Задачи со спичками
111. Из шести три
Перед вами (рис. но) фигура, составленная из 18 спичек. Вы видите в ней 6 одинаковых квадратов. Задача состоит и в следующем: нужно убрать 5 спичек, не перекладывая остальных, так, чтобы осталось всего 3 квадрата.
Рис. 110.
112. Оставить пять квадратов
В решетке из спичек, представленной на рис. 111, нужно так убрать 4 спички, не трогая остальных, чтобы осталось 5 квадратов.
Рис. 111.
113. Оставить четыре квадрата
Из той же фигуры (рис. 111) так извлеките 8 спичек, не трогая других, чтобы оставшиеся спички составили 4 одинаковых квадрата.
114. Оставить три квадрата
В той же решетке (рис. 111) так уберите 6 спичек, не перекладывая остальных, чтобы осталось всего 3 квадрата.
115. Оставить два квадрата
И наконец, в той же фигуре (рис. 111) так уберите 8 спичек, не трогая остальных, чтобы осталось всего лишь два квадрата.
116. Шесть четырехугольников
В фигуре, представленной на рис. 112, нужно так переложить 6 спичек с одного места на другое, чтобы образовалась фигура, составленная из 6 одинаковых четырехугольников.
Рис. 112.
117. Из дюжины спичек
Из 12 спичек нужно составить фигуру, в которой было бы три одинаковых четырехугольника и два одинаковых треугольника.
Как это сделать?
118. Из полутора дюжин
Из 18 спичек нужно сложить два четырехугольника так, чтобы площадь одного была втрое больше площади другого. Спички, как и во всех предыдущих задачах, переламывать нельзя. Оба четырехугольника должны лежать обособленно, не примыкая друг к другу.
119. Два пятиугольника
Если вам удалось решить предыдущую задачу, попытайтесь решить такую головоломку.
Из 18 спичек сложить два пятиугольника так, чтобы площадь одного была ровно втрое больше площади другого. Остальные условия те же, что и в предыдущей задаче.
120. Из 19 и из 12
На рис. 113 вы видите, как можно 19 целыми спичками ограничить шесть одинаковых участков.
А можно ли ограничить шесть одинаковых участков — хотя бы и иной формы — 12 целыми спичками?
Рис. 113.
Решения задач 111-120
111. Решение этой задачи из рис. 114.
Рис. 114.
112 —115. Решение задачи 112 показано на рис. 115. задачи 113 на рис. 116 и 117, задачи 114 — на рис. 118, задачи 115 — на рис. 119.
Рис. 115.
Рис. 116.
Рис. 117.
Рис. 118.
Рис. 119.
116. Смотри на рис. 120.
Рис. 120.
117. Решение задачи 117 показано на рис. 121. Это равносторонний шестиугольник (но не правильный, поскольку его углы не равны).
Рис. 121.
118. Решение этой задачи показано на рис. 122. Площадь верхней фигуры образуют два квадрата, каждый со сторонами в одну спичку. Нижний четырехугольник представляет собой параллелограмм, высота которого АВ = 11/2 спички. Площадь параллелограмма по правилам геометрии равна его основанию, умноженному на высоте: 4 × 11/2 = 6, т. е. втрое больше площади верхнего четырехугольника.
Рис. 122.
119 —120. Решения задач 119 и 120 наглядно показаны на рис. 123 и 124.
Рис. 123.
Рис. 124.
Вес и взвешивание
121. Вес бревна
Круглое бревно весит 30 кг. Сколько весит бревно, если оно вдвое толще, но вдвое короче нашего?
122. Десятичные весы
Сто килограммов железных гвоздей уравновешены на десятичных весах железными гирями. Весы затопило водой.
Сохранили ли они равновесие под водой?
123. Вес бутылки
Бутылка, наполненная керосином, весит 1000 г. Та же бутылка, наполненная кислотой, весит 1600 г. Кислота вдвое тяжелее керосина.
Сколько весит бутылка?
124. Брусок мыла
На одну чашку весов положен брусок мыла, на другую — 3/4 такого же бруска и гиря в 3/4 килограмма. Весы в равновесии.
Сколько весит целый брусок мыла? Постарайтесь решить эту несложную задачу устно, без карандаша и бумаги.
