Метод Архимеда не имеет себе равных по двум причинам. Во-первых, Архимед, в сущности, ввел понятие мысленного эксперимента в строгих научных исследованиях. Название этому инструменту, воображаемому опыту, проводимому вместо реального, – Gedankenexperiment, то есть «опыт, производимый в мыслях» (нем.) – дал физик Ханс Кристиан Эрстед, живший в XIX веке. В физике, где эта идея оказалась крайне плодотворной, мысленные эксперименты применяются либо для того, чтобы обеспечить понимание процессов еще до экспериментов реальных, либо в случаях, когда реальные эксперименты невозможны. Во-вторых – и это самое главное – Архимед освободил математику от несколько искусственных ограничений, которые наложили на нее Евклид и Платон. По мнению этих ученых мужей, математикой можно заниматься одним и только одним способом. Надо начинать с аксиом, а затем выстраивать несокрушимую последовательность логических шагов при помощи строго определенных инструментов. Однако вольнолюбивый Архимед решил для постановки и решения новых задач задействовать весь мыслимый арсенал. И не остановился перед тем, чтобы ради развития математики изучать и использовать связи между абстрактными математическими объектами (платоновскими формами) и физической реальностью (реальными телами или плоскими фигурами). И последний пример, подкрепляющий статус Архимеда-волшебника, – его предсказание интегрального и дифференциального исчисления, отрасли математики, которую формально разработал Ньютон (и независимо от него немецкий математик Лейбниц) лишь к концу XVII века[30]
Основная идея процесса интегрирования довольно проста (если ее понятно объяснить, конечно). Предположим, вам нужно найти площадь сегмента эллипса. Можете разделить эту площадь на много маленьких прямоугольничков одинаковой ширины и сложить площади этих прямоугольничков (рис. 14). Очевидно, что чем больше прямоугольничков мы сделаем, тем ближе сумма их площадей будет к истинной площади сегмента. Иначе говоря, на самом деле площадь сегмента равна пределу, к которому стремится сумма прямоугольничков, если их число увеличивается до бесконечности. Поиск этого предела и называется интегрированием. Архимед применял вариант вышеописанного метода для поиска объема и площади поверхности сферы, конуса, эллипсоидов и параболоидов (тел, которые получаются, если вращать эллипсы или параболы вокруг оси).
Среди основных задач дифференциального исчисления – поиск угла наклона касательной к данной кривой в данной точке, то есть той линии, которая касается кривой только в этой точке. Архимед решил эту задачу для частного случая спирали, тем самым предвосхитив далекое будущее – работы Ньютона и Лейбница. Сегодня области дифференциального и интегрального исчисления и их дочерние отрасли закладывают основу большинства математических моделей – будь то физика, инженерное дело, экономика или динамика популяций.
Рис. 14
Архимед изменил мир математики, перевернул представления об отношениях математики с мирозданием. Поскольку у него были как теоретические, так и практические интересы – поразительное сочетание! – он самой своей деятельностью предоставил первые не мифологические, а эмпирические доказательства того, что структура мироздания, очевидно, основана на математике. Идея, что математика – это язык Вселенной, а следовательно, Бог – математик, родилась именно в трудах Архимеда. И все же одного Архимед не сделал – он никогда не говорил об ограниченности применения своих математических моделей в реальных физических обстоятельствах. Например, теоретические рассуждения о рычагах в его трактатах предполагают, что опоры бесконечно твердые, а сами рычаги ничего не весят. Тем самым Архимед в некотором смысле открыл дорогу толкованию математических моделей «с соблюдением внешних приличий». То есть получалось, что математические модели отражают лишь то, что наблюдают люди, а не описывают подлинную физическую реальность. Разницу между математическим моделированием и физическим объяснением применительно к движению небесных тел первым подробно описал греческий математик Гемин (ок. 10 г. до н. э. – 60 г. н. э.) [Heath 1921]. Он провел грань между астрономами (или математиками), которые, по его мнению, лишь предлагали модели, которые повторяли бы наблюдаемое в небесах движение, и физиками, которые должны были искать объяснения реальному движению. Именно этому разграничению предстояло достигнуть пика во времена Галилея, о чем мы еще поговорим в этой главе.
