Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин 8 стр.

А вот кое-что еще более интересное. С 1901 по 2099 год через каждые 28 лет календарь повторяется один в один. Знаете, почему? Из 28 лет 7 – всегда високосные, поэтому календарь смещается на 28 + 7 = 35 дней, а 35 – число, кратное 7, что и обеспечивает повторяемость дней недели (закономерность эта нарушится, если мы опустимся ниже 1900 года или поднимемся выше 2100-го, ведь в григорианском календаре они не високосные). Поэтому, просто складывая или вычитая числа, кратные 28, вы можете превратить любой год из промежутка с 1901-го по 2099-го в соответствующий ему из промежутка с 2000-го по 2027-й. Например, 1983-й имеет тот же код, что и 1983 + 28 = 2011, а 2061-й – тот же, что и 2061 – 56 = 2005.

То есть какую бы практическую задачу вы ни решали, вы можете превратить нужный вам год в один из тех, что составляют нашу таблицу, и таким нехитрым способом узнать его код. Почему, например, кодом 2017-го будет 0? Да потому что с 2000 года (имеющего код 0), календарь смещается по неделе 17 раз плюс дополнительно 4 раза за каждый високосный год – 2004-й, 2008-й, 2012-й и 2016-й. Значит, код 2017-го будет 17 + 4 = 21 ≡ 0 (mod 7). А что насчет 2020-го? Здесь у нас будет уже пять високосных годов (ведь сам 2020-й – високосный), поэтому календарь смещается 20 + 5 = 25 раз, а так как 25 ≡ 4 (mod 7), кодом 2020 года будет 4. Вот как будет выглядеть общая схема определения годовых кодов в промежутке с 2000-го по 2027-й.

Шаг 1: Возьмите две последние цифры года (в примере с 2022 годом этими цифрами будут 22).

Шаг 2: Разделите это число на 4. В результате нас интересует только целое, остаток можно проигнорировать (в нашем примере – 22 ÷ 4 = 5 с остатком 2).

Шаг 3: Сложите числа из первого и второго шагов (в нашем примере – 22 + 5 = 27).

Шаг 4: Возьмите ближайшее число, кратное 7, которое при этом будет меньше суммы, полученной после третьего шага (это может быть 0, 7, 14, 21 или 28). Вычтите его из этой суммы и узнаете код года (другими словами, сократите число из третьего шага по модулю 7: так как 27 – 21 = 6, кодом 2022 года будет 6).

Обратите внимание, что шаги с 1 по 4 работают для любого года в промежутке с 2000-го по 2099-й; можно значительно упростить себе задачу устного счета, просто вычтя на начальном этапе число, кратное 28, и получив таким образом год в промежутке с 2000-го по 2027-й. 2040 год, например, можно «упростить» до 2012, и шаги с 1-го по 4-й превращаются в элементарное 12 + 3 – 14 = 1. К тому же результату можно прийти, работая непосредственно с 2040: 40 + 10 – 49 = 1.

Алгоритм этот можно использовать не только для двухтысячных годов. Коды месяцев останутся такими же, а вот с кодами годов нужно будет сделать одну небольшую поправку. Код 1900 года будет равен 1. Следовательно, код каждого года в промежутке с 1900-го по 1999-й будет на одну единицу больше, чем их «собратья» в промежутке с 2000-го по 2099-й. То есть если код 2040-го – 1, значит, кодом 1940-го будет 2; а кодом 1922-го, например, будет 7 (ну, или 0), потому что 2022 год обозначается кодом 6. Код 1800 года – 3, 1700-го – 5, 1600-го – 0 (на самом деле на полный цикл у календаря уходит 400 лет, потому что именно четырехсотлетний период имеет 100 – 3 = 97 високосных годов, то есть ровно через 400 лет, день в день, календарь сместится на 400 + 97 = 497 дней, что даст нам абсолютно тот же день недели и то же число, ведь 497 кратно 7).

Хотите узнать, каким днем недели было 4 июля 1776 года? Сначала найдем код 2076 года, для чего вычтем 56 из 2076, а потом посчитаем код 2020-го: 20 + 5 – 21 = 4. Следовательно, код 1776 года будет 4 + 5 = 9 ≡ 2 (mod 7). Таким образом, получается, что по григорианскому календарю 4 июля 1776 года пришлось на

А раз так, может быть, те, кто подписывал Декларацию независимости, просто хотели успеть завершить все перед выходными?