Рис. 125. Сколько весит брусок мыла?
125. Кошки и котята
Четыре кошки и 3 котенка весят 15 кг, а 3 кошки и 4 котенка весят 13 кг.
Сколько весит каждая кошка и каждый котенок в отдельности?
Постарайтесь и эту задачу решить устно.
Рис. 126.
126. Раковина и бусины
Три детских кубика и 1 раковина уравновешиваются 12 бусинами (рис. 127), 1 раковина весит столько же, сколько 1 кубик и 8 бусинок (рис. 128).
Рис. 127.
Рис. 128.
Сколько бусин нужно положить на свободную чашку весов, чтобы уравновесить раковину на другой чашке?
127. Вес фруктов
Вот еще задача в этом роде. Рис. 129 показывает, что 3 яблочка и 1 груша весят столько же, сколько 10 персиков, а 6 персиков и 1 яблочко — столько же, сколько 1 груша.
Рис. 129.
Сколько персиков надо взять, чтобы уравновесить одну грушу?
128. Сколько стаканов?
На рис. 130 и 131 вы видите, что:
— бутылка и стакан уравновешиваются кувшином;
— бутылка сама по себе уравновешивается стаканом и блюдцем;
— два кувшина уравновешиваются тремя блюдцами. Сколько надо поставить стаканов на свободную чашку весов, чтобы уравновесить бутылку?
Рис. 130. Задача о стаканах и бутылке.
Рис. 131. Чем уравновесить бутылку?
129. Гирей и молотом
Надо развесить 2 кг сахарного песку на 200-граммовые пакеты. Имеется только одна 500-граммовая гиря, да еще молоток, весящий 900 г.
Как получить все 10 пакетов, пользуясь этой гирей и молотком?
Рис. 132. Затруднение при развешивании.
130. Задача Архимеда
Самая древняя из головоломок, относящихся к взвешиванию, без сомнения, та, которую древний правитель сиракузский Гиерон задал знаменитому математику Архимеду.
Предание повествует, что Гиерон поручил мастеру изготовить венец для одной статуи и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. Когда венец был доставлен, взвешивание показало, что он весит столько же, сколько весили вместе выданные золото и серебро. Однако правителю донесли, что мастер утаил часть золота, заменив его серебром. Гиерон призвал Архимеда и предложил ему определить, сколько золота и сколько серебра заключает изготовленная мастером корона. Архимед решил эту задачу, исходя из того, что чистое золото теряет в воде 20-ю долю своего веса, а серебро — 10-ю.
Если вы желаете испытать свои силы на подобной задаче, примите, что мастеру было отпущено 8 кг золота и 2 кг серебра и что, когда Архимед взвесил корону под водой, она весила не 10, а всего 91/4 кг. Попробуйте определить по этим данным, сколько золота утаил мастер. Венец был изготовлен из сплошного металла, без пустот.
Решения задач 121-130
121. Обычно отвечают, что бревно вдвое более толстое, но вдвое более короткое, не должно изменить своего веса. Однако это неверно. От увеличения поперечника вдвое объем круглого бревна увеличивается вчетверо; от укорочения же вдвое объем уменьшается всего в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т. е. весить 60 кг.
122. При погружении в воду железная вещь (сплошная) теряет 8-ю долю своего веса[12]. Поэтому и гири, и гвозди под водой будут иметь 7/8 своего прежнего веса. И так как гири в 10 раз легче гвоздей, то и под водой они будут легче их в 10 раз. Следовательно, десятичные весы останутся и под водой в равновесии.
123. Из условия задачи мы знаем, что
вес бутылки + вес керосина = 1000 г.
А так как кислота вдвое тяжелее керосина, то вес бутылки + двойной вес керосина = 1600 г.
Отсюда ясно, что разница в весе: 1600–1000, т. е. 600 г, есть вес керосина, налитого в бутылку. Но бутылка вместе с керосином весит 1000 г; значит, бутылка весит 1000 — 600 = 400 г.
Действительно, вес кислоты (1600 — 400 = 1200 г) оказывается вдвое больше веса керосина.
