Для евреев годы после смерти Маймонида стали эрой ничего. В XIII веке распространилась новая доктрина: каббализм, или еврейский мистицизм. Центральным положением каббалистического мышления стала гематрия — поиск в тексте Библии закодированных посланий. Как и греки, евреи использовали буквы своего алфавита для обозначения чисел, так что каждое слово обретало численное значение. Этим можно было пользоваться для интерпретации скрытого смысла слов. Например, участники войны в Заливе могли заметить, что имя Саддам имело следующее значение: «самех» (60) + «алеф» (1) + «далед» (4) + «алеф» (1) + «мем» (600) = 666. Это число, которое христиане соотносят со Зверем, который появится во время Апокалипсиса. (Для каббалистов не составляет разницы, один или два даледа в имени Саддам, они часто меняют написание слов, чтобы получить правильную сумму.) Каббалисты считали, что слова и фразы, имеющие одинаковое численное значение, мистически связаны друг с другом. Например, в книге Бытия (глава 49, стих 10) говорится: «Не отойдет скипетр от Иуды… доколе не приидет Примиритель». Фраза на иврите «доколе не приидет Примиритель» имеет значение 358, в точности то же, что и слово «Машиах» — Мессия. Таким образом, стих предсказывает приход Мессии. Каббалисты считали определенные числа священными или полными скверны, и искали в Библии эти числа и скрытые послания, обнаруживаемые при рассмотрении различных сочетаний. Недавно изданный бестселлер «Код Библии» претендовал на то, чтобы таким способом обнаружить пророчества.
Каббала была гораздо большим, чем манипуляции с числами. Это была настолько мистическая традиция, что некоторые ученые видят в ней поразительное сходство с индуизмом. Например, каббалисты ухватились за идею двойственности природы Бога. Еврейский термин «ейн соф», означающий «бесконечный», представлял созидательный аспект Бога, ту часть Божества, которая создала Вселенную и пронизывает каждый уголок космоса. Однако в то же время Бог имел и другое имя: «айин», или «ничто». Бесконечность и пустота шли рука об руку и обе были частью Божественного Создателя. Более того, термин «айин» является анаграммой (и имеет то же числовое значение), что и слово «аний», означающее на иврите «я». Ничего не могло быть яснее — Бог закодированно говорил: «Я — ничто и одновременно — бесконечность».
Пока евреи противопоставляли свои прозападные взгляды своей восточной Библии, христиане сражались с мусульманами (во время правления Карла Великого в IX веке и крестовых походов XI, XII и XIII столетий), рыцари — члены монашеских орденов, ученые и купцы начали приносить на Запад исламские идеи. Монахи обнаружили, что астролябия, арабское изобретение, — удобный инструмент для того, чтобы определять время в темное время суток и благодаря этому соблюдать распорядок молитв. На астролябиях часто бывали обозначения арабскими цифрами.
Арабские цифры не привились даже несмотря на то, что живший в X веке папа Сильвестр II, был их большим поклонником. Он, вероятно, узнал о новинке во время поездки в Испанию и привез ее с собой, когда вернулся в Италию. Однако система, с которой он познакомился, не включала ноля, а если бы включала, то оказалась бы еще менее популярной. Аристотель все еще крепко держал в руках Церковь, и самые выдающиеся ее мыслители по-прежнему отвергали бесконечно большие, бесконечно малые величины и пустоту. Даже после завершения крестовых походов в XIII веке Фома Аквинский утверждал, что Бог так же не мог создать нечто бесконечное, как не мог создать ученую лошадь. Однако это означало, что Бог не всемогущ, что было запретной мыслью в христианской теологии.
В 1277 году епископ Парижа Этьен Тампье созвал ассамблею для обсуждения учения Аристотеля, или, скорее, нападок на него. Тампье отказался от многих аристотелевских доктрин, противоречивших всемогуществу Бога, таких, например, как «Бог не может двигать небеса по прямой, потому что при этом позади остался бы вакуум».
