Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС, читать онлайн бесплатно (полностью) 26 стр.

Уравнение (3.21) для расчета N используется два раза. Первый раз, когда мы находим N(H), второй, когда находим N(H - V * Т^(1/2)). Мы знаем, что V * Т ^ (1/2) = 0,0862581949, поэтому Н - V* Т ^ (1/2) = -0,4502688281 -

- 0,0862581949 = -0,536527023. Таким образом, мы должны использовать уравнение (3.21) со следующими вводными значениями переменной Z:

-0,4502688281 и-0,536527023. Из уравнения (3.21) получим 0,3262583 и 0,2957971 соответственно (уравнение (3.21) описано в главе 3, поэтому мы не будем повторять его здесь). Отметьте, что сейчас мы получили коэффициент дельта, мгновенную скорость изменения цены опциона по отношению к изменению цены базового инструмента. Таким образом, дельта для этого опциона составляет 0,3262583. Теперь у нас есть все входные данные, необходимые для определения теоретической цены опциона. Подставив полученные значения в уравнение (5.01), получим:

Таким образом, в соответствии с моделью Блэка для фьючерсов справедливая стоимость колл-опциона с ценой исполнения 600, сроком исполнения 15 сентября 1991 года, при цене базового инструмента на 1 августа 1991 года 575, при вола-тильности 25%, с учетом 252-дневного года и R = 0 составляет 10,1202625. Интересно отметить связь между опционами и базовыми инструментами, используя вышеперечисленные модели ценообразования. Мы знаем, что 0 является наименьшей ценой опциона, но верхняя цена — это цена самого базового инструмента. Модели демонстрируют, что теоретическая справедливая цена опциона приближается к верхнему значению (стоимости базового инструмента U) при росте любой или всех трех переменных Т, R или V Это означает, что если мы, например, увеличим Т (время до срока истечения опциона) до бесконечно большого значения, тогда цена опциона будет равна цене базового инструмента. В этой связи мы можем сказать, что все базовые инструменты в действительности эквивалентны опционам с бесконечным Т. Таким образом, все сказанное верно не только для опционов, но и для базовых инструментов, как будто они являются опционами с бесконечным Т. Модель фондовых опционов Блэка-Шоулса и модель опционов на фьючерсы Блэка построены на определенных допущениях. Разработчики этих моделей исходили из трех утверждений. Несмотря на недостатки этих утверждений, предложенные модели все-таки довольно точны, и цены опционов будут стремиться к значениям, полученным из моделей. Первое из этих утверждений состоит в том, что опцион не может быть исполнен до истечения срока. Это приводит к недооценке опционов американского типа, которые могут исполняться до истечения срока. Второе утверждение предполагает, что мы знаем будущую волатильность базового инструмента, и она будет оставаться постоянной в течение срока действия опциона. На самом деле это не так (т.е. волатильность изменится). Кроме того, распределение изменений волатильности логарифмически нормально, и эту проблему модели не учитывают[21]. Еще одно допущение модели состоит в том, что безрисковая процентная ставка остается постоянной в течение времени действия опциона. Это также не обязательно. Более того, краткосрочные ставки логарифмически нормально распределены. То обстоятельство, что, чем выше краткосрочные ставки, тем выше будут цены опционов, и утверждение относительно неизменности краткосрочных ставок может привести к еще большей недооценке опциона по отношению к ожидаемой цене (его правильному арифметическому математическому ожиданию). Еще одно утверждение (возможно наиболее важное), которое может привести к недооценке стоимости опциона, рассчитанной с помощью модели, по отношению к действительно ожидаемой стоимости, состоит в том, что логарифмы изменений цены распределяются нормально. Если бы опционы характеризовались не числом дней до даты истечения срока, а числом тиков вверх или вниз до истечения, а цена за один раз могла бы изменяться только на 1 тик и он был бы статистически независим от предыдущего тика, то мы могли бы допустить существование нормального распределения. В нашем случае логарифмы изменений цены не имеют таких характеристик. Тем не менее теоретические справедливые цены, полученные с помощью моделей, используются профессионалами на рынке. Даже если некоторые трейдеры применяют модели, которые отличаются от показанных здесь, большинство из них дадут похожие теоретические справедливые цены. Когда реальные цены расходятся с теоретическими до такой степени, что спекулянты могут получить прибыль, цены начинают снова сходиться к так называемой «теоретической справедливой цене». Тот факт, что мы можем спрог-нозировать с достаточной степенью точности, какой будет цена опциона при наличии различных входных данных (время истечения, цена базового инструмента и т.д.), позволяет нам произвести расчеты оптимального f и его побочных продуктов по опционам и смешанным позициям. Читатель должен помнить, что все эти методы основаны на утверждениях, которые только что были изложены.

