Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин 4 стр.

Очень полезная штука, когда дело доходит до счета. Допустим, у нас есть 7 кошельков с монетами: по 20 золотых и 8 серебряных монет в каждом. Сколько у нас всего монет? С одной стороны, можно подойти к проблеме так: в каждом кошельке по 28 монет, значит, всего их 7 × 28. С другой стороны, можно посчитать отдельно монеты разного достоинства: 7 × 20 золотых и 7 × 8 серебряных, значит, всего: (7 × 20) + (7 × 8). Следовательно, 7 × 28 = (7 × 20) + (7 × 8).

Закон дистрибутивности можно выразить и геометрически, начертив прямоугольник и разбив его на два части, как на рисунке.

Как видим, площадь прямоугольника равна a(b + c). Однако левая часть выглядит как ab, правая – как ac, поэтому в итоге у нас получается ab + ac. Отличная иллюстрация к закону дистрибутивности при условии, что a, b и c – положительные величины.

Иногда, кстати, его можно применить одновременно и к числам, и переменным, например,

«Читать» это уравнение можно двумя способами: слева направо и справа налево. В первом случае мы видим 3, умноженное на 2x + 7. Во втором мы разлагаем 6x + 21 на сомножители, «вытягивая» тройку из 6x и 21.

Почему «минус» на «минус» при умножении дают «плюс»? Иными словами, с чего бы вдруг (–5) × (–7) = 35? У учителей всегда наготове с десяток самых разных объяснений, начиная с аннулирования долгов и заканчивая железобетонным «ну, потому что вот так». Но настоящая причина – в том, что закон дистрибутивности работает по отношению ко всем числам, не только положительным. А раз уж мы применяем его и к отрицательным числам (и к нолю, кстати), будьте готовы столкнуться с последствиями. Давайте посмотрим, почему.

Допустим, мы примем тот факт, что –5 × 0 = 0, а –5 × 7 = –35. (Для этих примеров тоже имеются свои доказательства, очень близкие к тому, что мы выстраиваем сейчас, но большинство с радостью просто принимают эти утверждения на веру.) Взгляните-ка вот на что:

Чему это равно? С одной стороны, это все то же –5 × 0, равное, как нам хорошо известно, нолю. С другой стороны, использовав закон дистрибутивности, мы получим ((–5) × (–7)) + (–5 × 7). Следовательно,

А если ((–5) × (–7)) – 35 = 0, мы вынуждены признать, что (–5) × (–7) = 35. Обобщая, можно сказать, что закон дистрибутивности утверждает, что для всех значений a и b будет верно следующее: (–a) × (–b) = ab.

Магия метода FOIL

Одним из самых важных и полезных следствий из закона дистрибутивности является алгебраическое правило FOIL[3], согласно которому для любых переменных a, b, c, d верно следующее:

Смотрите, как правило FOIL работает на практике: cначала мы перемножаем первые числа в (a + b)(c + d), то есть ac. Потом – внешние, то есть ad. Затем – внутренние: bc. И наконец – последние: bd.

Давайте проиллюстрируем все это примером с конкретными числами:

Почему работает правило FOIL? Согласно закону дистрибутивности (по отношению к части со сложением, идущей на первом месте),

А теперь вместо e подставим c + d, что даст нам

Последняя часть становится возможной благодаря повторному применению закона дистрибутивности. Если вы предпочитаете геометрически визуализированное доказательство (при условии, что a, b, c, d – положительные величины), то вот вам прямоугольник, площадь которого можно найти двумя различными способами.

С одной стороны, площадь можно высчитать с помощью (a + b)(c + d). С другой – мы можем разбить большой прямоугольник на четыре с площадями ac, ad, bc и bd. Значит, общая площадь будет равна ac + ad + bc + bd. Знак равенства между двумя этими подходами обеспечивает правило FOIL.

А теперь давайте посмотрим, как работает магия правила FOIL. Бросьте две игральные кости и посмотрите таблицу, которая приведена чуть ниже. Допустим, вы выкинули 6 и 3. На обратных сторонах костей будет, соответственно, 1 и 4.

