Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».
День Фибоначчи (короткий вариант)2 мая 2008 г. (британская система), 5 марта 2008 г. (американская система): 3/5/(0) 8.
День Фибоначчи (длинный вариант)5 августа 2013 г. (британская система), 2 минуты 3 секунды второго (8 мая 2013 г. в американской системе): 1:2:3 5/8/13.
День простых чисел2 марта 2011 г. (британская система), 3 февраля 2011 г. (американская система): 2:3 5/7/11.
Собака Баскетболлов
Из мемуаров доктора Ватсапа
– К вам леди, мистер Сомс, – сказала миссис Сопсудс.
Мы с Сомсом вскочили на ноги. В комнату вошла женщина неопределенного возраста – неопределенного потому, что ее лицо было скрыто под темной вуалью.
– Вам нет нужды скрывать свое лицо, леди Иакинф, – сказал Сомс.
Женщина изумленно ахнула и стянула вуаль.
– Но как…
– Необычайные события в Баскет-холле всю неделю служили темой для газетных заголовков, – сказал Сомс. – Я внимательно следил за ходом дела и знаю, что мой соперник из дома напротив не добился никаких результатов в расследовании. Ясно было, что рано или поздно вы обратитесь ко мне за помощью. Это был всего лишь вопрос времени. Кроме того, я узнал шляпу вашего кучера, таких больше не найдешь у слуг нашей аристократии.
– Баске́, а не Бáскет, – поправила его леди Иакинф, презрительно фыркнув. Получившийся носовой звук придал слову явственно французское звучание.
– Вряд ли это существенно, мадам, – возразил Сомс. – Этот дом принадлежит семье Баскет уже семь поколений, с тех самых пор, как Гонория Тампингем-Мэддли вышла замуж за третьего эрла.
– Ну да, но это же было тогда. Написание и произношение за это время… э-э…
– Осовременились, – вмешался я, надеясь немного успокоить бушующие волны взаимной неприязни. Одновременно я бросил на Сомса острый взгляд, оставшийся незамеченным ее светлостью. К чести Сомса, он воспользовался моей подсказкой.
– Это был гигантский черный пес! – внезапно воскликнула ее светлость, и слова прозвучали так, будто их силой вырвали из ее горла. – С громадной слюнявой пастью, с которой капала кровь!
– Вы его видели?
– Вообще-то нет, но мальчишка, который присматривает за поросятами… Ники, вот как его зовут. Или, может быть, Рики? Во всяком случае, он сказал, что мельком видел это жуткое чудовище, когда оно убегало.
– В темноте, – заметил Сомс. – С расстояния в 150 метров. Майкл Дженкинс близорук. Но неважно, рано или поздно улики приведут нас к истине. Правильно ли я понял, что это животное не причинило вреда ни одному человеческому существу?
– Ну… нет, – неохотно согласилась она. – Непосредственно нет, хотя мой бедный муж… Понимаете, этот пес погубил традицию, которая восходит к глубокой древности и возникла еще до третьего эрла Бáск… Баске́.
Я запоздало вспомнил о приличиях.
– Доктор Джон Ватсап, к вашим услугам, мадам. Сожалею, но я, в отличие от моего компаньона, не следил за новостями. Не будете ли вы столь любезны, чтобы просветить меня?
– Ах. Да. Хм-м, – она подобрала юбки и собралась с мыслями. – Это было за несколько дней до праздника Середины зимы, и мой муж Эдмунд… то есть лорд Баске́, разумеется… расставил 12 старинных каменных шаров…
– Известных уже несколько столетий как шары Баскетов, – прервал ее Сомс.
– Ну да, но мы же не можем осовременить абсолютно все, мистер Сомс. Существуют традиции. Во всяком случае, мой муж расставил шары на лужайке возле нашего величественного особняка в виде древнего фамильного символа. Только наследник по мужской линии знает точно, что это за символ, и никому другому не разрешается наблюдать за этой церемонией, но информация потихоньку просачивалась, и сегодня все знают, что в этом символе шары расставлены в виде семи прямых рядов с четырьмя шарами в каждом ряду.
Мы с Сомсом внимательно слушали.
– Эдмунд репетировал церемонию, которую необходимо обязательно проводить накануне каждого праздника Середины зимы, то есть в канун дня зимнего солнцестояния. Но, проснувшись на следующее утро, мы с ужасом увидели, что некоторые шары сдвинуты со своих мест!