(Вращающиеся сферы не создавали проблемы, потому что они все время занимают одно и то же пространство. Только когда сферы двигаются по прямой, необходимо иметь пространство, куда могли бы перемещаться небеса, и приходится признать существование пространства позади движущейся сферы.) Бог мог бы создать вакуум, если захотел бы. Неожиданно пустота была разрешена, потому что всемогущее божество не обязано следовать правилам, предписанным Аристотелем, если ему этого не хочется.
Заявления Тампье не были смертельным ударом по философии Аристотеля, но они определенно показали, что фундамент крошится. Церковь продолжала цепляться за Аристотеля еще несколько столетий, но явно начиналось падение аристотелевской философии и восхождение пустоты. Это было подходящим временем для того, чтобы ноль объявился на Западе. Первые приложения алгебры аль-Хорезми прокладывали себе дорогу через Испанию, Англию и остальную Европу. Ноль тоже продвигался, одновременно с отказом Церкви от аристотелевских шор.
Триумф ноля
Христианство изначально отвергало ноль, но торговля вскоре потребовала его использования. Человеком, вновь представившим ноль Западу, был Леонардо Пизанский.
Сын итальянского купца, он совершал путешествия в Северную Африку. Там молодой человек — более известный как Фибоначчи — обучался математике у мусульман и сам скоро стал умелым математиком.
Фибоначчи лучше всего запомнился занятной маленькой проблемой, которую он приводит в своей «Книге абака» (Liber Abaci) опубликованной в 1202 году.
Представьте себе, что у крестьянина есть пара крольчат. Им требуется два месяца для достижения зрелости, и с этого момента кролики будут производить потомство — другую пару кроликов — в начале каждого месяца. Потом эта пара достигнет зрелости и произведет новую пару, новая пара достигнет зрелости и произведет потомство и так далее. Сколько пар кроликов будет у крестьянина в каждом данном месяце?
Ну, в первый месяц имелась одна пара, и поскольку она еще не достигла зрелости, размножаться кролики не могли. Во второй месяц крестьянин все еще имел одну пару.
Однако в начале третьего месяца первая пара дала потомство. Теперь стало две пары.
В начале четвертого месяца первая пара снова дала потомство, но вторая пара еще не достигла зрелости. Результат — три пары. В следующем месяце дали потомство первая и вторая пары, поскольку вторая пара достигла зрелости, но третья пара еще слишком молода. Результат — пять пар.
Численность кроликов по месяцам выглядит так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Число кроликов, имеющихся в данный месяц, есть сумма численности за каждый из двух предшествующих месяцев. Математики сразу поняли, какую важность имеет полученная последовательность. Если взять любой ее член и разделить на предыдущий, получится следующее: 8 / 5 = 1,6; 13 / 8 = 1,625; 21 / 13 = 1,61538… Эти отношения приближаются к особенно интересному числу — золотому сечению, которое равно 1,61803…
Пифагор отмечал, что природа, по-видимому, управляется золотым сечением. Фибоначчи открыл последовательность, которая за это отвечает. Размер камер раковины наутилуса и отношение числа идущих по часовой стрелке углублений на ананасе к числу идущих против часовой стрелки соответствуют этой последовательности.
Хотя основой славы Фибоначчи послужила именно эта последовательность, Liber Abaci имела гораздо более важную цель, чем рассмотрение разведения кроликов. Фибоначчи научился математике у мусульман, так что он знал об арабских цифрах, включая ноль. Эту новую систему Фибоначчи описал в своей книге, наконец-то представив ноль Европе. Книга показывала, как полезны арабские цифры при выполнении сложных вычислений, и итальянские купцы и банкиры быстро ухватились за новую систему, включая ноль.
До появления арабских цифр при денежных расчетах приходилось пользоваться абаком или счетной доской. Немцы называли счетную доску рехенбанк, поэтому мы называем финансовые учреждения банками. В те времена банковские методы были примитивными — использовались не только счетные доски, но и счетные палочки для учета долгов: денежная сумма записывалась по концам палочки, а потом палочка разламывалась пополам (рис. 16). Заимодавец сохранял более длинную часть — основной капитал; в конце концов, он был его владельцем[16].
Рис. 16. Счетная палочка
Рис. 16. Счетная палочка
Итальянские купцы обожали арабские цифры. Они позволяли банкирам избавиться от счетных досок. Впрочем, если деловые люди видели пользу арабских цифр, то местные правительства их ненавидели. В 1299 году во Флоренции арабские цифры были запрещены. Предлогом было то, что эти цифры легко менять и подделывать. (Например, ноль можно было обратить в шестерку простым росчерком пера.) Однако от преимуществ ноля и других арабских цифр было не так легко отделаться; итальянские купцы продолжали использовать их и даже пользовались для передачи закодированных сообщений. Так от слова «цифра» произошло слово «шифр» — секретный код.
В конце концов правительствам пришлось уступить под давлением коммерции. Арабская система была разрешена в Италии и скоро распространилась по всей Европе. Появился ноль, как и пустота. Аристотелевские стены рушились благодаря влиянию мусульман и индийцев, и к 1400 году даже самые непреклонные сторонники философии Аристотеля начали испытывать сомнения. Впрочем, битва против Аристотеля была далека от завершения. Томас Брадвардин, которому предстояло стать архиепископом Кентерберийским, попытался опровергнуть атомизм, древнюю Немезиду Аристотеля, используя геометрию, в которой бесконечно делимые прямые атомизм опровергали автоматически. Если Аристотелю предстояло пасть, доказательство существования Бога — оплот церковной доктрины — больше не было несокрушимо. Требовалось новое доказательство.
Более того, если Вселенная была бесконечна, она не могла иметь центра. Как же тогда могла быть центром Вселенной Земля? Ответ был найден в ноле.
Глава 4 бесконечный бог ничто
Теология ноля
Ноль и бесконечность были самой сердцевиной Возрождения. По мере того как Европа медленно пробуждалась от Темных веков, пустота и бесконечность — ничто и все — грозили уничтожить аристотелевы основания Церкви и открыть путь научной революции.
Сначала папство не видело угрозы. Высокопоставленные церковники экспериментировали с опасными идеями пустоты и бесконечности, хотя те наносили удар по сути греческой философии, которую Церковь так лелеяла. Ноль появлялся на каждой ренессансной картине, а кардинал объявлял, что Вселенная бесконечна — не имеет границ. Впрочем, короткий роман с нолем и бесконечностью длился недолго.
Почувствовав угрозу, Церковь вернулась к старой философии, к аристотелевской доктрине, поддерживавшей ее столько лет. Однако было поздно. Ноль дал корни на Западе и, несмотря на все возражения папства, оказался слишком силен, чтобы его снова можно было изгнать. Аристотель пал под напором бесконечности и пустоты, а с ним вместе — и доказательство существования Бога.
Церкви ничего не оставалось, как признать ноль и бесконечность. В конце концов, верующие могли найти Бога, скрытого в пустоте и бесконечности.
Скорлупа раскололась
В начале Возрождения не было очевидно, что ноль является угрозой для Церкви. Он был инструментом искусства, бесконечным ничто, способствовавшим Возрождению в живописи.
До XV столетия картины и рисунки были в основном плоскими и безжизненными. Изображения были искаженными, двумерными; гигантские плоские рыцари выглядывали из крохотных замков странной формы (рис. 17). Даже лучшие художники не могли изобразить реалистичной сцены. Они не знали, как пользоваться силой ноля.
Рис. 17. Плоские рыцари и замок странной формы
Первым продемонстрировал силу бесконечности и ноля итальянский зодчий Филиппо Брунеллески: он создал реалистичное изображение, пользуясь бесконечно удаленной точкой.
