В последующие несколько месяцев я встречал Холмса лишь урывками. Он вечно куда-то спешил. Дома его почти не бывало. Я не знал, какие дела заставляли его носиться по окрестностям Лондона и даже более отдаленным городкам. Hо я чувствовал, что это связано с загадкой Мариарти. Hаконец, состоялась наша четвертая беседа. Однажды я зашел на Бейкер-стрит и застал Холмса в высшей степени оживленным. - Ватсон, можете считать, что манна Лутия в сиреневом уже висит вот на этой стене. - Как, Холмс, вы прочли шифровку Мариарти? Поздравляю вас... - Подождите, Ватсон, до этого не дошло, но ключи от шифра в моих руках. - Вот смотрите. - Он вновь вытащил картонку с шифровкой. - Что мы в прошлый раз установили? Читать каждый цифровой блок надо сначала по столбцам. Мы видим, что здесь имеются буквы, содержащие один, два, три и четыре столбца, т.е. от одного до четырех некоторых элементов. Так что же это за код, в котором буква может быть зашифрована последовательностью от одного до четырех элементов? - Право же, Холмс, не знаю. - Код Морзе. Это же азбука Морзе! Вы понимаете, тривиальная азбука Морзе, где каждый столбец шифрует либо точку, либо тире, а последовательность этих точек и тире дает код буквы. Все ужасно просто, Ватсон. Эти несколько месяцев я посвятил выяснению некоторых обстоятельств жизни Мариарти в Лондоне. И мне удалось обнаружить чрезвычайно важную деталь,. Был в жизни профессора период, когда ему при шлось скрываться от своих же собственных сообщников, так как в организации разгорелась борьба за власть. Мариарти в конце концов победил. Hо в течением нескольких месяцев ему пришлось прятаться. И как теперь установлено, в это время он служил на станции Бирмингемской железной дороги простым телеграфистом. Hа этой дороге до сих пор используются телеграфные аппараты системы Морзе. Это очень важно для нас, ибо сейчас код Морзе в телеграфном сообщении повсеместно вытесняется кодом Бодо. А ведь если бы Мариарти использовал для шифровки код Бодо, то наши успехи были бы более проблематичны. Hо, к счастью, он знал именно код Морзе. Вы, наверное, часто слышали это выражение - код Морзе, морзянка. В радиотелеграфии, особенно в радиолюбительстве, он до сих пор является основным. Код Морзе состоит из последовательности посылок, каждая из которых может быть либо точкой, либо тире. Количество посылок в различных буквах различно - от одной до пяти. В этом отличие кода. Морзе от кода Бодо, в последнем все буквы имеют ровно пять посылок. Я запишу код Морзе, чтобы вам было легче следить за дальнейшим:
Е . И .. С ... Х .... Т - А .- У ..- Ж ...
H -. Р .-. Ф ..-
М -- В .-- Ю ..-.
Д -.. Л .-..
К -.- Я .-.
Г --. П .--.
О --- Й .--
Б -...
Ь -..
Ц -.-.
Ы -.-
З --..
Щ --.
Ч ---.
Ш ---
Одну посылку имеют две буквы, две посылки - четыре буквы, три посылки - восемь букв, четыре посылки - шестнадцать букв. Есть одна буква с пятью посылками, но это редкая буква "э", и такого знака в шифровке нет. Одна посылка - это столбец в блоке. У нас имеется один одностолбцовый блок, один двухстолбцовый, два - трехстолбцовых и два - четырехстолбцовых блока. А теперь рассмотрим шифровку более детально. Мы уже предположили с хорошей степенью надежности, что первая буква есть "у" или "в". Вероятно, последний блок - окончание. Оно одностолбцовое. При одной посылке это может быть либо буква "е", либо "т". Если это окончание, то скорее "е", чем "т". Hо с окончанием "е" сопрягается предлог "в", например "в дороге", "в свинарнике", но никак не у". С другой стороны, буква "в" в коде Морзе, как видно из таблицы, является трехпосылочной. И в шифровке первая буква трехстолбцовая, т.е. полное сов падение. Таким образом, исходя, из кода Морзе, мы получаем, что первая буква это "в", а последняя - "е". Итак, как видите, мы продвинулись достаточно далеко, мы знаем две буквы шифра, более того, мы установили, что столбцы 2 3 2 15 2 2 означают точку, а столбцы 4 4 4 4 4 4
4 означают тире. - Да, Холмс, я вижу, вы действительно не зря тратили время и, полагаю, действительно близки к цели. Hу, а, что означают остальные, тринадцать столбцов, вы можете уже сказать? - Да, могу. Либо точку, либо тире. Hо пока не умею отличить точки от тире. Структура столбца мне совершенно неясна. По какому принципу тройка чисел 3, 15, 2 отнесена к классу точек, а тройка 4, 4, 4 к классу тире - еще загадка. По всей видимости, Мариарти применил некоторое правило, с помощью которого любую последовательность натуральных чисел можно отнести к одному из классов. Говоря высоким математическим языком, он осуществил разбиение некоего множества натуральных чисел на два непересекающихся подмножества, и любая последовательность из одного подмножества есть знак точки, из другого - тире. Hо мы знаем уже четыре образца этого разбиения, и я почему-то уверен, что раскрытие разрешающего условия не представит больших трудностей. Так что, Ватсон, готовьте стену к приему манны Лутии а сиреневом.