В нашем примере результат будет равен 49. И сколько бы вы ни бросали обычные шестигранные кости, результат будет тот же. Дело в том, что сумма чисел на противоположных сторонах стандартной игральной кости всегда равна 7. То есть если обозначить выпавшие числа буквами x и y, их парами будут 7 – x и 7 – y. Алгебра переделывает нашу таблицу таким вот образом:

Обратите внимание на подсчет в третьей строке (–x и – y при умножении дают xy со знаком плюс). К результату 49 можно прийти и другим, менее алгебраическим, способом: достаточно просто посмотреть на второй столбец таблицы и увидеть там те самые четыре числа, которые нужны нам для «запуска» FOIL: (x + (7 – x))(y + (7 – y)) = 7 × 7 = 49.

На уроках алгебры правило FOIL обычно применяют для решения таких, например, задач:

В крайней правой части число 7 (которое в этом случае называется коэффициентом числа х) есть сумма 3 и 4; 12 же (здесь он будет постоянным членом) – их произведение. Ну а получить ответ с нашим-то опытом – дело элементарное: так как 5 + 7 = 12, а 5 × 7 = 35, получаем

С отрицательными величинами это тоже отлично работает, и вот тому подтверждение: в нашем первом примере мы начинаем с того, что 6 + (–2) = 4, а 6 × (–2) = –12.

А вот примеры, когда известные числа у нас одинаковые:

Обратите внимание, кстати, что (x + 5)² ≠ x² + 25: ошибку эту делают почти все, кто только начинает познавать азы алгебры. Но куда интереснее обстоят дела, когда у нас есть два одинаковых числа с разными знаками. Например, так как 5 + (–5) = 0,

Главное, что нужно запомнить – формула разности квадратов двух переменных:

Мы уже пользовались ей в главе 1, в примере, когда учились в уме возводить в квадрат числа. Способ этот основан на алгебраической формуле:

Мы уже пользовались ей в главе 1, в примере, когда учились в уме возводить в квадрат числа. Способ этот основан на алгебраической формуле:

Сначала давайте удостоверимся в правильности этой формулы. В отличие от формулы квадратов здесь мы имеем [(A + d)(A – d)] + d² = [A² – d²] + d² = A². Стало быть, это действительно для всего диапазона значений A и d. На практике буквой A обозначается число, возводимое в квадрат, а d – его разность с ближайшим круглым числом. Например, чтобы возвести в квадрат 97, мы принимаем d за 3, чтобы получить

А вот несколько рисунков, доказывающих закон квадратичной зависимости. На них показано, как геометрическая фигура с площадью x² – y² может быть преобразована в прямоугольник с площадью (x + y)(x – y).

В главе 1 мы научились перемножать между собой близкие по значению числа. Но если там мы оперировали числами, близкими к сотне и начинающимися с одной и той же цифры, то здесь, используя элементы алгебры, мы можем поговорить и о более интересных примерах. Скажем, вот алгебраическая интерпретация метода сближения:

Это становится возможным, потому что (z + a)(z + b) = z² + zb + za + ab, а значит, мы можем вынести за скобки из первых трех элементов сомножитель z. Формула эта работает для любых значений, хотя обычно под z мы понимаем число, заканчивающееся на ноль. Чтобы перемножить, например, 43 × 48, мы берем за z число 40, соответственно, a = 3, b = 8. И тогда наша формула говорит нам, что

Обратите внимание, что при сложении наши множители дают 43 + 48 = 91 – тот же результат, что и менее сложные для подсчетов 40 + 51 = 91. Это совсем не случайно, ведь алгебра говорит нам, что сумма изначальных множителей представляет собой (z + a) + (z + b) = 2z + a + b, что является в то же время суммой более простых чисел z и z + a + b. А значит, мы можем легко округлять изначальные числа до удобных нам при подсчетах. Последнее вычисление, например, может быть сведено к z = 50, a = –7 и b = –2, и умножать мы будем 50 на 41. (Легко понять, откуда взялось 41: 43 + 48 = 91 = 50 + 41.) Следовательно,

В главе 1 мы использовали этот метод для чисел больше 100. Но он отлично работает и с меньшими величинами, например,