Под конец главы давайте я расскажу вам о еще одном волшебном свойстве числа 9. Загадайте любое число, в котором ни одна цифра не повторяется, при этом идут они от меньшего к большему. Это может быть, например, 12 345, 2358, 369 или 135 789. Умножьте это число на 9 и сложите между собой цифры. В том, что результат будет кратен 9, для нас ничего нового нет – удивительным будет то, что цифры в своей сумме дадут ровно 9. Например,

Фокус сработает, даже если цифры будут повторяться – главное, чтобы они шли от меньшего к большему и чтобы разряд единиц не равнялся разряду десятков. Вот, смотрите:

Так в чем тут секрет? Давайте посмотрим, что происходит, когда мы умножаем на 9 число ABCDE, в котором A ≤ B ≤ C ≤ D < E. Так как умножать на 9 – все равно что умножать на 10 – 1, мы приходим к вычитанию

Если считать слева направо, то, с учетом того, что B ≥ A, C ≥ B, D ≥ C, а E > D, мы будем иметь дело с

а сумма цифр результата составит

что и требовалось доказать.

Глава номер четыре Магия счета

Математика с восклицательным знаком!

В самом начале этой книги мы говорили о том, как посчитать сумму всех чисел от 1 до 100. И мы справились – у нас получилось 5050. Также мы нашли замечательную формулу для подсчета суммы первых n. А почему бы теперь не поискать произведение чисел от 1 до 100? Даже по примерным прикидкам результат получится просто гигантским! Если вам интересно, скажу: это число, состоящее из 158 знаков. Вот оно:

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468

59296389521759999322991560894146397615651828625369792082

7223758251185210916864000000000000000000000000

В этой главе вы увидите, как использовать такие огромные числа для счета. Они помогут нам узнать, сколько существует способов расставить на книжной полке дюжину книжек (примерно полмиллиарда), какие у вас шансы собрать хотя бы одну пару в покере (не такие уж и маленькие) или выиграть в лотерее (не такие уж и большие).

Когда мы перемножаем все числа от 1 до n, для обозначения произведения мы используем n! что читается как «факториал числа n». Другими словами,

Например,

Мне кажется, символ восклицательного знака подходит здесь как нельзя лучше: значение числа n! увеличивается очень быстро и, как мы увидим чуть позже, таит в себе много удивительного. Для удобства математики определяют значение 0! = 1. А еще n! не определяется, когда n – отрицательная величина.

Казалось бы, 0! должен быть равен 0. Но это почему-то не так: 0! = 1. Давайте разберемся, почему. Обратите внимание, что для n ≥ 2 n! = n × (n – 1)! а значит

Если мы хотим, чтобы наше утверждение оставалось верным для n = 1, нам понадобится

Итак, факториалы растут очень и очень быстро. Посмотрите сами:

Насколько велики эти числа? Ученые говорят, что количество всех-всех песчинок в мире равняется 10²². А количество всех-всех атомов во Вселенной – 1080. Так вот, если вы тщательно перемешаете колоду из 52 карт (что, как мы чуть позже узнаем, может быть сделано 52! способами), шансы на то, что в таком порядке они сложатся впервые со времен изобретения карт и никогда больше не сложатся снова, близки к 100 %. И это при условии, что все люди на Земле каждую минуту на протяжении нескольких миллионов лет будут тасовать каждый свою колоду.

В начале главы вы, скорее всего, заметили, каким огромным количеством нолей заканчивается факториал 100! Откуда они берутся? При перемножении чисел от 1 до 100 мы получаем ноль всякий раз, когда умножаем число, кратное 5, на число, кратное 2. Первых в промежутке от 1 до 100 будет 20, вторых (по сути, всех четных) – 50, что, по идее, дает нам в конце 20 нолей. Но ведь числа 25, 50, 75 и 100 дают нам дополнительные коэффициенты пятерки, поэтому 100! будет иметь в итоге 24 ноля.

Как и в главе 1, здесь мы увидим несколько замечательных математических закономерностей, в которых используются факториалы. Вот, например, одна из моих любимых:

Правило суммы и произведения

Большинство проблем с вычислением на самом деле сводятся к двум правилам – суммы и произведения. Правило суммы используется, когда нужно подсчитать общее количество имеющихся у вас вариантов выбора. Допустим, у вас есть 3 рубашки с короткими рукавами и 5 рубашек – с длинными. Но наденете-то вы только одну. Значит, вы стоите перед выбором одного из 8 вариантов. Обобщая, можно сказать, что, если у вас есть два типа объектов и количество объектов первого типа равно a, а объектов второго типа – b, всего у вас будет a + b разных объектов (естественно, предполагая, что ни один из объектов типа b не повторяется в типе a).