– Но ведь вы сказали, что никто, кроме лорда Баске́, не должен видеть расстановки шаров, – возразил Сомс.
– На этот раз сложились исключительные обстоятельства. Его светлость отправился собирать шары, но не вернулся. Через некоторое время за ним послали одну из горничных… Понимаете, Лавиния слепа, но очень надежна и старательна. Она вернулась в слезах с криками о том, что его светлость лежит на земле и не двигается. Опасаясь, что он мертв, мы, то есть остальные присутствующие, решились нарушить освященный временем запрет и бросились к месту происшествия. Я подбежала как раз вовремя, чтобы услышать, как Эдмунд воскликнул: «Сдвинуты!» – и замер. С тех пор он находится в ступоре и ни на что не реагирует, мистер Сомс. Это ужасно.
– Сдвинуты, – повторил я. – Каким образом, мадам?
– Не находятся больше на тех местах, где находились, доктор Ватсап.
– Я имею в виду, сдвинуты куда?
– Теперь они образуют звезду, доктор Ватсап.
– Да! Звезду, в которой всего лишь шесть прямых рядов с четырьмя шарами в каждом, – сказал Сомс, быстро рисуя что-то на листе бумаги. – Об этом много говорили, и, похоже, говорили правду, потому что такое представители желтой прессы вряд ли придумали бы – слишком сложно для их мозгов. Это доказывает также, что мы и сами могли бы догадаться, что шары сдвинуты, не полагаясь при этом на последнее восклицание его светлости… для этого достаточно и дедукции.
– Последнее восклицание на настоящий момент, – торопливо добавил я, пока неосторожное замечание Сомса не послужило спусковым крючком для новой серии причитаний.
– А разве вы не могли вернуть шары на место? – поинтересовался я, когда ее светлость немного успокоилась.
– Нет! – почти крикнула она. Я давно заметил, что своим поведением английская аристократия во многих ситуациях заметно напоминает лошадей.
– Почему нет?
– Я уже говорила вам, что только его светлость точно знает правильное расположение шаров, предписанное традицией, а теперь врачи говорят, что он, возможно, никогда уже не оправится!
– Разве на земле не было отметок в тех местах, где первоначально лежали шары?
– Возможно, но их затоптала эта ужасная собака! Там всюду ее следы!
– Тогда я возьму с собой самое мощное увеличительное стекло, – сказал Сомс, с трудом сохраняя невозмутимое выражение лица. В этот момент его, должно быть, осенила какая-то мысль, потому что он внезапно застыл:
– Вы сказали «необходимо».
– Я так сказала? Когда именно?
– Несколько минут назад вы сказали, что церемонию необходимо проводить в определенное время каждый год. Мне только что пришло в голову, что слова в этой фразе выбраны вами не случайно. Поясните, пожалуйста.
– Согласно древнему трансильванскому пророчеству, если 12 шаров Баскетов не будут правильным образом разложены на лужайке в канун праздника Середины зимы, то дом Бáс… э-э, Баске́… падет и будет полностью разрушен! У нас осталось всего три дня, чтобы сделать это! О горе! – она зарыдала в голос.
– Успокойтесь, мадам, – произнес я, проводя открытой склянкой с нюхательной солью у нее под носом. – Пожалуйста, примите мои соболезнования в связи с прискорбным состоянием его светлости и мои заверения как медика, что, как бы он ни был слаб, некоторый шанс существует и в его состоянии со временем могут произойти буквально волшебные перемены…
Следует заметить, что я всегда гордился своим безупречным умением разговаривать с больными и их родственниками, и навыки моего друга Сомса в этом важном деле не идут ни в какое сравнение с моими, но в данном случае, что совершенно необъяснимо, ее светлость в ответ на мои слова зарыдала вдвое сильнее.
Сомс с вытянутым лицом вышагивал по комнате.
– Правильно ли я понял, ваша светлость, что значение имеет только форма, фигура, которую образуют выложенные шары? Или ориентация тоже имеет существенное значение?
– Простите? – переспросила она и потрясла головой, как будто пытаясь восстановить ясность рассудка.
– Если бы расположение шаров было верным с точностью до поворота, не меняющего их относительное расположение, то как, по-вашему, это запустило бы страшные события, предсказанные пророчеством? – попросил пояснить Сомс.
Леди Баскет немного помолчала, что-то обдумывая.
