Того же характера эмерджентность и накопление человеческого «багажа» видны на рис. 10.5. Я привожу грубую схему организации научных теорий в генеалогическое древо, в котором каждая теория может быть выведена (по крайней мере в принципе) из более фундаментальных. Все эти теории имеют две составляющие: математические уравнения, а также слова, которые объясняют, как уравнения связаны с тем, что мы наблюдаем. Например, квантовая механика, как ее обычно излагают в учебниках, содержит обе компоненты (гл. 8): математическую, такую как уравнение Шредингера, и записанные на естественном языке фундаментальные постулаты вроде утверждения о коллапсе волновой функции. На каждом уровне иерархии теорий вводятся новые понятия (протоны, атомы, клетки, организмы, культуры и т. д.), потому что они удобны и охватывают суть того, что происходит, без обращения к вышестоящей, более фундаментальной теории. Все эти понятия вводят люди: в принципе, все может быть выведено из фундаментальной теории на вершине древа, хотя такой крайний редукционизм на практике обычно бесполезен. Грубо говоря, по мере движения вниз по древу количество слов увеличивается, а уравнений – уменьшается, едва не достигая нуля в таких предельно прикладных сферах, как медицина или социология. Напротив, теории, близкие к вершине, сильно математизированы, и физики с трудом описывают понятия в доступном обывателю виде, если это вообще возможно.
Рис. 10.5. Теории можно выстроить в “фамильное древо”, где каждая из них может быть выведена, по крайней мере в принципе, из более фундаментальных. Например, специальную теорию относительности можно получить из общей теории относительности в приближении, при котором ньютоновская гравитационная постоянная G равна нулю. Классическая механика выводится из специальной теории относительности в приближении бесконечности скорости света c. Гидродинамика со всеми ее понятиями, например плотностью и давлением, вытекает из классической физики столкновений частиц. Однако случаев, когда переходы по стрелкам хорошо понятны, меньшинство. Вывод биологии из химии или психологии из биологии на практике кажется недостижимым. Лишь отдельные, приближенные аспекты таких дисциплин математизированы, и, вероятно, все математические модели, имеющиеся сейчас в физике, также являются аппроксимациями отдельных аспектов реальности.
Высшая цель физики – найти то, что в шутку называют теорией всего (ТВ), из которой может быть выведено все остальное. Ей предстоит занять место большого вопросительного знака наверху древа теорий. Здесь чего-то недостает (гл. 7): у нас нет целостной теории, объединяющей гравитацию и квантовую механику. ТВ стала бы полным описанием внешней физической реальности, существование которой предполагается в гипотезе внешней реальности. Выше я показал, что полное описание должно быть свободно от любого «багажа», то есть не должно содержать никаких понятий. Иными словами, оно должно быть чисто математической теорией без объяснений или «постулатов», как в учебниках по квантовой механике (математики прекрасно справляются – и часто этим гордятся – с изучением абстрактных математических структур, которые не имеют никакого внутреннего смысла или связи с физическими понятиями). Так что бесконечно разумный математик должен быть способен вывести все древо теорий на рис. 10.5 лишь из этих уравнений, извлекая из них свойства физической реальности, которую они описывают, свойства ее обитателей, их восприятие мира и даже слова, которые они придумывают. Эта чисто математическая «теория всего» потенциально может оказаться достаточно простой для описания с помощью уравнений, которые уместятся на футболке.
Все это неуклонно ведет нас к вопросу: действительно ли можно найти такое описание внешней реальности, в котором не было бы никакого «багажа»? Если да, то описание объектов нашей внешней реальности и взаимосвязей между ними было бы совершенно абстрактным, а любые слова или символы стали бы не более чем метками без какого-либо априорно подразумеваемого смысла. Свойства же всех таких сущностей исчерпывались бы их связями между собой.
Математические структуры
Для ответа на этот вопрос необходимо присмотреться к математике. Для современного логика математическая структура – это в точности следующее: набор абстрактных сущностей с отношениями между ними. Возьмем, например, целые числа или геометрические объекты, вроде любимого пифагорейцами додекаэдра. Это совершенно не похоже на первоначальное восприятие математики большинством из нас – как садистской формы наказания или набора трюков для манипулирования числами. Математика, развиваясь, стала, подобно физике, задаваться более широкими вопросами.