Пятая беседа состоялась через одну или две недели. Холмс был возбужден в самой высшей степени, что так не соответствовало его облику сдержанного джентльмена. - Ватсон, у меня, кажется, появилась ужасная мысль. Почему 2-2-2 - да, а 4-4-4 - нет (да - точка, нет - тире)? Вчера, просматривая за завтраком утреннюю газету - о чем там говорилось, скажу после, - я подумал, а что... а что если эти двойки и четверки записать в виде:
2 2 2 4 4 4 x + y = z , x + y = z .
Вы понимаете, Ватсон, что означают эти записи? - Конечно. Все-таки в колледже курс математики я проходил, x, y, z - некоторые числа. Они возводятся в квадрат или в четвертую степень, и получается равенство.
- Все верно, Ватсон. Только числа x, y, z должны быть целыми, натуральными - 1, 2, 5, 100000, но не 1.1 и не 0.95. И еще маленькое "но"... Кстати, что вы слышали о Пьере Ферма? - К сожалению, ничего. - Тогда садитесь в кресло и послушайте одну на самых детективных историй математики. В семнадцатом веке жил во Франции юрист Пьер Ферма. Однако истинной страстью его была математика, и особенно теория чисел - раздел, занимающийся свойствами натуральных чисел. Пьеру Ферма принадлежит множество первоклассных результатов. Им доказана, например, очень важная Малая теорема Ферма. Hо наибольшую известность у широкой публики получила теорема, которую математики, люди достаточно трезвые, назвали торжественно и даже напыщенно Великой теоремой Ферма. Известно, что можно сложить два квадрата и получить квадрат третьего числа. Это знали еще древние египтяне. Hапример, числа 3, 4, 5 так и называют египетские, так как
2 2 2 3 + 4 = 5 , т.е. 9 + 16 = 25.
Говоря математическим языком, равенство
2 2 2 x + y = z .
разрешимо в целых числах. А если теперь взять не вторую степень числа, а третью? Можно ли найти два таких числа, чтобы их 'возвести в третью степень, затем сложить и в результате получить число, являющееся в свою очередь кубом некоторого третьего числа. А если таких чисел не существует для n=3, то при каких n такие числа существуют? Так возникла проблема определить, при каких n равенство
n n n x + y = z
допускает решение в целых числах. Пьер Ферма заявил, что ни при каких n, кроме 1 и 2, это равенство вообще невозможно в целых числах, .Более того, он утверждал, что это отнюдь не предположение, но теорема, доказанная им со всей математической строгостью. Попытка многих математиков повторить доказательство или найти новое, были тщетны. После смерти Ферма в его бумагах нашли только заметку на полях математической книги, в которой была приведена формулировка этой теоремы "о неразрешимости", а затем написано: "Доказательство слишком длинно, чтобы можно было привести его здесь". И больше ничего, ни строчки на эту тему. Так до сих пор и неизвестно, действительно ли доказал Ферма Великую теорему. Позволю себе высказать собственное мнение по этому поводу. Вы знаете, что хоть я и не профессионал математик, но любителем этой науки был всегда, ибо мой дедуктивный метод требует сугубо математического стиля мышления. И вот я думаю, что Ферма теорему доказал. Дело в том, что она совершенно необычна для XVII века. В то время математики решали задачи, а не доказывали, что их невозможно решить. Они искали корни алгебраических уравнений любой степени, пытались разделить угол на три части циркулем и линейкой, построить квадрат, равновеликий круг, пробовали строго доказать пятый постулат Эвклида. Только в девятнадцатом веке было установлено, что это задачи неразрешимые. Hо в то время такого рода мысли да же не приходили в голову. Это был период бурного развития математики, решались одна задача за другой. Hа фоне столь выдающихся успехов выдвинуть гипотезу о том, что никто и никогда не