Сам Архимед, как ни странно, считал своим важнейшим достижением открытие, что объем сферы, вписанной в цилиндр (рис. 15), всегда составляет ровно 2/3 объема цилиндра, если его высота равна его диаметру. Архимед так гордился этим результатом, что потребовал, чтобы его высекли на его надгробии (Plutarch ca. 75 AD). Примерно через 137 лет после смерти Архимеда знаменитый римский оратор Марк Туллий Цицерон (ок. 106–43 гг. до н. э.) обнаружил могилу великого математика. Вот как сам Цицерон описывал это событие – довольно трогательно[31]:
Когда я был квестором, я отыскал в Сиракузах его [Архимеда] могилу, со всех сторон заросшую терновником, словно изгородью, потому что сиракузяне совсем забыли о ней, словно ее и нет. Я знал несколько стишков, сочиненных для его надгробного памятника, где упоминается, что на вершине его поставлены шар и цилиндр. И вот, осматривая местность близ Акрагантских ворот, где очень много гробниц и могил, я приметил маленькую колонну, чуть-чуть возвышавшуюся из зарослей, на которой были очертания шара и цилиндра. Тотчас я сказал сиракузянам – со мной были первейшие граждане города, – что этого-то, видимо, я и ищу. Они послали косарей и расчистили место. Когда доступ к нему открылся, мы подошли к основанию памятника. Там была и надпись, но концы ее строчек стерлись от времени почти наполовину. Вот до какой степени славнейший, а некогда и ученейший греческий город позабыл памятник умнейшему из своих граждан: понадобился человек из Арпина, чтобы напомнить о нем (пер. М. Гаспарова).
Описывая величие Архимеда, Цицерон отнюдь не преувеличивал. Более того, я преднамеренно задал такие высокие стандарты для получения титула «волшебника», что для того, чтобы перейти от титана Архимеда к следующему кандидату, мы должны будем перепрыгнуть на целых восемнадцать столетий вперед и лишь тогда найдем фигуру подобной величины. В отличие от Архимеда, который заявил, что сдвинет Землю, этот волшебник утверждал, что Земля уже движется.
Рис. 15
Лучший ученик Архимеда
Галилео Галилей (рис. 16) родился в Пизе 15 февраля 1564 года[32]. Его отец Винченцо был музыкантом, а мать Джулия Амманнати отличалась исключительно острым умом, правда, была женщина не очень добрая и не выносила глупости. В 1581 году Галилей по совету отца поступил в Пизанский университет на факультет изящных искусств, чтобы изучать медицину. Однако сразу после поступления интерес к медицине угас, сменившись страстью к математике. Поэтому во время летних каникул в 1583 году Галилей уговорил придворного математика Тосканы Остилио Риччи (1540–1603) побеседовать с его отцом и убедить его, что призвание Галилея – математика. И в ближайшем же будущем вопрос удалось уладить – восторженный юноша был совершенно очарован трудами Архимеда: «Тот, кто прочтет его труды, – писал Галилей, – увидит яснее ясного, насколько все остальные умы проигрывают Архимеду и как мало остается надежды открыть что-то подобное тому, что открыл он»[33].
Рис. 16
В то время Галилей и не подозревал, что и сам обладает редчайшим интеллектом, ничем не уступающим уму его греческого наставника. Вдохновленный легендой об Архимеде и золотом венце, Галилей в 1586 году опубликовал небольшой трактат под названием «La Bilancetta» («Маленькое равновесие») о гидростатических весах собственного изобретения. Впоследствии он воздал дань наследию Архимеда и в литературоведческой лекции, которую прочитал во Флорентийской академии; тема лекции была несколько необычной – местоположение и размеры Дантова ада по данным «Божественной комедии».
В 1589 году Галилей был назначен заведующим кафедрой математики в Пизанском университете, отчасти благодаря настойчивым рекомендациям Христофора Клавия (1538–1612), авторитетного римского астронома и математика, которого Галилей посетил в 1587 году. Звезда молодого математика явно находилась на подъеме. Следующие три года Галилей посвятил изложению своих первых идей о теории движения. Эти сочинения, несомненно, вдохновленные трудами Архимеда, содержат поразительную смесь интересных идей и ошибочных утверждений. Например, Галилею первому пришло в голову, что проверять теории относительно падающих тел можно при помощи наклонной плоскости, которая замедляет движение, – однако он ошибочно утверждает, что если сбросить тело с башни, то «древесина в начале движения падает быстрее свинца»[34]
Направление интересов Галилея и общий ход его мыслительного процесса на этом этапе жизни были несколько неправильно истолкованы его первым биографом Винченцо Вивиани (1622–1703). Вивиани нарисовал популярный образ дотошного упорного экспериментатора, который извлекал новые идеи исключительно из внимательного наблюдения над природными явлениями[35]. На самом деле до 1592 года, когда Галилей перебрался в Падую, и направление интересов, и методология у него были чисто математическими. Он полагался в основном на мысленные эксперименты и на архимедово описание мира в терминах геометрических фигур, которые подчиняются математическим законам. В те годы главная претензия к Аристотелю у Галилея сводилась к тому, что Аристотель «не подозревал не только о глубоких и достаточно сложных открытиях геометрии, но и о самых элементарных принципах этой науки»[36]. Также Галилей считал, что Аристотель слишком полагался на чувственный опыт, «поскольку он на первый взгляд дает некоторое подобие истины». Сам же Галилей, напротив, советовал «всегда приводить не примеры, а умозаключения (ибо мы ищем причины следствий, а опыт их не выявляет»).