124. Три четверти бруска мыла плюс гиря в 3/4 килограмма весят столько же, сколько целый брусок. Но целый брусок — это 3/4 бруска плюс 1/4 бруска. Значит, 1/4 бруска весит 3/4 кг. И следовательно, целый брусок весит в четыре раза больше, чем 3/4 кг, т. е. 3 кг.
125. Сравнивая оба взвешивания, легко увидеть, что от замены одной кошки одним котенком вес груза уменьшился на 15–13, т. е. на 2 кг. Отсюда следует, что кошка тяжелее котенка на 2 кг. Зная это, заменим при первом взвешивании всех четырех кошек котятами: у нас будет тогда 4 + 3 = 7, а стрелка весов, вместо 15 кг, покажет на 2 × 4, т. е. на 8 кг меньше. Значит, 7 котят весят 15 — 8 = 7 кг.
Отсюда ясно, что котенок весит 1 кг, взрослая же кошка 1 + 2 = 3 кг.
126. Сравните первое и второе взвешивания. Вы видите, что раковину при первом взвешивании можно заменить 1 кубиком и 8 бусинами, потому что они имеют одинаковый вес. После такой замены у нас окажется на левой чашке 4 кубика и 8 бусин, которые будут уравновешиваться 12 бусинами. Сняв теперь с каждой чашки по 8 бусин, мы не нарушим равновесия; останется же у нас на левой чашке 4 кубика, на правой — 4 бусины. Значит, кубик и бусина весят одинаково.
Теперь определим, сколько бусин весит раковина: заменив (второе взвешивание) на правой чашке кубик бусиной, узнаем, что
вес раковины = весу 9 бусин.
Рис. 133.
Полученный результат легко проверить: замените при первом взвешивании кубики и раковины на левой чашке соответственным числом бусин — получите 3 + 9 = 12 бусин, как и должно быть.
127. Заменим при первом взвешивании 1 грушу на 6 персиков и 1 яблочко: мы вправе это сделать, так как груша весит столько же, сколько 6 персиков и яблочко. У нас окажется на левой чашке 4 яблочка и 6 персиков, на правой — 10 персиков. Сняв с обеих чашек по 6 персиков, узнаем, что 4 яблочка весят столько, сколько весят 4 персика. Другими словами, один персик весит столько же, сколько одно яблочко. Теперь уже легко сообразить, что вес груши равен весу 7 персиков.
128. Эту задачу можно решить по-разному. Вот один из способов.
Заменим при третьем взвешивании каждый кувшин 1 бутылкой и 1 стаканом (из первого взвешивания следует, что весы при этом останутся в равновесии). Таким образом, 2 бутылки и 2 стакана уравновешиваются 3 блюдцами. На основании второго взвешивания, каждую бутылку мы можем заменить 1 стаканом и 1 блюдцем. Получив, что
4 стакана и 2 блюдца
уравновешиваются 3 блюдцами.
Сняв с каждой чашки весов по 2 блюдца, узнаем, что
4 стакана уравновешиваются
1 блюдцем.
И следовательно, бутылка уравновешивается (сравни со вторым взвешиванием) 5 стаканами.
129. Порядок отвешивания таков. На одну чашку кладут молоток, на другую — гирю и столько же сахарного песка, чтобы чашки уравновесились; ясно, что насыпанный на вторую чашку песок весит 900–500 = 400 г. Эту операцию выполняют еще три раза; остаток песка весит 2000 — (4 × 400) = 400 г. Теперь нужно содержимое каждого из пяти полученных 400-граммовых пакетов разделить пополам, на два равных по весу пакета. Делается это без гирь, очень просто: содержимое 400-граммового пакета рассыпают в два блюдца, поставленные на разные чашки, до тех пор, пока весы не уравновесятся.