Современная математика – это формальное исследование структур, которые можно определить чисто абстрактным способом, без человеческого «багажа». Считайте математические символы просто метками без внутреннего содержания. Неважно, пишете ли вы «два плюс два равно четыре», 2 + 2 = 4 или dos más dos es igual a cuatro. Обозначения, используемые для указания сущностей и их взаимосвязей, не имеют значения; целые числа обладают лишь теми свойствами, которые связывают их между собой. То есть мы не изобретаем математические структуры: мы открываем их, а изобретаем лишь обозначения для их описания. Если другая цивилизация заинтересуется трехмерными фигурами, состоящими лишь из одинаковых плоских граней, она может открыть пять форм, представленных на рис. 7.2, которые мы, земляне, называем платоновыми телами. Инопланетяне могут придумать для них собственные названия, но не смогут изобрести шестую фигуру – ее просто не существует.
Итак, два основных вывода:
1. Из гипотезы внешней реальности вытекает, что «теория всего» (полное описание нашей внешней физической реальности) не содержит «багажа».
2. Нечто, имеющее описание, совершенно свободное от «багажа», – это не что иное, как математическая структура.
Из этих тезисов, взятых вместе, вытекает гипотеза математической Вселенной, то есть утверждение о том, что внешняя физическая реальность, описываемая посредством «теории всего», является математической структурой[67]. Итак, если вы верите во внешнюю реальность, независимую от людей, то вы должны поверить и в то, что наша физическая реальность является математической структурой. Ничто больше не имеет свободного от «багажа» описания. Иными словами, мы живем в гигантском математическом объекте – гораздо более сложном, чем додекаэдр, и, вероятно, даже гораздо более сложном, чем объекты с пугающими названиями вроде многообразий Калаби – Яу, тензорных расслоений или гильбертовых пространств, которые появляются в передовых современных физических теориях. Все в нашем мире чисто математическое – включая нас самих.
Что такое математическая структура?
«Подожди-ка!» – обычно восклицает мой друг Джастин Бендих, когда физическое утверждение наводит на важный вопрос, на который нет ответа. А гипотеза математической Вселенной поднимает сразу три таких вопроса:
1. Что в точности является математической структурой?
2. Как именно наш физический мир может быть математической структурой?
3. Дает ли это утверждение какие-либо проверяемые предсказания?
Мы займемся вторым из этих вопросов в гл. 11, а третьим – в гл. 12. Начнем мы с первого и вернемся к нему в гл. 12.
«Багаж» и эквивалентные описания
Итак, люди пополняют свои описания «багажом». Теперь взглянем с другой стороны: как математическая абстракция может избавлять от «багажа», «обнажая» вещи до самой их сути. Рассмотрим конкретную последовательность шахматных ходов, известную как Бессмертная партия. В ней белые впечатляюще жертвуют обеими ладьями, слоном и ферзем, чтобы поставить мат тремя оставшимися легкими фигурами (рис. 10.6). Здесь, на Земле, эта партия впервые была сыграна в 1851 году Адольфом Андерсеном и Лионелем Кизерицким. Ее ежегодно воспроизводят в итальянском городке Маростика живые игроки, одетые шахматными фигурами, и она регулярно повторяется множеством любителей шахмат по всему миру. Некоторые игроки (включая моего брата Пера, его сына Симона и моего сына Александра; рис. 10.6) пользуются деревянными фигурами, другие – фигурами из мрамора или пластмассы. Некоторые доски выкрашены в коричневый и бежевый цвета, другие в черный и белый, а некоторые являются виртуальными, нарисованными с помощью трехмерной или двумерной компьютерной графики (рис. 10.6). И все же в некотором смысле ни одна из этих деталей не важна: когда любители шахмат называют Бессмертную партию красивой, они имеют в виду не привлекательность игроков, доски или фигур, а более умозрительную сущность, которую можно назвать абстракцией партии или последовательностью ходов.