В 1591 году у Галилея умер отец, и молодой человек, понимая, что теперь он должен содержать семью, принял предложение о работе в Падуе, где ему предложили жалованье втрое больше. Следующие восемнадцать лет были самыми счастливыми в жизни Галилея. Помимо всего прочего, в Падуе он познакомился с Мариной Гамба, с которой у него завязались длительные и прочные отношения; он так и не женился на Марине, однако она родила ему троих детей – Виргинию, Ливию и Винченцо[37]. Четвертого августа 1597 года Галилей написал личное письмо великому немецкому астроному Иоганну Кеплеру с признанием, что он «уже давно» придерживается идей Коперника, и добавил, что гелиоцентрическая модель Коперника дала ему возможность объяснить целый ряд природных явлений, которые геоцентрическая доктрина не объясняла. Однако Галилей сокрушался по поводу того, что Коперника «высмеяли и зашикали» и тот удалился со сцены. Это письмо знаменовало судьбоносный рубеж – отход Галилея от аристотелевой астрономии; с тех пор раскол становился все глубже. Началось формирование современной астрофизики.
Звездный вестник
Вечером 9 октября 1604 года астрономы в Вероне, Риме и Падуе в изумлении обнаружили новую звезду, которая вскоре засияла так ярко, что затмила все остальные звезды в небе. Метеоролог Ян Бруновский, имперский чиновник из Праги, также видел ее 10 октября и в сильнейшем волнении тут же сообщил о ней Кеплеру. Из-за пасмурной погоды Кеплер смог пронаблюдать звезду только 17 октября, однако, начав наблюдения, тщательно записывал все, что видел, примерно в течение года, а затем, в 1606 году, выпустил книгу о «новой звезде». Сегодня мы знаем, что небесный спектакль, разыгравшийся в 1604 году, знаменовал вовсе не рождение новой звезды, а гибель старой в результате взрыва. Это событие, которое сейчас называется «сверхновой Кеплера», вызвало в Падуе настоящую сенсацию. Галилею удалось пронаблюдать новую звезду своими глазами в конце октября 1604 года, а в декабре и январе он прочитал три публичные лекции, на которые пришло очень много слушателей. Галилей призывал ставить знания выше суеверий и продемонстрировал, что отсутствие наблюдаемого сдвига (параллакса) в положении новой звезды (на фоне неподвижных звезд) доказывало, что новая звезда находилась дальше Луны. Значение этого наблюдения трудно преувеличить. В мире Аристотеля любые изменения в небесах были ограничены ближней стороной Луны, а сфера неподвижных звезд, расположенная гораздо дальше, считалась незыблемой и неизменной.
Впрочем, незыблемость этой неизменной сферы была нарушена еще в 1572 году, когда датский астроном Тихо Браге (1546–1601) пронаблюдал еще один звездный взрыв – теперь это называется «сверхновая Тихо».
Событие 1604 года вбило очередной гвоздь в крышку гроба аристотелевой космологии. Однако подлинный прорыв в понимании Вселенной опирался не на область теоретических умозаключений и не на наблюдения, сделанные невооруженным глазом. Скорее это был результат простых экспериментов с выпуклыми и вогнутыми стеклянными линзами: если правильно подобрать две линзы и держать их на расстоянии около 33 сантиметров друг от друга, далекие предметы покажутся гораздо ближе. К 1608 году подобные подзорные трубы появились по всей Европе, и на соответствующий патент претендовали одновременно один голландский и два фламандских изготовителя очков. Слухи о чудесном инструменте достигли ушей венецианского богослова Паоло Сарпи, который рассказал о нем Галилею примерно в мае 1609 года. Сарпи не терпелось удостовериться, что слухи не пустые, и он навел справки о подзорной трубе в письме своему другу, парижанину Жаку Бадоверу. Галилей, по своим собственным словам, «страстно мечтал об этой прелестной вещице». Впоследствии он описал эти события в трактате «Звездный вестник», который вышел в марте 1610 года[38].