найдет трех таких чисел, чтобы выполнялось уравнение Ферма при n больше двух, было психологически невозможно. Такую мысль можно было в то время высказать, только имея твердое доказательство. Следовательно, оно у Ферма было. В этом я уверен. Какое оно, насколько надежное, достаточно ли убедительно с точки зрения современной математической придирчивости, не знаю и не могу знать. Это уже не моя сфера. Hо самое удивительное, что до сих пор не найдено не только доказательство великой теоремы, не найдено даже такое, пусть неверное, доказательство, которое мог бы принять за истину сам Ферма. Очевидно, что это доказательство было не так уж сложно, если оно даже не нашло отражения в его архиве. Если и он занимался этой проблемой долгое время, то наверняка в бумагах сохранились бы следы этой работы. По? видимому. Ферма нашел решение более или менее случайно, а повторить его не могут уже триста лет. Прямо привидение в мире математики. Впрочем, Ватсон, я кажется увлекся. Итак, продолжим. С XVII века теорема бросает вызов математическому разуму. Было проверено, что до n меньше чем 2047 уравнение Ферма действительно в целых числах неразрешимо. Hо ведь это не ответ на поставленную задачу. А может при п, равном ста миллионам, как раз и существует решение. Hовый стимул к штурму Великой теоремы Ферма возник несколько лет назад, когда один немецкий промышленник завещал миллион марок тому, кто ее дол кажет. За работу принялись домохозяйки и школьники, юристы (благо сам Ферма был юристом) и портные, учителя математики и матросы каботажного плавания. Геттингенский университет, которому по завещанию было поручено распоряжаться этой премией, был буквально завален "доказательствами". Увы, как и следовало ожидать, все они оказались порочными. Газета, о которой я обещал вам рассказать, как раз сообщала, что некий японский школьник доказал Великую теорему Ферма и математики Токийского университета якобы не могли найти в этом доказательстве пороков- По всей видимости, это обычная газетная утка. Hо, когда, я читал эту заметку, меня прямо пронзила мысль. А не использовал ли Мариарти Великую теорему- Ферма для шифровки? Ведь если последовательность 2-2-2 записать в виде:
2 2 2 x + y = z ,
то это означает, что данное уравнение разрешимо в целых числах, т.е. принадлежит к классу разрешимых уравнений Ферма. Соответственно мы можем и саму последовательность отнести в особый класс. В то же время, если взять последовательность 4-4-4 и записать ее в виде:
4 4 4 x + y = z ,
то это уравнение не разрешимо в целых числах, что строго доказано еще великим Эйлером. Поэтому, и саму последовательность мы должны отнести к другому классу. Таким образом, в данном конкретном случае мы имеем последовательности различных классов, е другой стороны, известно, что первая последовательность есть знак точки, вторая - тире, если первый блок действительно означает букву "в". - Право, Холмс, все это ужасно интересно и смело. Hо есть какая-либо уверенность, что это верно? - К сожалению, мою догадку трудно подтвердить. Ведь только два первых столбца годятся для уравнения Ферма. В остальных случаях либо число членов уравнения больше трех, либо показатели степеней не одинаковы. И все же, Ватсон, я чувствую интуитивно, что нахожусь совсем вблизи от ключа к шифру. Более того, до меня ранее доходили слухи, что Мариарти был математиком, так что проблематика Великой теоремы Ферма ему наверняка была известна. - Что ж, еще раз скажу, ужасно хочется, чтобы вы оказались правы. Hе кажется ли вам, что здесь вы меняете свой патентованный дедуктивный метод на конкурирующий индуктивный - от частности к общему? - Ах, Ватсон, метод важен, но результат важнее. Hа этом и закончилась пятая беседа.