Рис. 10.6. Абстрактная партия в шахматы не зависит от цвета или формы фигур, от того, описываются ли ходы движениями фигур на физически существующей доске, на стилизованном компьютерном изображении или с применением алгебраической шахматной нотации – это все равно та же партия. Аналогично математическая структура не зависит от символов, которые используются для ее описания.
Рассмотрим подробнее, как мы описываем абстрактные сущности. Прежде всего описание должно быть конкретным, так что нужно изобрести объекты, слова, символы, соответствующие абстрактной идее. Так, в Соединенных Штатах шахматную фигуру, которая ходит по диагонали, мы называем bishop («епископ»). Во-вторых, очевидно, что это название произвольно и другие были бы ничуть его не хуже. В самом деле, эта фигура называется fou («дурак») по-французски, strelec («стрелок») по-словацки, löpare («бегун») по-шведски, fil («слон») по-персидски. Можно, однако, согласовать уникальность Бессмертной партии с множественностью ее возможных описаний, используя сильную идею эквивалентности:
1. Мы определим, что имеется в виду под эквивалентностью двух описаний.
2. Мы будем говорить, что если два описания эквивалентны, то они описывают одну и ту же вещь.
Любые слова, понятия или символы, которые появляются в некоторых, но не во всех эквивалентных описаниях, очевидно, являются необязательными, а значит, относятся к «багажу». Но если мы хотим определить сущность Бессмертной партии, сколько «багажа» мы можем выбросить? Очевидно, много: компьютеры способны играть в шахматы, не имея никакого представления о человеческом языке или понятиях вроде цвета, текстуры, размеров и названий фигур. Чтобы до конца понять, как далеко мы можем зайти, необходимо дать более строгое определение эквивалентности:
Два описания эквивалентны, если между ними существует соответствие, которое сохраняет все отношения.
В шахматах используются абстрактные сущности (фигуры и поля на доске) и отношения между ними. Одно из отношений, которое фигура может иметь с полем, заключается в том, что первая стоит на втором. Другое отношение, которое фигура может иметь к полю, состоит в том, что ей позволено на него переместиться. Две центральные иллюстрации на рис. 10.6, согласно нашему определению, эквивалентны: между трехмерными и двумерными фигурами и досками существует соответствие, так что любой трехмерной фигуре, стоящей на определенном поле, соответствует двумерная фигура на соответствующем поле. Аналогично, описание шахматной позиции, выраженное лишь в словах английского языка, эквивалентно описанию, выраженному лишь в словах испанского языка, если имеется словарь, описывающий соответствие между английскими и испанскими словами, и если его применение при переводе описания на испанском дает описание на английском.
Когда газеты или веб-сайты публикуют шахматные партии, они обычно используют еще одну эквивалентную форму описания – так называемую алгебраическую шахматную нотацию (рис. 10.6, справа). Здесь фигуры обозначены не предметами или словами, а буквами (слон, например, эквивалентен «С»), а поля представляются буквой, задающей вертикаль, и цифрой, указывающей горизонталь. Поскольку абстрактное описание партии на рис. 10.6 (справа) эквивалентно ее описанию в форме видеозаписи игры на физической доске, все, что есть в последней форме описания, но не имеет соответствия в первой, является «багажом» – от физического существования доски до формы, цвета и названий фигур. Даже особенности алгебраической шахматной нотации выступают «багажом»: когда в шахматы играют компьютеры, они обычно пользуются иными абстрактными описаниями позиций, представляющими собой схемы из нулей и единиц в памяти. Так что остается после того, как мы избавляемся от «багажа»? Что именно описывается эквивалентными описаниями? Бессмертная партия, на 100 % очищенная.
«Багаж» и математические структуры
Разобранный случай с абстрактными шахматными фигурами, полями на доске и отношениями между ними – это пример гораздо более общего понятия – математической структуры. Это стандартное понятие в современной математической логике. В гл. 12 я приведу более строгое описание, а пока вполне достаточно неформального определения:
Рис. 10.7. Три эквивалентных описания одной и той же математической структуры, которую математики назвали бы ориентированным графом с четырьмя элементами. Каждое описание содержит некий произвольный «багаж», но структура, которую все они описывают, на 100 % свободна от «багажа»: ее четыре сущности не имеют свойств, кроме отношений между ними, а эти отношения не имеют свойств, кроме информации о том, какие элементы они связывают.
