Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин 10 стр.

Тот же комбинаторный принцип доказывает, что, если посчитать сумму каждого второго числа в ряду n, у нас получится 2n–1. В этом нет ничего удивительного, когда мы берем нечетные ряды, вроде пятого, где числа, которые мы складываем (1 + 10 + 5), совпадают с теми, которые мы пропускаем (5 + 10 + 1). Поэтому-то у нас и получается ровно половина от 2n. Но ведь это работает и в четных рядах. Например, в четвертом: 1 + 6 + 1 = 4 + 4 = 2³. Обобщая, мы можем утверждать, что в любом ряду n ≥ 1

Почему? Левая сторона считает вазочки с четным количеством шариков мороженого (при ассортименте из n сортов и при условии, что в своем выборе мы не повторяемся). Но ту же вазочку можно получить, просто выбрав сорта от 1 до n – 1. У нас есть 2 варианта выбора для первого сорта (берем или нет), 2 – для второго и т. д., вплоть до сорта n – 1. Но вот для самого последнего сорта выбора у нас нет (вернее, только один) – мы же хотим, чтобы общее количество сортов было четным. Значит, и четное количество вазочек будет равно 2n–1.

Если представить треугольник Паскаля как прямоугольный, можно увидеть еще больше закономерностей. Первый (или 0) столбец состоит из одних единиц, второй (или 1) – из положительных целых 1, 2, 3, 4 и так далее. Третий (или 2) столбец, начинающийся с 1, 3, 6, 10, 15… тоже нам хорошо знаком, ведь это треугольные числа, с которыми мы уже сталкивались в главе 1. Они также могут быть представлены как

Значит, столбик k будет состоять из чисел и т. д.

А теперь смотрите, что произойдет, когда мы сложим между собой несколько первых чисел любого столбца. Возьмем, например, первые 5 чисел 3 столбца (см. ниже). Получаем 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 – число, которое видим справа по диагонали от 15. Другими словами,

Называется эта закономерность правилом хоккейной клюшки, ведь форма обводки складываемых чисел, входящих в Паскалев треугольник, вместе с их суммой напоминает именно этот спортивный снаряд. Чтобы понять, на чем эта закономерность основана, представим себе хоккейную команду из семи игроков. У каждого на свитере порядковый номер: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько можно составить троек для проведения тренировки?

Поскольку порядок не важен, у нас получится А теперь давайте попробуем найти ответ на эту задачу, разбив ее на несколько поменьше. Во сколько троек будет входить игрок под номером 7? Иными словами, в каком количестве тренировок будет мелькать свитер с самым большим номером? Так как одно место в тройке занято семеркой, на остальные два места у нас остается вариантов. Идем дальше. Сколько тренировок посетит хоккеист с цифрой 6 на свитере? Включаем в свою задачу 6, исключаем из нее 7 и получаем вариантов для двух «вакансий». Точно так же нужно будет посчитать вариантов для номера 5, – для номера 4 и – для номера 3. Так как самыми большими числами могут быть 3, 4, 5, 6 или 7, мы просчитали все возможные варианты, поэтому тройка может быть сформирована способами – и это то же число, что было обозначено в левой части предыдущего уравнения. Обобщая, можно сказать, что

Давайте используем эту формулу для решения важной задачи, которая, без сомнения, заботит ваш ум каждый год во время новогодних каникул. Возьмем за основу популярную английскую народную песенку «Двенадцать дней Рождества»[13]: в первый день ваша настоящая любовь подарила вам 1 подарок (куропатку). На второй день – 3 подарка (куропатку и 2 горлиц). На третий – целых 6 (куропатку, 2 горлиц и 3 курочек). И так далее. Вопрос: сколько подарков у вас будет через 12 дней?

На n-ный день вы будете счастливым обладателем

подарков (получилось это из нашей суперполезной формулы для треугольных чисел или из правила клюшки при k = 1). Так вот, первый день – подарок, второй день – подарка и т. д., вплоть до 12-го дня, в который вы получите подарков. А правило хоккейной клюшки приводит нас к общему их количеству:

То есть если открывать по подарку каждый день – вам хватит их почти до конца года (ну, один можно пропустить в день рождения)!

Давайте теперь cпоем песенку, чтобы отпраздновать свой успех. Называется она «N-ный день Рождества».

В n-ный день Рождества послала мне любовь моя верная

n удивительных лакомств

n – 1 с одним вкусом,

n – 2 с другим; и остальных вкусностей

…

5 (плюс 10) всяких вкусностей!

А через n дней,

Усевшись считать подарки,

Сколько же я насчитал(а)?

Ровно

А вот одна из самых странных закономерностей Паскалева треугольника. На рисунке ниже отмечены все нечетные числа. Присмотритесь к ним и увидите в большом треугольнике несколько маленьких.

А теперь давайте сделаем вот что: сначала продлим большой треугольник до 16 рядов, а затем заменим все нечетные числа единицами, а все четные – нолями. Обратите внимание, что под каждой парой нолей, равно как и под каждой парой единиц, стоит ноль. Причина этого – в том, что при сложении 2 четных или 2 нечетных чисел сумма будет выражена четным числом.