Модель ценообразования европейских опционов для всех распределений

Мы можем создать собственную модель ценообразования, лишенную каких-либо предположений относительно распределения изменений цены.

Сначала необходимо определить термин «теоретически справедливый», относящийся к цене опционов. Мы будем говорить, что опцион справедливо оценен, если арифметическое математическое ожидание цены опциона к моменту истечения, выраженное на основе его текущей стоимости, не принимает во внимание возможного направленного движения цены базового инструмента. Смысл определения таков: «Какова стоимость данного опциона для меня сегодня как для покупателя опционов»?

Математическое ожидание (арифметическое) определяется из уравнения (1.03):

где рi = вероятность выигрыша или проигрыша попытки i;

ai= выигранная или проигранная сумма попытки i;

N =количество возможных исходов (попыток).

Математическое ожидание представляет собой сумму произведений каждого возможного выигрыша или проигрыша и вероятности этого выигрыша или проигрыша. Когда сумма вероятностей рi больше 1, уравнение 1.03 необходимо разделить на сумму вероятностей рi.

Рассмотрим все дискретные изменения цены, которые имеют вероятность осуществления, большую или равную 0,001 в течение срока действия контракта, и по ним определим арифметическое математическое ожидание.

где С = справедливая с теоретической точки зрения стоимость опциона, или арифметическое математическое ожидание;

рi = вероятность цены i по истечении срока опциона;

аi = внутренняя стоимость опциона (для кол-опциона: рыночная цена инструмента минус цена исполнения опциона;

для пут-опциона: цена исполнения минус рыночная цена инструмента), соответствующая базовому инструменту при цене i.

Использование этой модели подразумевает, что, начиная с текущей цены, мы будем двигаться вверх по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в знаменателе до тех пор, пока вероятность i-ой цены (т.е. р.) не будет меньше 0,001 (вы можете использовать меньшее число, но я считаю, что 0,001 вполне достаточно). Затем, начиная со значения, которое на 1 тик ниже текущей цены, мы будем двигаться вниз по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в знаменателе, пока вероятность i-ой цены (т.е. рi) не будет меньше 0,001. Отметьте, что вероятности, которые мы используем, являются 1-хвостыми, т.е., если вероятность больше чем 0,5, мы вычитаем это значение из 1. Интересно отметить, что значения вероятности рi можно менять в зависимости от того, какое распределение применяется, и оно не обязательно должно быть нормальным, то есть пользователь может получить теоретическую справедливую цену опциона для любой формы распределения! Таким образом, эта модель дает возможность использовать устойчивое распределение Парето, t-распределение, распределение Пуассона, собственное регулируемое распределение или любое другое распределение, с которым, по нашему мнению, согласовывается цена при определении справедливой стоимости опционов.

Необходимо изменить модель таким образом, чтобы она выражала арифметическое математическое ожидание на дату истечения срока опциона как следующую величину:

где С = справедливая с теоретической точки зрения стоимость опциона, или текущее значение арифметического математического ожидания при данном значении Т;

pi = вероятность цены i по истечении срока опциона;

аi =внутренняя стоимость опциона, соответствующая базовому инструменту при цене i;

R = текущая безрисковая ставка;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выраженная десятичной дробью.