Математическая структура – это набор абстрактных сущностей с отношениями между ними.
Рассмотрим несколько примеров. На рис. 10.7 (слева) описываются математические структуры с четырьмя сущностями, связанными между собой отношением нравится. Сущность Филипп представлена изображением с множеством внутренних свойств, таких, например, как цвет волос. Напротив, сущности математических структур совершенно абстрактны, что предполагает отсутствие у них каких бы то ни было внутренних свойств. Это значит, что какие бы символы мы ни использовали для их представления, это будут лишь метки, свойства которых не имеют отношения к делу: во избежание ошибочного приписывания свойств этих символов абстрактным сущностям, обозначением которых они являются, рассмотрим более аскетичное описание, представленное на среднем рисунке. Оно эквивалентно первому, поскольку, если установить соответствие согласно следующему словарю: Филипп = 1, Александр = 2, лыжи = 3, скейтборд = 4, нравится = R, все отношения сохранятся. Так, «Александру нравится скейтборд» превратится в «2 R 4», а такое отношение на среднем рисунке действительно есть.
Математические структуры можно описывать точно так же, как шахматные партии, лишь при помощи символов. Так, в правой части рис. 10.7 представлено третье эквивалентное описание нашей математической структуры с помощью числовой таблицы четыре на четыре. В таблице значение 1 указывает, что отношение (нравится) имеет место между элементом, соответствующим данной строке, и элементом, соответствующим данному столбцу. Скажем, тот факт, что в третьей колонке первой строки стоит 1, означает, что «Филиппу нравятся лыжи». Очевидно, что существует гораздо больше эквивалентных способов описания математической структуры. Но есть лишь одна уникальная математическая структура, которая описывается всеми этими способами. Итак, любое конкретное описание математической структуры несет «багаж», но сама структура его не содержит. Важно не путать описание с тем, что именно описывается: даже кажущееся наиболее абстрактным описание математической структуры не является самой этой структурой. Правильнее сказать, что структуре соответствует класс всех эквивалентных ее описаний. В табл. 10.2 дана сводка отношений между этими и иными ключевыми понятиями, связанными с идеей математической Вселенной.
Симметрия и другие математические свойства
Некоторые математики любят поспорить о том, что такое математика, и по этому вопросу, конечно, нет единого мнения. Однако, согласно популярному определению, математика – это «формальное изучение математических структур». Следуя этим путем, математики выявили большое число интересных математических структур – от хорошо всем знакомых, вроде куба, икосаэдра (рис. 7.2) и целых чисел, до экзотических, вроде банаховых пространств, орбиобразий и псевдоримановых многообразий.
Одна из наиболее важных задач математиков при изучении математических структур – это доказательство теорем об их свойствах. Но что за свойства может иметь математическая структура, если ее сущностям и отношениям не позволено иметь никаких внутренних свойств?
Рассмотрим математическую структуру, описанную в левой части рис. 10.8. Между входящими в нее сущностями нет никаких отношений, так что нет ничего, что позволило бы отличить одну из этих сущностей от любой другой. Значит, данная математическая структура не имеет никаких свойств, кроме мощности – числа сущностей в ней. Математики называют эту математическую структуру «множеством из восьми элементов», и единственное ее свойство – наличие восьми элементов. Весьма скучная структура!
Рис. 10.8. Средний рисунок описывает математическую структуру с восемью элементами (символически изображенными в виде точек) и связями между ними (символически изображенными в виде линий). Вы можете интерпретировать эти элементы как вершины куба, а отношения как указание, какие вершины соединяются ребрами. Но эта интерпретация – совершенно необязательный “багаж”: в правой части представлено эквивалентное описание той же математической структуры без использования какой-либо графики или геометрии. Например, тот факт, что на пересечении пятого столбца и шестой строки стоит 1, означает наличие отношения между элементами 5 и 6. Данная математическая структура имеет много интересных свойств, например зеркальную симметрию и некоторые вращательные симметрии. А математическая структура, описываемая левым рисунком, не содержит отношений и интересных свойств, кроме своей мощности, равной 8, числу элементов, которое в нее входит.