– Нет. Определенно нет. Я помню, что Вилли Вилликинс – наш старший садовник – предлагал мужу время от времени менять ориентацию фигуры и направлять ее в разные стороны, чтобы не повредить дерн на лужайке. И Эдмунд не возражал.
– Нет. Определенно нет. Я помню, что Вилли Вилликинс – наш старший садовник – предлагал мужу время от времени менять ориентацию фигуры и направлять ее в разные стороны, чтобы не повредить дерн на лужайке. И Эдмунд не возражал.
– Прекрасная новость! – воскликнул Сомс.
– Да, прекрасная, – подхватил и я, хотя не имел ни малейшего понятия, чему так радовался мой друг-детектив. Или хотя бы что означал его вопрос.
– Были ли там какие-либо следы человеческого вмешательства? – спросил Сомс.
– Нет. Старший садовник клялся и божился, что никакое человеческое существо, кроме Эдмунда, не ступало на эту лужайку. Юный Дики…
– Мики.
– Вики видел ужасного пса, но даже он видел его только мельком, когда тот перепрыгивал через садовую ограду. В нашем саду есть чудесные пионы, мистер Сомс, хотя они и не цветут в это вре…
– Я возьмусь за это дело, – сказал Сомс. – Если ваша светлость не против, вам лучше сейчас вернуться в Баскет-холл, а мы с коллегой приедем в четверг первым же медленным поездом.
– Только в четверг, не раньше, мистер Сомс? Но ведь четверг и есть канун дня зимнего солнцестояния! Шары должны быть расставлены правильно в этот день до заката солнца!
– Я очень сожалею, но до той поры меня задержит в Лондоне небольшое дело, касающееся трех восточных владык; речь идет о 600 000 вооруженных воинов, двух спорных границах и украденной шкатулке с изумрудами и сапфирами, принадлежавшей тайному древнему религиозному ордену. И о расплющенном медном наперстке, в котором, я уверен, и кроется ключ ко всему делу. Однако заверяю вас: я убежден, что ваше дело может быть разрешено, ко всеобщему удовлетворению, еще до заката солнца в четверг.
Никакие протесты не помогли. Сомс был непоколебим, и в конце концов леди Иакинф Баске́ отбыла из нашего дома, сморкаясь потихоньку в уголок кружевного платочка.
После ее ухода я поинтересовался, на какое именно дело ссылался Сомс в разговоре, поскольку сам я ничего подобного не слышал.
– Небольшая выдумка с моей стороны, Ватсап, – признался он. – У меня билеты в оперу на сегодняшний вечер.
Мы прибыли на место в середине дня в четверг. На станции нас встретил грум с легкой двуколкой, которую часто называют «кабриолетом для гувернантки» (а может быть, там была гувернантка с повозкой для грума, мои записи в этом месте несколько неразборчивы). Встречающий сообщил нам, что лорд Баск по-прежнему находится в коме. Через каких-то полчаса мы были уже в Баскет-холле, и Сомс вовсю ползал по обширным лужайкам вокруг господского дома с необычайно большим увеличительным стеклом, щеткой для волос и угломером.
– Прекрасная возможность для вас потренироваться в дедукции, Ватсап, – сказал он мне.
– Я вижу, что трава в этом месте потревожена, Сомс.
– Правильно, Ватсап. Следы весьма сложные, но в основном это многочисленные перекрывающиеся отпечатки лап… – он понизил голос, так что слышать его мог только я один, – карликового пуделя.
Дальше он вновь заговорил своим обычным голосом:
– Я не в состоянии разглядеть здесь места, где первоначально были положены шары, но, если я не ошибаюсь – а я этого никогда не делаю, – по следам ясно, что животное сдвинуло ровно четыре шара.
– Это существенно, мистер Сомс? – нервно спросила леди Баске́, держа на руках карликового пуделя.
Сомс посмотрел в мою сторону.
– Да… возможно… – начал я и увидел, что Сомс незаметно кивнул. Ну конечно, кивнул он не совершенно незаметно, вы понимаете, поскольку если бы кивок действительно был незаметен, я бы его не увидел. Поняв кивок Сомса как завуалированное одобрение, я рискнул сказать наугад: – Благодаря этому обстоятельству можно вычислить первоначальное расположение шаров.
– И что, правда можно? – спросила она с полным надежды взглядом.