130. Если бы заказанный венец был сделан из чистого золота, он весил бы вне воды 100 кг, а под водой терял 20-ю долю этого веса, т. е. полкилограмма. В действительности же венец, как мы знаем, теряет в воде не 1/2, а 10–91/4 = 3/4 кг. Это происходит потому, что он содержит серебро — металл, теряющий в воде не 20-ю, а 10-ю долю своего веса. Значит, серебра в венце столько, что венец теряет в воде не 1/2 кг, а 3/4 кг — на 1/4 кг больше. Если в нашем чисто золотом венце мысленно заменить 1 кг золота серебром, то венец будет терять в воде на 1/10 — 1/20 = 1/20 кг больше, чем прежде. Следовательно, чтобы увеличить потерю веса на требуемую величину — 1/4 кг, необходимо заменить серебром столько килограммов золота, сколько раз 1/20 кг содержится в 1/4 кг. Поскольку 1/4: 1/20 = 5, получаем: в венце вместо выданных 2 кг серебра и 8 кг золота 5 кг серебра и 5 кг золота. Три килограмма золота мастер заменил серебром и утаил.
Задачи с квадратами
131. Пруд
Имеется квадратный пруд (рис. 134). По углам его, близ самой воды, растет 4 старых развесистых дуба. Пруд понадобилось расширить: сделать вдвое больше по площади, сохранив квадратную форму. Но вековые дубы трогать не хотят. Можно ли расширить пруд до требуемых размеров так, чтобы все 4 дуба, оставаясь на своих местах, оказались на берегах нового пруда?
Рис. 134. Задача о пруде.
132. Паркетчик
Паркетчик вырезал квадраты из дерева и проверял свою работу, сравнивая длины их сторон. Если все четыре стороны были равны, то он считал квадрат вырезанным правильно.
Рис. 135.
Надежна ли такая проверка?
133. Другой паркетчик
Другой паркетчик проверял свою работу иначе. Он мерил не стороны квадратов, а их диагонали (т. е. те косые линии, которые, перекрещиваясь, соединяют углы фигуры). Если обе диагонали оказывались равными, паркетчик считал квадрат вырезанным правильно.
Вы тоже думаете, что такая проверка правильна?
134. Третий паркетчик
Третий паркетчик при проверке квадратов убеждался в том, что все 4 части, на которые диагонали разделяют друг друга (рис. 136), равны между собой. По его мнению, это доказывало, что вырезанный четырехугольник есть квадрат. Прав ли он?
Рис. 136.
135. Белошвейка
Белошвейке нужно отрезать от полотна несколько квадратных кусков. Свою работу она проверяет тем, что перегибает четырехугольный кусок по диагонали и смотрит, совпадают ли его края. Если совпадают, значит, решает она, отрезанный кусок имеет в точности квадратную форму.
Так ли это?
136. Еще белошвейка
Подруга нашей белошвейки не довольствовалась описанным способом проверки. Отрезанный четырехугольник она перегибала сначала по одной диагонали, затем, расправив полотно, — по другой. И только если края фигуры совпадали в обоих случаях, считала квадрат вырезанным правильно.
Что вы скажете о такой проверке?
137. Затруднение столяра
У молодого столяра имеется пятиугольная доска, изображенная на рис. 137. Вы видите, что она как бы составлена из квадрата и приложенного к нему треугольника, который вчетверо меньше этого квадрата. Столяру нужно, ничего не убавляя от доски и ничего к ней не прибавляя, превратить ее в квадратную. Для этого необходимо, конечно, доску предварительно распилить на части. Столяр так и намерен сделать, но он желает распилить доску не более чем по двум прямым линиям.
Рис. 137. Затруднение столяра.
Возможно ли двумя прямыми линиями разрезать нашу фигуру на такие части, из которых можно было бы составить квадрат? И если возможно, то как это сделать?
138. Все человечество внутри квадрата
В настоящее время (1924 г.) на всем земном шаре насчитывается 1800 миллионов человек: 1 800 000 000. Представьте, что все люди, живущие на свете, собрались толпой на каком-то ровном месте. Вы хотите поместить их на квадратном участке, отводя по квадратному метру на каждые 20 человек (плотно прижавшись друг к другу, 20 человек смогут поместиться на таком квадрате).
Попробуйте, не вычисляя, прикинуть, квадрат какого размера понадобился бы для этого. Достаточно ли будет, например, квадрата со стороной 100 км?
139. Сомнительные квадраты
Учитель черчения задал школьнику работу: начертить два равных квадрата и заштриховать их. Школьник выполнил работу так, как показано на рис. 138. Он был уверен, что это квадраты и притом равные. Почему он так думал?