Не будем на этом останавливаться: посмотрим на еще больший треугольник – из 256 рядов, – в котором все нечетные числа заменены черными квадратиками, а все четные – белыми.

По сути своей данная фигура – это фрактал, или рекурсивное изображение, известное так же как треугольник Серпинского, – один из огромного количества сокровищ, скрытых в глубинах Паскалева клада. А вот еще один. Сколько всего нечетных чисел в каждом ряду треугольника Паскаля? Смотрим на ряды с 1 по 8 (без нулевого) и считаем: 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2 и т. д. Вроде бы никакой закономерности. Кроме того, что у нас всегда получается число, являющееся степенью 2. Это и есть та самая, нужная нам закономерность. Обратите внимание, что ряды, количество нечетных чисел в которых равно именно 2, – это 1, 2, 4 и 8-й. То есть обозначены они числами, которые сами являются степенью 2. Для более общего вывода нам нужно вспомнить, что любое целое число, которое больше 0 или равно ему, можно получить от сложения степеней числа 2. Смотрите сами:

В рядах 1, 2, 4 и 8 (порядковые номера которых суть степени 2) у нас по 2 нечетных числа. В рядах 3, 5 и 6 (порядковые номера которых суть сумма двух степеней 2) у нас по 4 нечетных числа. В ряду же 7 (порядковый номер которого есть сумма трех степеней 2) – 8 нечетных чисел. Отсюда следует удивительное по своей красоте правило. Если n есть сумма p различных степеней числа 2, количество нечетных чисел в ряду n равняется 2p. Сколько, например, нечетных чисел будет в 83-м ряду? Так как 83 = 64 + 16 + 2 + 1 (то есть сумма четырех степеней 2), наш ответ будет 24 = 16!

Не будем на этом подробно останавливаться, но, если вам интересно, будет нечетным числом всякий раз, когда

при a, b, c и d равных нолю или единице. Говоря точнее, k будет равно одному из этих чисел:

И под самый конец главы – еще одна закономерность. Мы уже видели, что происходит, если сложить числа в рядах (степень 2) и столбцах («хоккейная клюшка») Паскалева треугольника. А что будет, если сложить их по диагонали?

Смотрите, какие суммы выходят:

Не буду томить вас. Это числа знаменитой последовательности Фибоначчи, которая окажется в центре нашего внимания в следующей главе.

Глава номер пять Магия последовательности Фибоначчи

Числа матушки Природы

Лицезрите во всей красе одну из самых таинственных числовых последовательностей – последовательность Фибоначчи!

В ее начале находятся два одинаковых числа – 1 и 1. Третье число – это 1 + 1 (сумма двух предыдущих чисел), то есть 2. Четвертое – 1 + 2 = 3, пятое – 2 + 3 = 5 и т. д. и т. п. Очень похоже на чехарду: 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21… Впервые эти числа в таком виде появились в книге 1202 года Liber Abaci («Книга абака», в буквальном переводе с латинского – «Книга вычислений») за авторством Леонардо Пизанского, впоследствии прозванного Фибоначчи. Значение этого труда для европейской цивилизации переоценить невозможно: он впервые знакомил западного читателя с индо-арабскими цифрами и ставшими уже привычными для нас арифметическими методами.

Одна из самых известных включенных в него задач – задача о бессмертных кроликах. Допустим, крольчонку требуется месяц, чтобы повзрослеть. От каждой пары кроликов каждый месяц рождается еще пара – и так до бесконечности, поскольку наши кролики бессмертны. Вопрос: если начать с одной пары, сколько у нас будет пар кроликов 12 месяцев спустя?

Иллюстрировать задачу можно либо картинкой, либо таблицей. Маленькой буквой r отметим пары малюток-крольчат, большой R – пары взрослых кроликов. От месяца к месяцу каждая маленькая r становится большой R, а каждая большая R заменяется R и r (это означает, что крольчата вырастают, а затем от них рождается пара новых крольчат).

Всю эту ситуацию мы можем представить в виде таблицы. Здесь хорошо видно, что в первые 6 месяцев число пар кроликов равняется соответственно 1, 1, 2, 3, 5 и 8.

Давайте попробуем доказать, что на седьмой месяц у нас будет уже 13 пар, ничего при этом не рисуя и не фиксируя на листочке. Сколько к этому моменту будет пар взрослых кроликов? Так как каждая пара из тех, что получились у нас к шестому месяцу, к седьмому успела повзрослеть, получаем 8 пар.

А сколько будет пар крольчат? Их число будет равняться числу пар взрослых кроликов шестого месяца (то есть 5) или общему количеству пар пятого месяца (и такое совпадение совсем не случайно). Следовательно, на седьмой месяц у нас будет 8 + 5 = 13 пар.

Если мы назовем первые два числа последовательности Фибоначчи F1 = 1 и F2 = 1, а потом определим каждое следующее число как сумму предшествующих ему двух, то, при n ≥ 3 получим

И тогда F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8 и т. д. по таблице:

Следовательно, ответом на задачу Фибоначчи о бессмертных кроликах будет F13 = 233 пар, из которых F12 = 144 будут взрослыми, а F11 = 89 – крольчатами.