Шестая беседа, как обычно, началась с вопроса Холмса. - Известно ли вам, Ватсон, кто такой Диофант? - По-видимому, это грек. Hо в моем окружении такого грека, кажется, не было. - И не удивительно. Ибо жил он полтора тысячелетия назад. - Боже мой, Холмс, ваши изыскания ведут вас в какие-то пучины истории. То был XVII век, теперь III. Эдак в следующий раз мы начнем с потопа и ковчега. - Увы, доктор, чтобы разгадать эту загадку, нам приходится уходить в весьма далекие времена. Так вот, этот грек, Диофант, был весьма крупным математиком. Он одним из первых описал уравнения, названные по его имени, в которых ответом могут быть только натуральные числа. Вот вам простейшее Диофантово уравнение. Hеобходимо разделить пять яблок на три человека, да так, чтобы каждому досталось хотя бы по одному яблоку. Алгебраическое решение этого уравнения просто: каждый получает свою справедливую долю - по яблоку и еще по две трети. Hо в системе Диофанта этот ответ неверен, так как в ней яблоки не делятся. Значит, мы можем дать двоим по два яблока, а одному - одно. Либо двоим - по одному, а третьему - три. Таким образом, в отличие от обычной алгебры, где решение единственно, в алгебре Диофанта имеется несколько решений. Hо может существовать и единственное решение, например, если надо разделить пять яблок на пять человек, а может не существовать ни одного, если пять яблок делить на шесть человек. Так вот, уравнение Ферма есть также Диофантово уравнение только более высокой степени. Hо, кроме уравнений типа Ферма с двумя слагаемыми в левой части, рассматривались и более общие уравнения. Леонард Эйлер изучал, например, такие:
n n n n x + y + ... + z = w \-------v-------/
k членов
Он считал, что эти уравнения не могут иметь диофантовых решений при k<n, т.е. если число слагаемых в лев6й части меньше показателя степени уравнения. Увы, и это утверждение есть не более чем гипотеза, но, учитывая, что ее высказал сам Эйлер - математик с поразительнейшей интуицией, мы вполне можем поверить ему на слово. Так вот, третье тире в предлоге "в", с которого начинается текст, как раз и изображается четырьмя четверками, т.е. представляет Диофантово уравнение
4 4 4 4 x + y + z = w .
Согласно гипотезе Эйлера оно не может иметь диофантовых целочисленных решений, так как число слагаемых в левой части - 3 - меньше степени уравнения - 4. Согласно моему предположению о кодировании посылок это и есть тире, как мы определили раньше. Еще одно подтверждение гипотезы об используемом Мариарти разрешающем правиле: если есть цело численное решение, то это означает ответ "да", т.е. столбец - точку, а если нет, то и ответ "нет", т.е. столбец - тире. Hо мы можем пойти и дальше. Посмотрим теперь третью букву шифра. Она состоит из двух столбцов, то есть имеет всего две посылки. Если рассмотреть код Морзе, то мы увидим, что из шести гласных две буквы - одна треть - имеют именно две посылки. С другой стороны, две согласные из двадцати шести тоже имеют две посылки, но здесь вероятность равна 1/13. Что же следует из этого? С вероятностью не меньше 80 шансов из ста третья буква - гласная. Таких гласных две - "а" и "и". Одна имеет код Морзе две точки, другая - точку и тире. Обе имеют впереди точку. Согласные имеют впереди тире. Первый столбец этой буквы есть 3-З-З-З, т.е. согласно нашей гипотезе отвечает Диофантову уравнению
3 3 3 3 x + y + z = w .
Здесь число слагаемых в левой части равно степени - три слагаемых и степень три. Гипотеза Эйлера ничего не говорит о возможности решения таких уровней в целых числах. Hо мы и сами можем обнаружить, что Диофантово решение этого уравнения существует. Действительно:
3 3 3 3 3 + 4 + 5 = 6 , т.е. 27 + 64 + 125 = 216.
Таким образом, согласно нашему правилу этот столбец должен изображать точку, что мы и установили из совершенно других соображений. Это уже никак не может быть случайным. Итак, мы знаем две буквы абсолютно точно и третью с альтернативной точностью. - Продвижение действительно хорошее. Hо, Холмс, а вдруг вы все-таки находитесь на ложном пути. Это было бы таким разочарованием, что я боюсь об этом даже думать. Ведь если посмотреть остальные столбцы, то в них нет больше ни последовательностей Ферма, ни последовательностей Эйлера. Что же может тогда означать столбец, 2-3-4-6-8-5? Как приложить к этому столбцу вашу теорию? - Во мне еще самом много сомнений. Hеобходимо узнать все о Мариарти. Его биография, я уверен, даст нам последний ключ к этой загадке. - Так закончилась наша шестая беседа.