Месяцев десять тому назад до наших ушей дошел слух, что некоторый нидерландец приготовил подзорную трубу, при помощи которой зримые предметы, хотя бы удаленные на большое расстояние от глаз наблюдателя, были отчетливо видны как бы вблизи; об его удивительном действии рассказывали некоторые сведущие; им одни верили, другие же их отвергали. Через несколько дней после этого я получил письменное подтверждение от благородного француза Якова Бальдовера из Парижа; это было поводом, что я целиком отдался исследованию причин, а также придумыванию средств, которые позволили бы мне стать изобретателем подобного прибора; немного погодя, углубившись в теорию преломления, я этого добился. (Здесь и далее пер. И. Веселовского.)
Здесь Галилей применяет совершенно такой же творчески-практический метод умозаключений, что и Архимед: как только он узнал, что телескоп в принципе можно построить, у него ушло совсем немного времени на то, чтобы взять и создать этот прибор самостоятельно. Более того, в период с августа 1609 по март 1610 года Галилей с его выдающейся изобретательностью сумел превратить телескоп из устройства, которое увеличивает предметы в восемь раз, в прибор, который сокращает видимое расстояние до них в двадцать раз. Это само по себе значительное техническое достижение, однако величие Галилея должно было проявиться не в практическом «ноу-хау», а в том, как именно он стал применять свою увеличительную трубу (которую он назвал «perspicillum»). Галилей не стал ни высматривать далекие корабли из венецианской гавани, ни разглядывать падуанские крыши, а нацелил телескоп в небеса. Последующие события не имели прецедента в истории науки. Как пишет историк Ноэл Свердлов[39]: «За два месяца – декабрь и январь [1609 и 1610 года соответственно] он совершил столько открытий, перевернувших мир, что ни до него, ни после такое никому не удавалось». В честь четырехсотлетней годовщины первых наблюдений Галилея 2009 год был даже назван Международным годом астрономии.
Чем же Галилей заслужил славу корифея науки? Вот лишь несколько из его поразительных достижений.
Направив телескоп на Луну и внимательно изучив так называемый терминатор – линию, разделяющую темную и освещенную части лунного диска – Галилей обнаружил, что поверхность этого небесного тела неровная, на ней есть горы, кратеры и обширные равнины[40]. Он смотрел, как на затянутой тьмой стороне диска возникают яркие пятна света и как эти точки расширяются и распространяются – в точности как свет восходящего солнца на вершинах гор. Он даже определил высоту одной горы, исходя из геометрии освещения, и оказалось, что она больше шести километров. Но и это не все. Галилей увидел, что темная часть Луны (в первой и четвертой четверти) тоже слабо освещена – и сделал вывод, что все дело в отраженном свете с Земли. Галилей утверждал, что не только Земля освещается полной Луной, но и лунная поверхность залита отраженным светом с Земли.
Многие из этих открытий не стали полной неожиданностью, однако данные Галилея были так убедительны, что вывели научные диспуты на абсолютно новый уровень. До Галилея земное и небесное, мирское и божественное были четко разделены. Разница была отнюдь не только научной и философской. На мнимой непохожести Земли и небес был построен мощный корпус мифологии, религии, романтической поэзии и эстетических принципов. А теперь Галилей утверждал нечто совершенно немыслимое. В пику аристотелевой доктрине Галилей рассматривал Землю и небесное тело – Луну – на одинаковых основаниях: у обеих, оказывается, плотная неровная поверхность и обе отражают солнечный свет.
Галилей двинулся и дальше Луны и начал наблюдать планеты – это название дали «странницам» ночного неба древние греки. Седьмого января 1610 года Галилей направил телескоп на Юпитер и с удивлением обнаружил три новые звезды, которые пересекали диск планеты по прямой линии – две с запада на восток, одна с востока на запад. В последующие ночи положение этих звезд относительно Юпитера изменилось. Тринадцатого января Галилей заметил четвертую такую звезду. Не прошло и недели после этого открытия, как Галилей пришел к поразительному выводу: четыре новые звезды – это спутники, которые вращаются вокруг Юпитера по орбитам, совсем как Луна вокруг Земли.