Эта последовательность пригодна не только для подсчета численности популяций животных. Числа Фибоначчи встречаются даже в самой природе, и на удивление часто: это и лепестки цветка, и спирали подсолнуха, ананаса или сосновой шишки. Меня в последовательности Фибоначчи больше всего восхищают обнаруживающиеся в ней замечательные числовые закономерности.

Давайте для начала сложим несколько первых из этих чисел:

Числа справа к последовательности не относятся, но находятся совсем рядом с ней – буквально в одном шаге. Давайте разберемся, что тут происходит. Возьмем последнее из этих уравнений и посмотрим, что произойдет, если заменить каждое из чисел Фибоначчи на разность двух следующих после него. То есть

Обратите внимание, как двойка из (2 – 1) перекрывается двойкой из (3 – 2), а тройка из (3 – 2) перекрывается тройкой из (5 – 3). Собственно говоря, перекрываются здесь практически все числа, за исключением самого большого 34 и начального –1. Означает это, что сумма первых n чисел последовательности Фибоначчи вычисляется по формуле

А вот еще один вопрос, напрямую связанный с первым и имеющий не менее элегантный ответ. Что мы получим, если захотим сложить между собой первые n чисел, занимающих четные позиции в последовательности? Другими словами, получится ли у нас упростить сумму

Давайте сначала посмотрим на некоторые из них:

Погодите-ка. Вроде бы что-то знакомое. Мы же уже видели эти числа, когда считали прошлую сумму. Они на единицу меньше чисел Фибоначчи. По сути, каждое из них может быть трансформировано подобным образом на том основании, что каждое из чисел Фибоначчи – сумма двух предыдущих. Именно этой суммой мы можем заменить каждое число, занимающее четную позицию в последовательности, вот так:

Последняя строчка получается благодаря тому, что сумма первых 7 чисел последовательности лишь на единицу меньше девятого.

В целом, если мы будем исходить из того, что F2 = F1 = 1, и заменять каждое последующее число суммой двух предыдущих, мы увидим, что нужную нам сумму можно легко свести к сумме первых 2n – 1 чисел последовательности.

А теперь давайте посчитаем сумму первых n чисел, занимающих нечетные позиции.

Здесь все еще проще, как ни странно. Сумма n чисел, занимающих нечетные позиции в последовательности, – это просто следующее число Фибоначчи. Представить это можно следующим образом:

К ответу можно прийти и другим способом – с помощью того, о чем мы только что говорили. Если мы вычтем первые n чисел, стоящих в последовательности на четных позициях, из первых 2n чисел, получатся первые n чисел, находящиеся на нечетных позициях:

Подсчет с помощью чисел Фибоначчи

Мы заглянули лишь в замочную скважину той двери, за которой раскинулся сад самых настоящих чудес. Только растут в нем не деревья, а числовые закономерности, уходящие корнями в последовательность Фибоначчи. И вам, наверняка, не терпится узнать, для чего еще, кроме подсчета поголовья кроликов, нужны эти числа. На самом деле – много для чего. В 1150 году (задолго до того, как Леонардо Пизанский представил миру задачку про кроликов) индийский поэт Хемачандра задался очень интересным вопросом: сколькими способами можно сложить стихотворную стопу из n безударных или ударных слогов. Давайте сперва переведем эту проблему из плоскости поэзии в плоскость математики.

Вопрос: Сколькими способами можно записать число n как сумму единиц и двоек?

Ответ: Обозначим результат как fn. Вот что будем иметь при стартовых значениях n:

У нас есть один вариант, дающий в сумме 1, два варианта, дающих 2 (1 + 1 и 2), и три варианта, дающих 3 (1 + 1 + 1, 1 + 2 и 2 + 1). Повторимся: для получения нужной нам суммы доступны только единицы и двойки. При этом порядок этих цифр имеет значение: 1 + 2 и 2 + 1 суть две разные комбинации. Получить 4 можно уже пятью разными вариантами: 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2. По всему выходит, что числа в правой части нашей таблицы – это числа из последовательности Фибоначчи, и так оно есть на деле.

Давайте попробуем понять, почему вдруг 5 можно получить f5 = 8 различными способами. Начинаться сложение может с 1 или 2. Сколько вариантов будет начинаться именно с 1? За первой цифрой должна следовать некая комбинация 1 и 2, которая в сумме даст 4, а по предыдущей строке мы знаем, что таких комбинаций у нас f4 = 5. Теперь так же посчитаем, сколько вариантов будет начинаться с 2. В этом случае комбинация после первой цифры должна давать нам 3. Смотрим чуть выше по таблице и видим, что f3 = 3. Значит, общее количество комбинаций 1 и 2, дающих в сумме 5, должно быть 5 + 3 = 8. Тот же алгоритм приведет нас к тому, что для 6 таких комбинаций будет 13: f5 = 8, начинающихся с 1, плюс f4 = 5, начинающихся с 2. В целом же, для суммы n их число равно fn, из которых fn–1 имеют в начале 1, а fn–2 – 2. Следовательно,