, что все узоры из такого разнообразного списка можно выложить одними и теми же плитками.
Но Сомс внезапно оживился.
– Может быть, вы и правы, – сказал он. – Если только… – он вытащил линейку и угломер и начал измерять одну из плиток.
Через несколько мгновений его лицо расплылось в улыбке.
– Умно! – сказал он. – Очень умно, – он обернулся ко мне. – Я поступил чрезвычайно глупо и сделал скоропалительные выводы, тогда как нужно было сохранять трезвый ум. Помните, о чем мы говорили непосредственно перед тем, как появилась расстроенная Беатрис?
– Э-э… о пазлах, которые складывают из кусочков.
– Точно. А это дело основано на одной из самых замечательных головоломок, какие мне только приходилось встречать. Взгляните на эту плитку.
– Мне она кажется весьма обычным четырехугольником, – сказал я.
– Нет, Ватсап. Это очень необычный четырехугольник. Позвольте мне продемонстрировать вам, – и он нарисовал схему.
– Стороны AB и BC равны, а угол ABC прямой, так что углы BAC и BCD составляют по 45°, – объяснил Сомс. – Угол ACD равен 15°, так что BCD равен 60°. Угол ADC опять же прямой, что делает угол CAD равным 75°.
Инспектор и я ничего не поняли. Сомс вручил мне четыре плитки.
– Ватсап, попробуйте сложить из этих плиток какую-нибудь элегантную фигуру. Примерно как детектив складывает вместе улики и делает элегантные выводы, если вспомнить вашу аналогию.
– Могу я их переворачивать?
– Прекрасный вопрос! Да, любую плитку можно перевернуть.
Я немного поэкспериментировал. Внезапно ответ встал перед глазами.
– Сомс! Из них получается квадрат – узор Беатрис! Как красиво!
Сомс взглянул на мою небольшую головоломку.
– В самом деле. Вы по-прежнему утверждаете, что элегантное объяснение нескольких улик может служить определяющим доказательством того, что виновный найден?
– Как иначе все улики могут так сойтись, Сомс?
– В самом деле, как? – я понял, что вопрос был риторическим. – В ваших рассуждениях есть прореха, Ватсап, – продолжал он, когда я отказался отвечать. – Нужно ее устранить, – он наклонился и переложил плитки так, что получился заполненный квадрат.
– Ох, – пристыженно произнес я. – Значит, это – узор Беатрис.
– Предполагаю, что да. Но не расстраивайтесь: ваш узор принадлежит мисс Мейкпис.
Меня осенило.
– Вы думаете, что из копий одной этой плитки можно сложить все 13 узоров?
– Я в этом уверен. Смотрите: вот так из трех плиток складывается узор миссис Уоттон, равносторонний треугольник с треугольным отверстием.
– Господи, Сомс!
– Это замечательно универсальная… э-э… плитка, – ответил он. – Благодарить за это нужно ее хитрую геометрию.
– Итак, все, что нам нужно сделать… – начал я.
– …это найти варианты раскладки, соответствующие остальным десяти узорам! – закончил за меня Роулейд.
Сомс начал прочищать трубку.
– Я уверен, что смело могу оставить эту задачу вам, джентльмены.
В тот вечер я взял кэб и поехал в дом отца Беатрис, остановившись только у ювелира, чтобы кое-что забрать. Беатрис приняла меня в гостиной.
Я поставил на стол длинную коробочку.
– Дорогая, откройте.
Она несмело протянула руку, и на милом лице ее отразилась надежда.
– О! Джон, вы нашли мою подвеску! – она взяла меня за руку. – Как я могу отблагодарить вас? – внезапно она замолчала. – Но… Это не мое, – она вынула из коробки сверкающую драгоценность. – Это обручальное кольцо.
– Да, это так. И оно может стать вашим, – произнес я, опускаясь на одно колено.
Можете ли вы найти оставшиеся десять вариантов узора? Ответы см. в главе «Загадки разгаданные».
Гипотеза о трекле
Граф – это набор точек (узлов), соединенных линиями (ребрами). Если граф рисуют на плоскости, ребра часто пересекаются между собой. В 1972 г. Джон Конвей определил трекл как граф, нарисованный на плоскости, у которого любые два ребра либо встречаются в узле и больше не пересекаются, либо не встречаются в узле, но при этом пересекаются ровно один раз. Говорят, что идею названия подал автору один шотландский рыболов, постоянно жаловавшийся на то, что у него запуталась (thrackled) леска.
На рисунке показаны два трекла. Левый имеет в своем составе 5 узлов и 5 ребер, тогда как правый – 6 узлов и 6 ребер. Конвей предположил, что у любого трекла число ребер меньше или равно числу узлов. Он предложил бутылку пива в награду тому, кто сможет это доказать или опровергнуть, но с годами, поскольку решение не появлялось, приз вырос до тысячи долларов.
Оба приведенных трекла представляют собой замкнутые петли (их узлы располагаются на кольцевом маршруте), нарисованные с наложением. Известно, что любая замкнутая петля с n³ 5 узлов может быть нарисована так, что образует трекл. Если это правда, то число E ребер может быть равно числу n узлов при любом n³ 5. Пал Эрдёш доказал, что гипотеза о трекле верна для любого графа с прямыми ребрами. Наилучшее на данный момент ограничение на размер E доказали Радослав Фулек и Янош Пач в 2011 г.: