Почему я считаю определение золотого сечения, которое дал Евклид, изобретением? Потому что изобретательство Евклида выделило это соотношение из общей массы и привлекло к нему внимание математиков. С другой стороны, в Китае, где понятие золотого сечения не было изобретено, в математической литературе нет никаких упоминаний ни о чем похожем. В Индии, где его опять же не изобрели, оно вскользь затронуто лишь в нескольких второстепенных тригонометрических теоремах.
Примеров, которые показывают, что вопрос «Что есть математика – изобретение или открытие?» некорректно сформулирован, можно найти множество. Наша математика – это сочетание изобретений и открытий. Аксиомы евклидовой геометрии как понятия были изобретением, как и, скажем, правила игры в шахматы. Кроме того, аксиомы были дополнены различными изобретенными понятиями – треугольниками, параллелограммами, эллипсами, золотым сечением и тому подобным. А теоремы евклидовой геометрии, напротив, по большей части представляют собой открытия: это пути, связывающие разные понятия. В некоторых случаях доказательства приводили к формулировке новых теорем – математики изучали, что можно доказать, и из этого выводили теоремы. В других, как описано в «Методе» Архимеда, они сначала находили ответ на заинтересовавший их вопрос, а потом уже работали над доказательством.
Понятия – это, как правило, изобретения. Простые числа как понятие были изобретены, однако все теоремы о простых числах – открытия[158]. Математики древнего Вавилона, Египта и Китая не изобрели понятие простых чисел, хотя их математика достигла огромных успехов. Можно ли сказать, что они просто не «открыли» простые числа? Не в большей степени, чем заявить, что в Великобритании не «открыли» единую кодифицированную конституцию. Государство способно выжить и без конституции – и математика способна развиваться без понятия простых чисел. Так и получилось!
А известно ли нам, почему греки изобрели понятия вроде аксиом и простых чисел? Конечно, наверняка сказать нельзя, но можно предположить, что это произошло в ходе неустанных попыток исследовать самые фундаментальные составляющие Вселенной. Простые числа – это строительный материал чисел, точно так же как атомы – это строительный материал вещества. Подобным же образом аксиомы были источником, из которого должны вытекать все геометрические истины. Додекаэдр символизировал Вселенную в целом, а золотое сечение послужило понятием, благодаря которому этот символ был воплощен.
Все это говорит еще об одном интересном аспекте математики: она часть человеческой культуры. Стоило грекам изобрести аксиоматический метод, как все их последователи, европейские математики, тут же взяли с них пример и переняли у них эту систему представлений и практических приемов. Антрополог Лесли А. Уайт (1900–1975) как-то раз лаконично охарактеризовал этот культурный аспект (White 1947): «Если бы Ньютон вырос среди готтентотов [южноафриканское племя], он и считал бы по-готтентотски». Культурная составляющая математики, скорее всего, отвечает и за то, что многие математические открытия (например, инварианты узла) и даже некоторые крупные изобретения (например, математический анализ) были сделаны одновременно несколькими независимыми учеными.
Говорите ли вы по-математически?
В предыдущем разделе я сравнил смысл абстрактного понятия числа со значением слова. Можно ли считать математику своего рода языком? Открытия математической логики, с одной стороны, и лингвистики – с другой, показывают, что в некоторой степени так и есть. Труды Буля, Фреге, Пеано, Рассела, Уайтхеда, Гёделя и их современных последователей, в особенности в областях вроде философской семантики и синтаксиса и в параллельных направлениях лингвистики, показали, что грамматика и логические рассуждения тесно связаны с алгеброй символической логики. Но почему тогда на свете существует более 6500 языков и только одна математика? На самом деле у многих языков при всем их разнообразии общая основа. Скажем, американский лингвист Чарльз Хокетт (1916–2000) в 60-е годы привлек внимание к тому обстоятельству, что все языки обладают встроенными механизмами для создания новых слов и фраз («луноход», «веб-страница», «банкомат» и так далее)[159]. Подобным же образом все человеческие языки допускают отвлеченные понятия («сюрреализм», «отсутствие», «величие»), отрицание («нет», «не бывает»), условные конструкции («Если бы бабушке приделали колесики, она стала бы автобусом»). Пожалуй, важнейшие свойства любых языков – это незамкнутость и свобода стимуляции. Первое – это способность создавать неслыханные ранее высказывания и понимать их[160]. Например, я легко могу создать предложение вроде «Плотину Гувера скотчем не починишь», и, хотя вам, скорее всего, эта фраза раньше не попадалась, вы без труда ее поймете. Свобода стимуляции – это власть выбирать, как реагировать на полученный стимул и реагировать ли на него вообще. Например, на вопрос, который ставит автор-исполнитель Кэрол Кинг в своей песне «Будешь ли ты и завтра любить меня?», можно ответить и «Откуда я знаю, не умру ли я до завтра», и «Конечно», и «Да я и сегодня тебя не люблю», и «Не больше, чем свою собачку», и «Честное слово, это ваша лучшая песня!», и даже «Интересно, кто в этом году выиграет Открытый чемпионат Австралии по теннису». Легко видеть, что многие эти черты (абстракция, отрицание, незамкнутость и способность развиваться) характерны и для математики[161].
Как я уже отмечал, Лакофф и Нуньес подчеркивают роль метафор в математике. Кроме того, когнитивисты настаивают, что все человеческие языки прибегают к метафорам для выражения практически чего угодно. Но и это еще не все: с 1957 года, когда знаменитый лингвист Ноам Хомски опубликовал свою революционную книгу «Синтаксические структуры» (Noam Chomsky, «Syntactic Structures»), многие лингвисты занялись так называемой универсальной грамматикой – общими принципами, которые управляют всеми языками[162]. Иначе говоря, то, что кажется на первый взгляд вавилонским разнообразием языков, на самом деле обладает неожиданным структурным сходством. Вдумайтесь – ведь иначе невозможно было бы составить словари для перевода с одного языка на другой!
Вероятно, вас до сих пор удивляет, что математика такая однородная – и по тематике, и по системе условных обозначений. Особенно интересна первая часть этого вопроса. Большинство математиков согласны, что математика в известном нам виде развилась из основных отраслей геометрии и арифметики, которые разрабатывали и применяли на практике древние вавилоняне, египтяне и греки. Однако так ли уж неизбежно, что математика должна отталкиваться именно от этих дисциплин?
Специалист по информатике Стивен Вольфрам в своей объемной книге «Наука нового типа» (Wolfram 2002) доказывает, что это не обязательно. В частности, Вольфрам демонстрирует, как можно развить математику совершенно нового типа, если начинать с простого набора правил (клеточных автоматов), которые действуют как короткие компьютерные программы. Эти клеточные автоматы можно (по крайней мере, в принципе) сделать основными инструментами моделирования природных явлений – вместо дифференциальных уравнений, которые главенствовали в естественных науках на протяжении трех столетий. Но что же тогда подтолкнуло древние цивилизации к открытию и изобретению именно нашей «марки» математики? Наверняка сказать невозможно, но, вероятно, это связано в основном с особенностями человеческой системы восприятия. Люди без труда замечают и распознают грани, прямые линии, плавные кривые. Скажем, обратите внимание, с какой точностью лично вы можете определить (на глаз), когда линия идеально прямая, и с какой легкостью отличаете правильную окружность от немного эллиптической. Вероятно, эти особенности восприятия оказали сильное влияние на то, как люди видят мир, и поэтому привели к созданию математики, основанной на дискретных объектах (арифметика) и на геометрических фигурах (евклидова геометрия).
Единство системы обозначений, вероятно, стало результатом так называемого «Эффекта “Майкрософт Виндоус”». Операционной системой «Майкрософт» пользуется весь мир, и не потому, что этого нельзя избежать, а просто потому, что она захватила большую часть рынка программного обеспечения и имеет смысл приобретать ее просто ради удобства связи и доступности различных приложений. Подобным же образом западная система условных обозначений некоторым образом навязана математическому миру.
Интересно, что астрономия и астрофизика, возможно, еще не до конца сыграли свою роль в ответе на вопрос об изобретении или открытии. Не так давно поиски планет вне Солнечной системы показали, что около пяти процентов всех звезд обладают по крайней мере одной гигантской планетой вроде Юпитера и что эта доля примерно одинакова по всему Млечному пути. Точный процент планет земного типа пока не известен, но есть вероятность, что в галактике их миллиарды. Даже если лишь очень маленькая, но все же отличающаяся от нуля доля этих «Земель» находится в обитаемой зоне (на орбите, которая проходит от звезды на таком расстоянии, что делает возможным существование на поверхности планеты жидкой воды), вероятность возникновения жизни как таковой и, в частности, разума на таких планетах больше нуля. А если нам удастся открыть разумную жизнь и наладить с ней коммуникацию, можно будет получить бесценные сведения о том, какие формальные методы объяснения устройства космоса разрабатывают другие цивилизации. И тогда мы не просто добьемся невообразимых успехов в понимании происхождения и эволюции жизни, но и получим возможность сравнить свою логику с логическими системами потенциально более развитых существ.
Если же взять куда более спекулятивную ноту, то некоторые космологические сценарии, например так называемая хаотическая теория инфляции, предсказывают возможность существования множественных вселенных. Не исключено, что в иных таких вселенных не только значения фундаментальных физических постоянных (например, силы различных типов взаимодействий или отношения масс субатомных частиц) отличаются от наших, но и вообще правят совсем другие законы природы.
Астрофизик Макс Тегмарк утверждает, что каждой возможной математической структуре должна соответствовать (или, по его словам, соответствует) своя Вселенная[163]. Если это так, то перед нами доведенная до предела версия позиции «Вселенная есть математика»: с математикой идентифицируется даже не один мир, а целый их ансамбль. К сожалению, эти умозаключения не просто радикальны и на данный момент не подлежат экспериментальной проверке, но и противоречат, по крайней мере, в упрощенном виде, так называемому принципу заурядности.[164]. Как я писал в главе 5, если выбрать на улице случайного прохожего, то с вероятностью 95 % его рост попадет в пределы двух стандартных отклонений от среднего роста. Подобную же аргументацию следует применять и к свойствам вселенных. Однако количество возможных математических структур с увеличением сложности стремительно возрастает. Это значит, что самая заурядная структура, близкая к средней, должна быть необычайно сложной. А это не вяжется с относительной простотой нашей математики и наших теорий Вселенной, а значит, не соответствует естественным представлениям о том, что наша Вселенная должна быть типичной.
Загадка Вигнера
Вопрос «что есть математика – изобретение или открытие?» сформулирован некорректно, поскольку из такой формулировки следует, что нужно выбрать какой-то один ответ и что эти два варианта взаимоисключающи. Я предлагаю другую версию: математика отчасти открыта, а отчасти изобретена. Люди постоянно изобретают математические понятия и открывают отношения между этими понятиями. Конечно, некоторые эмпирические открытия предшествовали формулировке понятий, однако сами понятия, несомненно, стали стимулом для дальнейших открытий новых теорем. Кроме того, я хочу заметить, что некоторые философы математики, например американец Хилари Патнэм, придерживаются умеренной позиции, так называемого реализма: они верят в объективность математического дискурса (утверждения бывают истинные и ложные, а то, что делает их истинными или ложными, лежит вне сферы влияния человека), однако не убеждены, в отличие от платоников, в существовании «математических объектов» (Putnam 1975). Но ведут ли подобные представления к удовлетворительному ответу на загадку Вигнера – загадку о «непостижимой эффективности» математики?
Позвольте кратко очертить некоторые варианты ответов, предлагаемые современными мыслителями[165].
Вот что пишет Дэвид Гросс, лауреат Нобелевской премии по физике[166].
Существует точка зрения, насколько мне известно, довольно распространенная среди математиков, занимающихся новыми разработками, согласно которой математические структуры, получаемые этими учеными, представляют собой не искусственные творения человеческого разума, а представляются им некоторым образом естественными, как будто они столь же реальны, как и структуры, созданные физиками для описания так называемого реального мира. Иначе говоря, математики не изобретают новую математику, а открывают ее. Если это так, то, пожалуй, некоторые тайны, которые мы исследовали [ «непостижимая эффективность»], уже не так таинственны. Если математика сводится к структурам, представляющим собой реальную часть мира природы, столь же реальную, что и понятия теоретической физики, не приходится удивляться, что она служит эффективным инструментом анализа реального мира.
То есть Гросс опирается здесь на вариант точки зрения «математика есть открытие», который находится где-то между платоновским миром и миром «Вселенная есть математика», но ближе к платоническому мировоззрению. Однако, как мы видели, философски обосновать утверждение «математика есть открытие» трудно. Более того, платонизм не может по-настоящему ответить на вопрос о феноменальной точности, о котором я говорил в главе 8, – и Гросс это признает.
Сэр Майкл Атья, чьи представления о природе математики я в основном разделяю, пишет об этом так (Atiyah 1995; см. также Atiyah 1993).
Если рассматривать мозг в контексте эволюции, то загадочные успехи математики в физических науках можно объяснить – по крайней мере, отчасти. Мозг развивался так, чтобы легче было иметь дело с физическим миром, поэтому, пожалуй, не надо удивляться, что он разработал математику – язык, прекрасно подходящий для этой цели.
Такая аргументация очень похожа на то, что предлагают когнитивисты. Однако Атья при этом признает, что это объяснение едва ли позволяет ответить на самый наболевший вопрос – как математика объясняет относительно скрытые аспекты физического мира. В частности, оно оставляет в стороне вопрос о «пассивной» эффективности математики (о том, что математические понятия находят практическое применение уже после их изобретения, иногда в далеком будущем). Атья отмечает: «Скептик вправе возразить, что борьба за выживание требует от нас только справляться с физическими явлениями на человеческих масштабах, а математическая теория, однако, успешно описывает явления на любых масштабах, от атома до галактики». Единственное, что приходит в голову по этому поводу, – это: «Возможно, объяснение кроется в абстрактно-иерархической природе математики, которая позволяет относительно легко переходить вверх-вниз по шкале масштабов».
Ричард Хэмминг (1915–1998), американский математик и специалист по теории информации, в 1980 году сделал очень подробный и интересный обзор загадки Вигнера (Hamming 1980). Во-первых, по вопросу о природе математики он пришел к выводу, что «математика создана человеком и поэтому приспособлена для того, чтобы человек постоянно и более или менее бесконечно ее изменял». Далее, он предложил четыре возможных объяснения непостижимой эффективности: это (1) эффект отбора, (2) эволюция математических инструментов, (3) ограниченная способность математики к объяснению и (4) эволюция человека.
Вспомним, что эффект отбора – это искажение результатов эксперимента либо из-за использованного аппарата, либо из-за способа сбора данных. Например, если при испытании эффективности диеты исследователь отбрасывает всех, кто прекратил диету досрочно, это исказит результат, поскольку те, кто отказался продолжать испытание, скорее всего, и есть те, на кого эта диета не подействовала. Иначе говоря, Хэмминг предполагает, что по крайней мере в некоторых случаях «изначальное явление возникает из-за применяемого математического инструментария, а не из реального мира… многое из того, что мы видим, зависит от того, какие на нас очки». В качестве примера он с полным правом приводит возможность показать, что любая сила, симметрично исходящая из точки (и сохраняющая энергию) в трехмерном пространстве ведет себя согласно закону обратных квадратов, а следовательно, не стоит удивляться применимости закона всемирного тяготения Ньютона. Точка зрения Хэмминга прекрасно обоснована, однако фантастическую точность некоторых теорий едва ли можно объяснить эффектом отбора.
Второе возможное решение, которое предлагает Хэмминг, опирается на тот факт, что человек отбирает и постоянно улучшает математические методы с целью приспособить их к той или иной ситуации. То есть Хэмминг предполагает, что мы наблюдаем так называемую «эволюцию и естественный отбор» математических идей: люди изобретают много математических понятий, но отбирают самые приспособленные. Я придерживался этих представлений много лет – и считал, что это все объясняет. Подобную интерпретацию предлагает и физик, нобелевский лауреат Стивен Вайнберг в своей книге «Мечты об окончательной теории» (Weinberg 1993). Так может быть, вот он – ответ на загадку Вигнера? Нет никаких сомнений, что подобный отбор и эволюция и в самом деле происходят. Просеяв целый ряд математических формул и приемов, ученые выбирают рабочий арсенал и тут же совершенствуют или меняют его, если это позволяет получить инструментарий получше. Но даже если мы согласимся с этой идеей, откуда вообще взялись математические теории, способные объяснить устройство Вселенной? Третье соображение Хэмминга состоит в том, что наше представление об эффективности математики вполне может оказаться иллюзией, поскольку в мире вокруг нас полным-полно всего такого, чего математика на самом деле не объясняет. В подтверждение я могу, например, отметить, что математик Израиль Гельфанд, как пишут, сказал однажды (Borovik 2006): «Есть только лишь одна вещь, еще более непостижимая, чем непостижимая эффективность математики в физике. И эта вещь – непостижимая неэффективность [курсив мой. – М. Л.] математики в биологии». Не думаю, что это само по себе позволяет дать окончательный ответ на загадку Вигнера. В отличие от героев «Автостопом по Галактике», мы не можем сказать, что ответ на все вопросы жизни, Вселенной и всего на свете – сорок два. Тем не менее есть достаточно большое количество природных явлений, которые математика смогла прояснить настолько, что их удалось объяснить. Более того, диапазон процессов и фактов, которые можно интерпретировать при помощи математики, постоянно расширяется.