Правило суммы и произведения

Большинство проблем с вычислением на самом деле сводятся к двум правилам – суммы и произведения. Правило суммы используется, когда нужно подсчитать общее количество имеющихся у вас вариантов выбора. Допустим, у вас есть 3 рубашки с короткими рукавами и 5 рубашек – с длинными. Но наденете-то вы только одну. Значит, вы стоите перед выбором одного из 8 вариантов. Обобщая, можно сказать, что, если у вас есть два типа объектов и количество объектов первого типа равно a, а объектов второго типа – b, всего у вас будет a + b разных объектов (естественно, предполагая, что ни один из объектов типа b не повторяется в типе a).

Как уже было сказано, правило суммы исходит из того, что в двух типах объектов каждый объект уникален. Но если у нас все же есть несколько объектов (в количестве c), принадлежащих к обоим типам, не считать же их дважды, правда? Значит, формулу придется немного изменить: a + b – c. Например, если в классе у 12 учеников есть собаки, у 19 – кошки, а у 7 – и собаки и кошки, получается, что общее количество учеников, держащих только одно животное, будет 12 + 19 – 7 = 24. Если перевести это в плоскость чистой математики, в промежутке от 1 до 100 у нас получится 50 чисел, кратных 2; 33 числа, кратных 3; и 16 чисел, кратных как 2, так и 3 (ну или кратных 6). Значит, количество чисел, кратных либо 2, либо 3, нужно подсчитывать так: 50 + 33 – 16 = 67.

Правило произведения применяется в том случае, когда вам нужно предпринять некое действие, которое состоит из двух частей. Если имеется a вариантов выполнения первой части и b вариантов второй, то для всего действия имеется a × b вариантов. То есть если у меня есть 5 разных пар брюк и 8 различных рубашек и если я (как и большинство математиков) при этом не особо озабочен вопросами стиля и сочетания цветов, общее количество возможных комбинаций составит 5 × 8 = 40. А если я еще решу надеть один из 10 своих галстуков (то есть мое действие будет состоять уже из трех частей: галстук, брюки и рубашка), комбинаций станет уже 40 × 10 = 400.

В полной колоде карт каждая карта принадлежит к одной из 4 мастей (пики, червы, бубны, трефы) и 13 достоинств (туз, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама и король). Значит, всего в полной колоде 4 × 13 = 52 карты. При желании все их можно разложить в виде прямоугольника со сторонами 4 на 13 – тем самым мы получим визуальное представление об общем количестве в 52.

Давайте применим правило произведения для подсчета почтовых индексов. Каково возможное количество пятизначных индексов? Каждый индекс – это пятизначное число, состоящее из цифр от 0 до 9. Наименьшее из них будет иметь вид 00000, а наибольшее – 99999[7]. Значит, всего имеется 100 000 вариантов. К тому же результату можно прийти с помощью правила произведения. У нас есть 10 вариантов выбора числа для первой цифры (от 0 до 9), 10 – для второй, и дальше по 10 для третьей, четвертой и пятой. Значит, имеем 105 = 100 000 вариантов.

В почтовых индексах числа могут повторяться. А если взять ситуацию, в которой объекты не могут повторяться – например, когда вы выкладываете предметы в ряд? Несложно заметить, что два объекта в каждой паре могут быть расположены двумя способами. Скажем, буквы А и B могут быть представлены либо как АВ, либо как ВА. Способов разложить 3 объекта у нас ровно 6: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. А можете представить в уме, без ручки и бумажки, 24 возможные комбинации 4 объектов? Начнем с выбора одного из четырех вариантов для начальной позиции (выбираем из четырех букв: А, B, C или D). Для второй позиции останется 3 варианта, для третьей – 1, для последней, четвертой, – всего лишь 1. Всего получается 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24 варианта. Другими словами, для n объектов имеется n! вариантов их расположения.

А вот пример одновременного использования правил суммы и произведения. Допустим, некое государство выдает автовладельцам регистрационные номера двух типов. Номера первого типа состоят из 3 букв и 3 цифр, второго – из 2 букв и 4 цифр (в обоих случаях сначала идут буквы, потом – цифры). Сколько всего будет номеров (притом что мы можем использовать все 26 букв латинского алфавита и 10 цифр, не обращая при этом внимания на внешнее сходство, вроде О и ноль)? Сначала посчитаем количество номеров первого типа, применив правило произведения:

То же с номерами второго типа:

Так как один номер относится либо к первому, либо ко второму типу (и не повторяется), согласно правилу суммы общее количество возможных комбинаций – 24 336 000.