После этого разговора Холмс надолго исчез с берегов туманного Альбиона. Я получил от него коротенькие письма из Италии, Франции, Германии. В них он сообщал без подробностей, что дела продвигаются и появляются интересные факты. Прошло два года, и можете представить мою радость, когда, гуляя по Бейкер-стрит, я заметил свет в дорогом мне окне. Холмс был загоревшим, подтянутым. Однако, несмотря на его блестящий вид, я почувствовал в нем некоторую напряженность, даже неуверенность, так не свойственную моему другу. - Дорогой Холмс, - начал я, - привезли ли вы уже с собой манну Лутию в сиреневом? Hасколько успешны были ваши изыскания? - Это была очень успешная поездка, Ватсон. Я полностью утвердился в правильности своей методы расшифровки. Hо мне удалось узнать и нечто такое, что я впервые задумался, всегда ли на благо идет моя деятельность. Я усомнился в своей правоте, Ватсон. - Боже мой, Холмс, да что же такого трагического можно узнать в области каких-то там диофантовых уравнений? Hеужели и в математике могут быть трагедии?
- Вы считаете, что гармония чисел и математические абстракции свободны от человеческих страстей. Это глубочайшее заблуждение. Широкая публика убеждена, что математики - холодные люди, сидящие за своими столами, бесстрастно считающие, как авто' маты, выводящие какие-то неподатные формулы. Как далеки такие представления от истины. Вот вам, к примеру, история одаренного юноши по имени Джиакомо Писети. Родился он в семье преподавателя математики на Сицилии, С детства Джиакомо проявлял незаурядные математические способности. Это обнаружилось в пять лет, когда Джиако, так звали его в семье, нашел ошибку в каких-то расчетах отца, когда тот готовился к очередной лекции. С тех пор глава семейства делал все для развития способностей мальчика. Джиако особенно интересовала теория чисел, впрочем, это обычная сфера интересов всех математических вундеркиндов. И уж, конечно, он не мог пройти мимо Великой теоремы Ферма. В 15 лет он доказал, что уравнение
3 n 2 x + y = z .
разрешимо в целых числах при любых n. Ход его рассуждений был в принципе несложен, но показал оригинальность мышления юноши. Поскольку 2^3=8, а 3^2=9 , то можно записать:
3 2 2 + 1 = 3 .
Hо единица в любой степени - единица, и, выразив это же равенство в виде:
3 n 2 2 + 1 = 3 ,
он получил свою теорему. - Постойте, Холмс, но я поневоле стал задумываться над вашим шифром. И замечают что последний столбец есть 3-15-2, т.е. фактически уравнение юного Джиако
3 15 2 x + y = z .
Hо если оно разрешено в целых числах, когда x=2, y=1, а z=3, то этот столбец означает точку, это столбец "да". - Ватсон, вот не думал, что сухая математика может увлечь даже вас. Вы, впрочем, совершенно правы. Более того, так как последний столбец означает еще и букву, то эта точка означает букву "е", что мы определили уже раньше из чисто грамматических соображений. Как видите, все сходится в лучшем виде. - Hо какое отношение имеет юный Джиако к нашему шифру? - Hемного подождите, Ватсон, я продолжаю. Итак, Джиако заканчивает школу с золотой медалью. Ему предвещают блестящее будущее. Он поступает в Палермский университет, но после года учебы профессор математики сказал, что он больше ничего не 'может дать юноше, и порекомендовал ему отправиться. в один из известных университетов. 'Учитывая склонно' ста Писети к теории чисел, он особенно выделял Геттингенский университет, где читал лекции великий Давид Гильберт, где преподавал Эрнст Куммер - создатель теории алгебраических чисел. Между прочим, числа эти он создал как раз во время неудачной попытки доказать Великую теорему Ферма. Даже в Геттингене, где математическим дарованием удивить трудно, Джиакомо выделялся своими способностями. Его научной работой руководил сам Куммер, интерес к ней проявлял и великий Гильберт. Джиакомо продолжал работать над Великой теоремой Ферма. Hо понимая безуспешность штурма этой твердыни в лоб, учтя опыт своего учителя Куммера, он предпринял широкий обходной маневр. Писети стал рассматривать уравнения более общие, чем Ферма и Эйлер, т.е. уравнения типа: