Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин 12 стр.

На самом деле простые числа Фибоначчи встречаются редко – пока что официально подтверждено лишь 33, наибольшее из них занимает F81839 позицию. И это притом, что вопрос, является ли количество простых чисел в последовательности бесконечным, еще не решен.

Но отвлечемся немного от серьезных научных изысканий и займемся небольшим, но забавным фокусом, основанным на магии чисел Фибоначчи.

В 1 и 2 рядах таблицы напишите два любых числа от 1 до 10. Сложите их, а сумму запишите в 3 ряду. Затем сложите числа из 2 и 3 рядов. Результат запишите в 4 ряд. Продолжайте так делать (ряд 3 + ряд 4 = ряд 5 и т. п.), пока не дойдете до конца таблицы. У вас получится свой вариант последовательности Фибоначчи. А теперь разделите число из 10 ряда на число из 9 ряда. Из результата вам нужны первые три цифры, включая те, которые идут после запятой. В нашем примере из них оставляем 1,61. Хотите – верьте, хотите – нет, но, с каких бы двух положительных (необязательно целых и даже необязательно из промежутка от 1 до 10) чисел в 1 и 2 рядах вы ни начали, частным при делении числа 10 ряда на число 9 ряда всегда будет 1,61. Попробуйте сами разок-другой и легко в этом убедитесь.

Чтобы разобраться в природе этого фокуса, обозначим первые два числа литерами x и y. Тогда, следуя методу Фибоначчи, получаем x + y в 3 ряду, y + (x + y) = x + 2y в 4-м и т. д. по таблице:

Требуется найти частное чисел 10 и 9 рядов:

Почему же результат всегда будет начинаться с 1,61? Вы удивитесь, но в основе этого лежит неправильное сложение дробей. Допустим, у нас есть две дроби: a/b и c/d, причем знаменатели b и d – положительные величины. Что будет, если сложить между собой сначала числители, а потом знаменатели? А будет то, что получившееся в результате число, называемое медиантой, всегда будет где-то между двух исходных дробей. То есть при любых дробях a/b < c/d, знаменатели которых суть положительные величины, имеем

Начиная, например, с дробей 1/3 и 1/2, для которых медианта будет 2/5, она расположена в интервале 1/3 < 2/5 < 1/2.

Почему медианта всегда будет располагаться примерно между изначальными числами? Если мы начинаем с дробей где b и d – положительные величины, ad будет меньше bc. Прибавив к обеим сторонам ab, получим ab + ad < ab + bc или a(b + d) < (a + c)b, что значит, что Таким же образом приходим к

Обратите внимание, что при x, y > 0

Следовательно, медианта этих двух дробей должна находиться между ними. Другими словами,

Вот почему частное чисел из 10 и 9 рядов должно начинаться с 1,61, как мы уже до этого и посчитали.

Прежде чем открыть секрет числа 1,61, можете поразить свою аудиторию, постоянно добавляя числа к своей таблице. Так, в нашем примере, где мы начали с 3 и 7, достаточно беглого взгляда, чтобы узнать результат – 781. Как? С помощью алгебры. Если сложить значения из 2 таблицы, мы получим сумму, равную 55x + 88y. И что? А то, что вместо этого можно написать 11(5x + 8y) = 11 × ряд 7. Поэтому, взяв число из 7 ряда (в нашем примере это 71) и умножив его на 11 (здесь можно использовать фокус с умножением на 11 из главы 1), получим 781.

В чем важность числа 1,61? Если не останавливаться на 10 ряду и продолжать расширять таблицу, вы легко обнаружите, что частное двух соседних чисел будет от ряда к ряду все больше приближаться к значению, которое называют «золотым сечением» –

Кроме g, для обозначения этого числа математики часто используют греческую букву φ, которая произносится как «фи» (да-да, «Фи-боначчи»).

Алгебра покажет нам, на самом ли деле частное двух соседних чисел последовательности Фибоначчи приближается к g. Предположим, что частное Fn+1/Fn приближается к значению r при увеличении n. Но ведь о числах Фибоначчи мы знаем, что Fn+1 = Fn + Fn–1, поэтому

При увеличении значения n левая сторона приближается к r, а правая – к Значит,

Умножив обе стороны этого уравнения на r, получим

Другими словами, r² – r – 1 = 0, а согласно формуле корней квадратного уравнения здесь имеется только один положительный ответ:

Существует еще одна будоражащая воображение формула для n-ного числа последовательности Фибоначчи, которая использует золотое сечение. Это формула Бине, которая говорит, что

Глядя на нее, я не перестаю удивляться: как такое возможно, что вся эта формула, построенная вокруг √5, приводит к целым величинам?!

Мы можем ее немного упростить, потому что значение

находится между –1 и 0, и чем больше мы увеличиваем степень, тем больше оно приближается к 0. По большому счету, можно утверждать, что для любого n ≥ 0, Fn вычисляется через gn/√5 с последующим округлением до ближайшего целого. Можете взять калькулятор и проверить. Если взять g = 1,618, то, возведя 1,618 в десятую степень, получим 122,966… (что подозрительно близко к 123). А разделив этот результат на √5 ≈ 2,236, придем к 54,992. Округление даст F10 = 55 – известный нам результат. Из g20 получается 15 126,99993, которое после деления на √5 превращается в 6765,00003, то есть F20 = 6765. А калькулятор легко проведет нас от g100/√5 к F100 ≈ 3,54 × 1020.

Все эти вычисления показывают, что g10 и g20 настолько близки к целым числам, что практически ими являются. Что именно здесь происходит? Посмотрите на последовательность Люка́

названную в честь французского математика Эдуарда Люка (1842–1891) – первооткрывателя многих удивительных свойств этих чисел, а заодно и чисел Фибоначчи, включая формулу с наибольшим общим делителем, о которой мы не так давно говорили. Кстати, именно Люка впервые назвал набор чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8… последовательностью Фибоначчи. Последовательность же Люка соответствует его собственной (несколько упрощенной) версии формулы Бине –

Другими словами, при n ≥ 1 Ln есть целая ближайшая к gn величина (что согласуется с тем, что мы уже видели: g10 ≈ 123 = L10). А вот как связаны между собой последовательности Фибоначчи и Люка:

Не заметить здесь закономерность почти невозможно. Например, сложение «соседей» числа Фибоначчи дает соответствующее ему по позиции число последовательности Люка:

А если мы сложим «соседей» числа из последовательности Люка, получим результат, который будет ровно в 5 раз больше соответствующего ему по позиции числа Фибоначчи:

Если перемножить между собой соответствующие друг другу числа двух последовательностей, мы получим еще одно число последовательности Фибоначчи!

Последнее может быть доказано с помощью алгебры и формул Бине (а именно (x – y)(x + y) = x² – y²). Исходя из h = (1 – √5)/2, представим формулы Бине для чисел Фибоначчи и Люка в виде

И когда мы их перемножаем, получается

И когда мы их перемножаем, получается

Откуда пришло название «золотое сечение»? Из золотого прямоугольника, в котором соотношение длинной и короткой сторон составляет g = 1,61803…

Если обозначить короткую сторону единицей и убрать из прямоугольника квадрат со сторонами 1 на 1, у нас останется еще один прямоугольник со сторонами 1 и (g – 1), соотношение которых составит

То есть пропорции маленького прямоугольника будут такими же, как и большого. Кстати, g – единственное в своем роде число со столь уникальными свойствами, потому что уравнение подразумевает, что g² – g – 1 = 0. А формула корней квадратного уравнения приводит нас только к одному положительному числу, удовлетворяющему этому условию, и число это – (1 + √5)/2 = g.

Благодаря этому своему свойству золотой прямоугольник считается эстетически образцовым, а потому часто используется в разных областях искусства, будь то живопись, фотография или архитектура. Например, Лука Пачоли[14] – друг и соратник Леонардо да Винчи называл его «божественной пропорцией».

Золотое сечение лежит в основе стольких удивительных математических явлений, что подчас очень сложно удержаться от соблазна увидеть его даже там, где его нет и никогда не было. Например, в романе «Код да Винчи» Дэн Браун пишет, будто число 1,618 встречается везде и всегда, и подтверждение тому – строение человеческого тела, Браун утверждает, что отношение нашего роста к высоте, на которой расположен пупок, – 1,618. Я не проводил измерений, но в статье Джорджа Марковски «Выдумки о золотом сечении», опубликованной в журнале College Mathematics Journal, говорится, что это не соответствует реальности. Тем не менее каждый раз, когда где-то встречается число, хоть сколько-то близкое к 1,6, кто-нибудь вспоминает о золотом сечении.

Я уже не раз говорил, что многие числовые закономерности, в которых присутствуют числа Фибоначчи, суть настоящая поэзия. И это не просто метафора: эти числа действительно используются при создании стихотворений. Возьмем, к примеру, лимерики. Вот, последите за ритмом (пусть без слов, просто используя сетку слогов):

Если посчитать количество слогов в каждом ряду, мы получим числа Фибоначчи! Лично меня это вдохновило настолько, что я отважился написать о них свой собственный лимерик:

Глава номер шесть Магия доказательств

Ценность доказательств

Одна из главных радостей занятий математикой – возможность окончательных, не оставляющих ни тени сомнения доказательств. Это ставит математику на особое место в ряду других наук, которые опираются на соответствие законам материального мира. Однако новые открытия могут опровергать или изменять эти законы. В математике же доказанное однажды остается доказанным навсегда. Прошло больше 2000 лет с того момента, как Евклид доказал бесконечность множества простых чисел – и это никогда не удастся оспорить. Научно-технические формации сменяют друг друга, теоремы же вечны. Как однажды сказал великий Годфри Харди[15]: «Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они сотканы из идей». По-моему, доказать новую теорему – все равно что шагнуть на тропу, ведущую в научное бессмертие.

В математике доказывают не только абсолютную истинность, но и невозможность. Часто приходится слышать: «Нельзя доказать невозможное». Полагаю, здесь имеется в виду, что никому не под силу доказать существование розовых коров – по крайней мере, до тех пор, пока мы не увидим их в один прекрасный день. Но в математике невозможное вполне себе доказуемо. Например, сколько ни пытайтесь, вы ни за что не найдете два четных числа, которые в сумме давали бы нечетное. Или простое число, которое было бы больше всех остальных простых чисел. Сложность таких доказательств поначалу пугает, к ним нужно привыкнуть, и не ждите, что это произойдет с первого (а то и со второго или с третьего) раза. Но стоит войти во вкус – и удержаться уже невозможно: настолько они удивительны и притягательны. Стройное доказательство подобно хорошему анекдоту или уместной шутке – удовлетворение от него испытываешь ничуть не меньшее.

С вашего позволения, расскажу о первом своем опыте на этой стезе. В детстве двумя главными предметами моего обожания были настольные игры и загадки. Как-то раз мой друг предложил мне загадку, связанную с настольными играми, и, конечно, я был заинтригован. Он положил передо мной пустую шахматную доску размером 8 на 8 клеточек и 32 костяшки домино и спросил:

– Можешь выложить домино так, чтобы они закрыли всю доску?

– Конечно, – уверенно ответил я. – Просто по четыре костяшки на ряд. Вот так:

– Молодец, – сказал он. – А если я уберу две клетки – правую нижнюю и левую верхнюю, и их останется 62 – сможешь закрыть оставшиеся 31 костяшкой? – и он положил на крайние квадратики две монетки.

– Хм… Наверное, – ответил я.

Но как я ни пытался, какие комбинации ни пробовал, у меня ничего не получалось. Наконец я сдался, заявив, что это в принципе невозможно.

– А если невозможно, – сказал мой друг, – можешь доказать это?

Я не мог. Ведь для этого потребовалось бы проверить бесконечное множество вариантов (если хотите, можете посчитать, сколько именно) и удостовериться в том, что каждый из них невозможен.

– Посмотри на цвета, – посоветовал друг, видя мое замешательство.

«На цвета? Причем тут цвета?» – подумал я. А потом понял. Обе закрытые клеточки были белыми, а значит, из 62 оставшихся свободными, 32 были черными и всего лишь 30 – белыми. А поскольку костяшка домино, как ее ни положи, закрывает пару разноцветных клеточек, выложить ими всю доску не получилось бы ни за что на свете. Здо́рово!

Если вам понравилось последнее доказательство, понравится и это. Играя в известный всем «Тетрис», нужно заполнять «стакан» из 10 клеток падающими фигурами. Всего их 7, и соответственно их форме их иногда обозначают латинскими буквами: I, J, L, O, Z, T и S.

Каждая фигура состоит из 4 квадратиков, поэтому вполне естественно задаться вопросом, можно ли сложить их как-нибудь так, чтобы получился прямоугольник размером 4 на 7? При этом фигурки можно переворачивать как угодно.

Оказывается, нельзя. Как это доказать? Давайте раскрасим квадратики в прямоугольнике в шахматном порядке – так, чтобы получилось 14 серых и 14 белых.

Обратите внимание: любая фигура, кроме «Т», должна закрывать 2 белых и 2 серых квадратика независимо от своего положения. Сама же «Т» состоит из 3 квадратиков одного цвета и 1 квадратика – другого. Следовательно, как бы ни располагались остальные 6 фигур, они закроют 12 белых и 12 серых квадратиков, а это значит, что для «Т» останется только по 2 квадратика каждого цвета, в которые она «не впишется».

Как же убедить окружающих в истинности математического утверждения, которое кажется нам верным? Обычно начинают с описания математических объектов, которые мы используем, например целых чисел

множества, которое включает положительные и отрицательные числа и ноль.

Определив объекты, мы делаем допущение, которое считаем самоочевидным – например, «сумма или произведение двух целых чисел всегда будет целым числом» (в следующей главе, посвященной геометрии, мы будем исходить из того, что между двумя точками можно провести только одну прямую). Такие самоочевидные, не требующие доказательств утверждения называются аксиомами. С их помощью, плюс немного логики и алгебры, мы можем доказывать другие положения, не столь очевидные – теоремы. В этой главе вы познакомитесь с основным инструментарием математических доказательств.

Начнем, пожалуй, с доказательства простых теорем, которые вызывают минимум сомнений. Когда мы слышим «два четных числа при сложении дают третье четное число» или «два нечетных числа при умножении дают третье нечетное число», наш разум обычно пытается проверить такие утверждения рядом примеров и из них сделать вывод, что это, скорее всего, верно. Ну или хотя бы не полная чушь. Вы даже можете решить, что это настолько очевидно, что может быть принято как аксиома. Делать этого не стоит – по крайней мере, до тех пор, пока вы можете построить цепочку доказательств, используя уже известные вам аксиомы. Так, чтобы доказать утверждения о четных и нечетных числах, начать стоит с понимания того, что вообще такое «четное» и «нечетное».