Обратите внимание, что 96 + 97 = 193 = 100 + 93 (на деле я всего лишь сложил две последние цифры, 6 и 7, чтобы узнать, что сотню нужно умножать на число, заканчивающееся на 3 и, скорее всего, равное 93). Со временем, получив опыт, вы научитесь не обращать внимания на минусы и умножать не отрицательные числа, а их положительные «отражения». То есть

Этот же метод можно применить к парам чисел, одно из которых чуть меньше, а другое – чуть больше 100, только в конце вместо сложения вам нужно произвести вычитание. Например,

И опять же, число 102 можно получить двумя способами: либо из 109 – 7, либо из 93 + 9, либо из 109 + 93 – 100 (ну и четвертый вариант – сложить последние цифры начальных чисел: 9 + 3 скажут нам, что число будет заканчиваться на 2, и этой информации может быть вполне достаточно). Практикуясь, вы научитесь легко перемножать близкие друг к другу числа. Посмотрите на несколько несложных примеров с трехзначными числами. Имейте в виду, что a и b здесь числа, в которых больше одного знака.

Поиски x

Чуть выше мы видели несколько примеров решения уравнений с помощью золотого правила алгебры. Если уравнение содержит только одно неизвестное (скажем, x) и обе его части – линейные (что значит, что в них есть х или кратные ему величины, но при этом это единственная их сложность – никаких x²), найти x несложно. Например, чтобы решить уравнение

мы можем к его левой и правой части сначала добавить 7 и получить 9x = 54, а потом разделить обе части на 9 и получить искомое: x = 6.

Или вот другой пример, чуточку сложнее:

Сначала мы упростим его, убрав из обеих частей 2x, а потом (ну или вместе с первым шагом, если хотите) 11, что приводит нас к

решением же будет x = 7/3. В конечном итоге любое уравнение можно свести к ax = b (или ax – b = 0) и его решению x = b/a (исходя из того, что a ≠ 0).

Ситуация немного запутывается, если мы имеем дело с квадратным уравнением (в котором на авансцене появляется x²). Самый простой вариант квадратного уравнения:

которое имеет два решения: x = 3 и x = –3. И даже когда правая сторона уравнения не является квадратом простого числа, вроде

у нас все еще есть два решения: x = √10 = 3,16… и x = – √10 = –3,16… В принципе, если n > 0, число √n – квадратный корень из n – обозначает положительное число с квадратом n. Если n не является квадратом целого числа, √n легче всего посчитать на калькуляторе.

А как насчет уравнения x² = –9? Пока мы вынуждены сказать, что оно не имеет решения: ведь не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат давало бы –9. Но в главе 10 мы увидим, что на самом деле существуют целых два ответа: x = 3i и x = –3i, где i – это так называемое мнимое число с квадратом, равным –1. Пусть пока это кажется вам странным и нелепым. Когда-то нам отрицательные числа казались невозможными. (Что это за количество такое – меньше ноля?) А ведь достаточно просто посмотреть на них под правильным углом, чтобы ухватить суть.

Уравнение вроде

выглядит немного сложнее из-за этого 4x, зато у нас есть несколько способов его решить – ну, к этому мы привыкли, когда считали в уме.

Первый метод, который я обычно применяю в таких случаях, – метод разложения на множители. Сначала перенесем все в левую часть уравнения, чтобы справа остался только 0. Соответственно, наше уравнение превращается в

И что теперь? А теперь вспоминаем последний раздел, где мы говорили о FOIL и где мы уже видели, что x² + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2). А это значит, что наше уравнение преобразуется в

Единственная возможная ситуация, в которой произведение двух сложных множителей равно 0, – это когда один из них равен 0. Следовательно, у нас либо x + 6 = 0, либо x – 2 = 0, то есть

что и является ответом (не забудьте проверить).

Применяя метод FOIL, получаем (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab. Что превращает разложение на множители в непростую, в общем-то, задачку. Например, в последнем примере нам нужно найти два числа: a и b – с суммой 4 и произведением –12. Ответ – a = 6, b = –2 – позволяет нам достичь желаемого и разложить на множители. Давайте попрактикуемся и используем метод разложения на множители x² + 11x + 24. Другими словами, перед нами стоит задача найти два числа, которые в сумме давали бы 11, а при умножении – 24. Подходят 3 и 8, а значит x² + 11x + 24 = (x + 3)(x + 8).