По определению, точка — это ноль, благодаря концепции измерений. В повседневной жизни вы пользуетесь трехмерными объектами. (Эйнштейн показал, что наш мир имеет четыре измерения, как мы увидим в следующих главах.) Часы у вас на столе, чашка кофе, которую вы выпиваете утром, книга, которую вы читаете на ночь, — все это трехмерные объекты. Теперь представьте себе, что огромная рука спускается сверху и расплющивает книгу. Вместо трехмерного объекта книга теперь — плоский прямоугольник. Она потеряла одно измерение: она имеет длину и ширину, но не имеет высоты. Книга стала двумерна. Теперь представьте, что она повернута на бок и снова сплющена огромной рукой. Книга больше не является прямоугольником. Она сделалась отрезком прямой, снова потеряв одно измерение: не имеет высоты и ширины, но имеет длину. Она — одномерный объект. Вы можете лишить ее даже этого единственного измерения. Сплющенный по длине, отрезок прямой становится точкой, бесконечно малой, не имеющей ни высоты, ни ширины, ни длины. Точка — это объект, имеющий ноль измерений.
В 1425 году Брунеллески поместил именно такую точку в центр изображения знаменитого флорентийского здания — Баптистерия. Этот имеющий ноль измерений объект, исчезающая точка, бесконечно малое пятнышко на картине, представляет собой нечто, бесконечно удаленное от зрителя (рис. 18). Объекты на картине отступают в даль, они делаются все ближе к исчезающей точке, делаются более сжатыми по мере того, как удаляются от зрителя. Все, находящееся достаточно далеко — люди, деревья, здания, — сжимаются в имеющую ноль измерений точку и исчезают. Ноль в центре картины содержит бесконечность пространства.
Рис. 18. Бесконечно удаленная точка
Этот очевидно противоречивый объект почти волшебно придал рисунку Брунеллески такое сходство с трехмерным Баптистерием, что тот стал неотличим от реального здания. Действительно, когда Брунеллески воспользовался зеркалом и сравнил отражение Баптистерия с рисунком, оказалось, что отражение полностью соответствует геометрии здания. Бесконечно удаленная точка превратила двумерное изображение в точную копию трехмерного объекта.
То, что ноль и бесконечность соединены в бесконечно удаленной точке, — не совпадение. Умножение на ноль заставляет числовую ось сжаться в точку; исчезающая точка заставляет большую часть Вселенной сократиться до крошечного пятнышка. Это сингулярность, концепция, ставшая позднее очень важной в истории науки, однако на том раннем этапе математики знали немногим больше художников о свойствах ноля. В XV столетии художники были дилетантами-математиками. Леонардо да Винчи написал руководство для изображения перспективы. Другая его книга о живописи предостерегает: «Пусть никто, не являющийся математиком, не читает моих работ». Художники-математики совершенствовали технику перспективы и скоро оказались способны изображать любой предмет в трех измерениях. Они не были больше ограничены плоскостными изображениями.
Ноль преобразил мир искусства. Он буквально занимал центральное место на рисунке Брунеллески. Церковь тоже взялась за ноль и бесконечность, хотя христианская доктрина все еще зависела от идей Аристотеля. Современник Брунеллески, немецкий кардинал Николай Кузанский, рассмотрел бесконечность и тут же заявил: Te r r a non est centra mundi — «Земля не есть центр мира». Церковь еще не понимала, какой опасной, какой революционной была эта идея.
Одним из древних утверждений средневековой аристотелевской доктрины — столь же непререкаемым, как запрет на вакуум, — было положение о том, что Земля уникальна. Она находилась в самом центре Вселенной. Особое положение Земли в центре Вселенной делало ее единственным миром, способным поддерживать жизнь в соответствии с утверждением Аристотеля, что все предметы ищут свое естественное место. Тяжелые объекты, такие как скалы или люди, принадлежат земле; легкие объекты, такие как воздух, принадлежат небесам. Это не только предполагает, что планеты — в небесах — созданы из света, воздушного вещества; это также означает, что любой человек в небесах естественным образом упадет на землю. Таким образом, существа могут населять только зерно ореха — космоса. Вообразить две планеты с жизнью на них — столь же глупо, как вообразить сферу с двумя центрами.