Каким же было первоначальное расположение шаров? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».
Цифровые кубы
Это старая история, но она может послужить нам прелюдией к менее известному вопросу. Число 153 равно сумме кубов составляющих его цифр:
1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153.
Существуют еще три трехзначных числа, обладающих таким же свойством, если не принимать во внимание такие числа, как 001, с начальными нулями. Сможете найти их?
Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».
Самовлюбленные числа
Загадка с кубами приобрела некоторую известность потому, что в 1940 г. знаменитый математик Годфри Харолд Харди написал в книге «Апология математика»[6], что подобные головоломки не имеют никакой математической ценности, поскольку зависят от используемой нотации (в данном случае десятичной) и представляют собой всего лишь случайные совпадения. Однако, разгадывая такие загадки, можно почерпнуть немало полезных знаний в области математики, а обобщения (к примеру, расширение задачи на другие системы счисления, помимо десятичной) позволяют обойти вопрос нотации.
Один из вариантов этой головоломки – концепция самовлюбленного числа, которое определяется как число, равное сумме n-х степеней составляющих его десятичных цифр для некоторого n. Если речь идет о явно заданном n, используется термин n-совершенное число.
Четвертые степени цифр (4-самовлюбленные числа)Будем записывать число, составленное из цифр a, b, c, d, как [abcd], чтобы отличать его от соответствующего произведения abcd. То есть [abcd] = 1000a + 100b + 10c + d. Мы должны решить уравнение:
[abcd] = a4 +b4 +c4 + d4,
где все неизвестные являются целыми числами и лежат в диапазоне от 0 до 9. Эту задачу никак нельзя называть тривиальной. Попробуйте!
Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».
Пятые степени цифр (5-самовлюбленные числа)На этот раз задача состоит в том, чтобы решить уравнение:
[abcde] = a5 + b5 + c5 + d5+ e5,
что, как несложно догадаться, еще труднее.
Ответ в главе «Загадки разгаданные».
Более высокие степени цифр (n-самовлюбленные числа для n ≥ 6)Несложно доказать, что n-самовлюбленные числа существуют только для n ≤ 60, поскольку при любом n > 60 мы имеем n·9n < 10n–1. В 1985 г. Дик Уинтер доказал, что существует ровно 88 самовлюбленных чисел с ненулевой первой цифрой. Для n = 1 в этой роли выступают все десять цифр (мы включаем сюда 0, потому что в данном случае это единственная цифра числа). Для n = 2 самовлюбленных чисел не существует. Для n = 3, 4, 5 см. ответы к разделу о цифровых кубах и две предыдущие задачи. Для n ≥ 6 получаем следующие числа:
Пифилология, пиэмы и пиллиш
Now, I wish I could recollect pi.
«Eureka», cried the great inventor.
Christmas pudding; Christmas pie
is the problem's very centre.
See, I have a rhyme assisting
my feeble brain,
its tasks sometimes resisting.
How I wish I could enumerate pi easily, since all these horrible mnemonics prevent recalling any of pi's sequence more simply.
Последняя фраза выдает нас с головой: все приведенные фразы – это мнемонические правила – тексты, помогающие запомнить часть числа π. Придумано даже слово для подобных вещей: пифилология. Чтобы воспользоваться таким мнемоническим правилом, нужно сосчитать буквы в последовательных словах: 3, 1, 4, 1, 5, …
Некоторые из многочисленных запоминалок для π обсуждались в книге «Кабинет…»; здесь мы вспомним одну из них (приведенную ниже запоминалку на французском языке) и посмотрим еще несколько. Вообще, таких запоминалок существует множество, см., к примеру, сайты:
http://en.wikipedia.org/wiki/Piphilology
http://uzweb.uz.ac.zw/science/maths/zimaths/pimnem.htm
Одно из самых известных мнемонических правил для π – александрийский стих (поэтический размер), который начинается так:
Que j'aime à faire apprendre
Un nombre utile aux sages!
Glorieux Archimède, artiste ingenieux,
Toi, de qui Syracuse loue encore le mérite! –
и продолжается до 126 знаков. Я особенно рекомендую следующую португальскую запоминалку:
Sou o medo e temor constante do menino vadio. (Я – постоянный страх и ужас для ленивых мальчиков.)
А вот румынский вариант:
Asa e bine a scrie renumitul si utilul numar. (Это правильный способ писать знаменитое и полезное число.)