Но подобного рода подсчеты (математики даже выделяют такие упражнения в отдельную ветвь своей науки – комбинаторику) не приносили бы столько удовольствия, если бы не многообразие способов, которыми можно достичь желаемого (мы уже успели в этом убедиться, когда говорили об устном счете). Оказывается, то же количество автомобильных номеров можно посчитать за один шаг:

ведь для первых двух символов каждого номера существует 26 вариантов, для последних трех – 10, при этом третий символ может быть или буквой, или цифрой, а значит, возможных вариантов здесь будет 26 + 10 = 36.

Лотерея и покер

В этом разделе мы используем то, что только что узнали, для подсчета своих шансов выиграть в лотерею или собрать нужную комбинацию в покере. Но позвольте сначала предложить вам немного мороженого.

Допустим, вам предлагают наполнить рожок 3 шариками разных сортов мороженого. Всего можно выбирать из 10 сортов. Сколько всего можно получить разных рожков? Не забудьте: порядок шариков разных сортов имеет значение (а как же иначе? Ведь вкус-то разный!). Если повторяться можно, получается, что у нас есть 10 вариантов для каждого из трех шариков: 103 = 1000 вероятных комбинаций. Ну а если нельзя – их количество сокращается до 10 × 9 × 8 = 720, как показано на картинке чуть ниже.

Теперь кое-что поинтереснее. Как будут лежать три шарика трех разных сортов в вазочке, если их порядок не важен? Можно сказать точно: их будет меньше. А конкретно – в 6 раз меньше. Попытаемся понять, почему. Лежащие в вазочке 3 шарика мороженого 3 разных сортов (допустим, шоколадное, ванильное и мятное) можно переложить в рожок 3! = 6 способами. Значит, из 1 варианта вазочки можно собрать 6 вариантов рожков. Количество вазочек, таким образом, будет равняться

Другой способ представить 10 × 9 × 8 – 10!/7! (хотя первый пример, конечно, легче подсчитать). Значит, количество чашек – Такая запись читается как «число сочетаний из 10 по 3», обозначается символом и равняется 120. Другими словами, число вариантов при выборе определенного количества различных объектов, равного n, из общего количества различных объектов, равного k (в произвольном порядке), называется «числом сочетаний из n по k» и подсчитывается по формуле

Математики называют такого рода вычисления сочетаниями или комбинациями, а числа вида – биноминальными коэффициентами. Вычисления же при строго определенном порядке объектов называется перестановкой или пермутацией. Эти два понятия часто путают: например, мы привыкли думать, что на «кодовом» замке нужно подбирать «комбинации» цифр, хотя по сути это не комбинации, а перестановки, ведь порядок чисел, составляющих код, имеет большое, если не решающее, значение.

Если ваш продавец мороженого предлагает 20 разных сортов, то, направляясь туда с намерением купить 5 разных шариков (в случайном порядке), вам придется выбирать из

вариантов. Кстати, если на вашем калькуляторе не предусмотрено специальной кнопки, чтобы подсчитать просто наберите в любом поисковике «число сочетаний из 20 по 5»[8], и вы увидите веб-калькулятор с готовым ответом.

Биноминальные коэффициенты, впрочем, могут появляться и там, где порядок расположения объектов определенную роль все же играет. Если вы 10 раз подбросите монетку, сколько всего у вас будет возможных последовательностей результатов (вроде О-Р-О-Р-Р-О-О-Р-Р-Р или О-О-О-О-О-О-О-О-О-О)? Так как каждый бросок имеет два возможных исхода, правило произведения говорит нам, что их будет 210 = 1024, причем шансы выпадения каждой стороны абсолютно равны. (Некоторые, конечно, удивятся: вероятность того, что выпадет вторая комбинация, вроде бы куда ниже, чем у первой. Тем не менее шансы и у той, и у другой абсолютно равные – 1 к 1024.) С другой стороны, то, что за 10 бросков орел выпадет 4 раза, а не 10, куда вероятнее, ведь комбинаций с 4 орлами много, а с 10 – всего одна. Вот только «много» – это сколько? Подобная последовательность определяется количеством «орлиных» бросков, равным 4 из 10, соответственно, остальные броски должны закончиться выпадением решки. Количество способов определить, какие именно 4 из 10 бросков дадут нам орла, равно (все равно что выбирать 4 разных шарика мороженого из 10 сортов). Значит, наш шанс, что из 10 попыток 4 раза выпадет орел, если бросать симметричную, абсолютно уравновешенную монетку, равен