Уравнение (5.11) является моделью ценообразования опционов для всех распределений и дает текущее значение арифметического математического ожидания опциона на дату истечения[22]. Отметьте, что модель можно использовать и для пут-опционов, имея в виду, что значения а. при каждом приросте цены i будут другими. Когда необходимо учесть дивиденды, используйте уравнение (5.04) для корректировки текущей цены базового инструмента. При определении вероятности цены i на дату истечения используйте именно эту измененную текущую цену. Далее следует пример использования уравнения (5.11). Допустим, мы обнаружили, что приемлемой моделью, описывающей распределение логарифмов изменений цены товара, опционы на который мы хотим купить, является распределение Стьюдента[23]. Для определения оптимального числа степеней свободы распределения Стьюдента мы использовали тест К-С и пришли к выводу, что наилучшее значение равно 5. Допустим, мы хотим определить справедливую цену колл-опциона на 911104 (дата истечения срока опциона — 911220). Цена базового инструмента равна 100, цена исполнения опциона также равна 100. Предположим, годовая волатильность составляет 20%, безрисковая ставка 5% и год равен 260,8875 дням (мы не учитываем праздники, которые выпадают на рабочий день, например День Благодарения в США). Далее допустим, что минимальный тик по этому предполагаемому товару равен 0,10. Используя уравнения (5.01), (5.02) и (5.07) для переменной Н, мы найдем, что справедливая цена равна 2,861 как для колл-опциона, так и для пут-опциона с ценой исполнения 100. Таким образом, эти цены опционов являются справедливыми ценами в соответствии с моделью товарных опционов Блэка, которая допускает логарифмически нормальное распределение цен. Если мы будем использовать уравнение (5.11), то должны сначала рассчитать значения pg. Их можно получить из фрагмента программы, написанной на языке Бейсик и представленной в приложении В. Отметьте, что необходимо знать стандартное значение, т.е. переменную Z, и число степеней свободы, т.е. переменную DEGFDM. Прежде чем мы обратимся к этой программе, преобразуем цену i в стандартное значение по следующей формуле:

где i = цена, соответствующая текущему состоянию процесса суммирования;

V = годовая волатильность, выраженная стандартным отклонением;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выраженная десятичной дробью;

1п() = функция натурального логарифма.

Уравнение (5.12), написанное на БЕЙСИКе, будет выглядеть следующим образом:

Переменная U представляет собой текущую цену базового инструмента (с учетом дивидендов, если это необходимо). Вероятность для распределения Стьюдента, найденная с помощью программы из приложения В, является 2-хвостой. Нам надо сделать ее 1-хвостой и выразить как вероятность отклонения от текущей цены (то есть ограничить ее 0 и 0,5). Это можно сделать с помощью двух строк на БЕЙСИКе:

Таким образом, для 5 степеней свободы справедливая цена колл-опциона равна 3,842, а справедливая цена пут-опциона равна 2,562. Эти величины отличаются от значений, полученных с помощью более традиционных моделей. Причин здесь несколько.

Во-первых, более толстые хвосты распределения Стьюдента с 5 степенями свободы дадут более высокую справедливую стоимость колл-опциона. Вообще, чем толще хвосты распределения, тем больше получается цена колл-опциона. Если бы мы использовали 4 степени свободы, то получили бы еще большую цену колл-опциона.

Стоимость пут-опциона и стоимость колл-опциона значительно отличаются, в то время как в традиционных моделях стоимость пут-опциона и колл-опциона эквивалентна. Этот момент требует некоторого пояснения.

Справедливую стоимость пут-опциона можно найти из цены колл-опциона с той же ценой исполнения и датой истечения (или наоборот) по формуле пут-колл паритета:

где Р = справедливая цена пут-опциона;

С = справедливая цена колл-опциона;

Е = цена исполнения;

U = текущая цена базового инструмента;

R = безрисковая ставка;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выраженная десятичной дробью.

Когда равенство (5.13) не выполняется, появляется возможность арбитража. Из (5.13) мы видим, что цены, полученные из традиционных моделей, эквивалентны, когда Е - U = 0.

Давайте заменим переменную U в уравнении (5.13) ожидаемой ценой базового инструмента на дату истечения срока опциона. Ожидаемая стоимость базового инструмента может быть определена с помощью уравнения (5.10) с учетом того, что в этом случае а. просто равно i. В нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость базового инструмента равна 101,288467. Это происходит потому, что минимальная цена инструмента равна 0, в то время как ограничения цены сверху не существует. Движение цены со 100 до 50 так же вероятно, как и движение со 100 до 200. Следовательно, стоимость колл-опционов будет выше, чем стоимость пут-опционов. Неудивительно, что ожидаемая стоимость базового инструмента на дату истечения должна быть больше, чем его текущая цена, — это вполне согласуется с предположением об инфляции. Когда в уравнении (5.13) мы заменим значение U (текущую цену базового инструмента) на значение ожидаемой стоимости на дату истечения, мы сможем рассчитать справедливую стоимость пут-опциона:

Р = 3,842 + (100 - 101,288467) * ЕХР(-0,05 * 33/260,8875) = 3,842+-1,288467 *ЕХР(-0,006324565186) = 3,842 + -1,288467 * 0,9936954 = 3,842 + 1,280343731 =2,561656269

Это значение согласуется со стоимостью пут-опциона, полученной из уравнения (5.11).

Остается одна проблема: если пут-опционы и колл-опционы с одной ценой исполнения и сроком истечения оценены согласно уравнению (5.11), тогда существует возможность арбитража. На самом деле LJ в (5.13) является текущей ценой базового инструмента, а не ожидаемым значением базового инструмента на дату истечения. Другими словами, если текущая цена равна 100 и декабрьский колл-опцион с ценой исполнения, равной 100, стоит 3,842, а пут-опцион с ценой исполнения, равной 100, стоит 2,561656269, то существует возможность арбитража, исходя из (5.13).

Отсутствие паритета «пут-колл» при наличии наших заново полученных цен опционов предполагает, что вместо покупки колл-опциона за 3,842 нам следует открыть эквивалентную позицию, купив пут-опцион за 2,562 и базовый инструмент.

Проблема решится, если мы сначала рассчитаем ожидаемую стоимость базового инструмента по уравнению (5.10) с учетом того, что аi просто равно i (в нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость базового инструмента равна 101,288467), и вычтем текущую цену базового инструмента из полученного значения: 101,288467 - 100= 1,288467. Теперь, если мы вычтем это значение из каждого значения а., т.е. внутренней стоимости из (5.11), и примем любые получившиеся значения менее 0 равными 0, тогда уравнение (5.11) даст нам теоретические значения, которые согласуются с (5.13). Таким образом, арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту заменит текущую цену базового инструмента. В нашем примере (распределение Стьюдента с 5 степенями свободы) мы получим стоимость пут-опциона и колл-опциона с ценой исполнения 100, равную 3,218. Таким образом, наш ответ согласуется с уравнением (5.13), и возможность арбитража между этими двумя опционами и их базовыми инструментами отсутствует.

Когда мы используем распределение, которое основано на значениях арифметического математического ожидания базового инструмента на дату истечения и значение этого ожидания отличается от текущей стоимости базового инструмента, мы должны вычесть разность (ожидание - текущая стоимость) из внутренней стоимости опциона и приравнять нулю значения меньше нуля. Таким образом, для любой формы распределения уравнение (5.11) дает нам арифметическое математическое ожидание опциона на дату истечения, при условии, что арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту равно его текущей цене (то есть направленное движение цены базового инструмента не предполагается).

Одиночная длинная позиция по опциону и оптимальное f

Рассмотрим обычную покупку колл-опциона. Вместо того чтобы для нахождения оптимального f использовать полную историю сделок по опционам данной рыночной системы, мы рассмотрим все возможные изменения цены данного опциона за время его существования и взвесим каждый результат вероятностью его осуществления. Этот взвешенный по вероятностям результат является HPR, соответствующим цене покупки опциона. Мы рассмотрим весь спектр результатов (т.е. среднее геометрическое) для каждого значения f и таким образом найдем оптимальное значение. Почти во всех моделях ценообразования опционов вводными переменными, имеющими наибольшее влияние на теоретическую цену опциона, являются: (а) время, оставшееся до истечения срока, (б) цена исполнения, (в) цена базового инструмента и (г) волатильность. Некоторые модели могут иметь и другие вводные данные, но именно эти четыре переменные больше всего влияют на теоретическое значение. Из этих переменных две — время, оставшееся до истечения срока, и цена базового инструмента — переменные величины. Волатильность тоже может изменяться, однако редко в той же степени, что цена базового инструмента или время до истечения срока. Цена исполнения не изменяется.

Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС 26 стр.

Меню