— Я хочу провести прямую линию, параллельную оси у, — начинает девушка. Шонфельд сидит рядом с ней. Рене взволнованно смотрит на него. — Я уже пять лет всем этим не занималась.
Она принимается экспериментировать, вводя различные числа.
— Если я изменю угловой коэффициент вот так… минус один… Мне нужно сделать эту линию прямой.
Линия на экране монитора меняется в зависимости от вводимых чисел.
— Ой, так не получается.
У Рене удивленный вид.
— Что ты хочешь сделать? — спрашивает ее Шонфельд.
— Я хочу провести линию, параллельную оси у. Что мне для этого нужно? Кажется, мне нужно что-то изменить вот здесь (она показывает на рамку, куда вводится число для оси у). Вот что я поняла: если ты ставить вместо единицы двойку, то график резко меняется. Так, если мне нужно подняться выше, нужно менять дальше.
Это и есть «блаженное заблуждение» Рене. Она установила, что чем выше координата на оси у, тем больше поднимается линия. Из чего она делает вывод: вертикальную линию можно нарисовать, введя достаточно большую координату на этой оси.
— Думаю, двенадцати или тринадцати будет достаточно. А может быть, даже пятнадцати.
Она хмурится, пытаясь вместе с Шонфельдом разобраться, что к чему. Задает ему вопросы. Он осторожно подталкивает ее в нужном направлении. Она предпринимает одну попытку за другой, пробует один вариант за другим.
В какой-то момент она вводит 20. Линия немного поднимается.
Она вводит 40. Линия поднимается еще выше.
— Тут есть очевидное соотношение. Но никак не могу сообразить, что к чему… А если я введу восемьдесят? Если при сорока линия поднялась наполовину, тогда при восьмидесяти она должна подняться точно до оси у. Посмотрим, что у нас выйдет.
Она вводит 80. Линия поднимается еще выше, но все еще не вертикальна.
— А-а-а, это бесконечность, да? Линия никогда не будет совпадать с осью.
Рене близко подошла к решению. Но затем вновь возвращается к изначальному заблуждению:
— Так что же мне нужно сделать? Ввести сто? Каждый раз, когда число удваивается, линия приближается к оси наполовину. Но так и не доходит до нее. — Она вводит 100. — Уже ближе. Но все равно не совпадает.
Рене начинает думать вслух. Очевидно, ответ вот-вот будет найден.
— Ага, я так и знала… но… я знала. Больше число, выше линия. Только никак не могу понять, почему…
Она умолкает, глядя на экран монитора.
— Совсем запуталась. Одна десятая расстояния до единицы. Но я не хочу, чтобы…
И тут ее осеняет.
— Ага! Любое число, поделенное на нуль! — Ее лицо светится от радости. — Вертикальная линия есть любое число, поделенное на нуль, а это неопределенное число. О-о-о! Ладно. Теперь все ясно. Угловой коэффициент вертикальной линии нельзя определить. А-а-а! Теперь в этом есть смысл. Никогда этого не забуду!
6За годы своей работы Шонфельд записал на видео многих студентов, пытающихся решить те или иные математические задачи. Но запись с Рене — одна из его любимых, поскольку она идеально иллюстрирует то, что он считает ключом к изучению математики. От начала эксперимента до фразы «А-а-а, теперь в этом есть смысл» прошло двадцать две минуты. Это много. «Это задача для восьмого класса, — говорит Шонфельд. — Но если я посажу на место Рене обычного восьмиклассника, уверен, после нескольких попыток он скажет: „Я не понимаю“, „Объясните мне“».
Однажды Шонфельд спросил у учеников средней школы, как быстро они сдаются, решая какую-либо задачу, если она не выходит с первого раза. Ответы варьировались от тридцати секунд до пяти минут, средняя продолжительность попыток равнялась двум минутам.
Однако Рене не отступалась. Она экспериментировала, снова и снова перебирая разные варианты. Размышляла вслух. Не бросала дело на полпути. Не сдавалась. На каком-то подсознательном уровне она чувствовала, что с ее «теорией» рисования вертикальной линии не все гладко, и не останавливалась до тех пор, пока не уверилась в своей правоте.
Рене не имела врожденных способностей к математике. Абстрактные понятия вроде «угловой коэффициент» и «неопределенный» давались ей с трудом. Именно поэтому Шонфельд считает ее пример наиболее впечатляющим.
«Ею движет желание разобраться, — говорит он. — Она не из тех, кто довольствуется поверхностным „да, вы правы“ и успокаивается. И это очень необычно. — Он отматывает кассету назад и показывает на Рене, с искренним удивлением вглядывающуюся в экран монитора. — Смотрите, как она внимательно изучает график. Многие студенты ограничились бы беглым просмотром. Она же размышляет: „Это не согласуется с моими представлениями. Я не понимаю. Это важно. Я хочу вникнуть“. И когда она наконец находит объяснение, то говорит: „Да, теперь все сходится“».
В Беркли Шонфельд ведет курс по решению задач, в ходе которого он, по его собственному утверждению, старается отучить студентов от математических привычек, усвоенных в школе. «Я выбираю задачу, ответ на которую мне неизвестен, — поясняет он, — и предупреждаю студентов: через две недели вам предстоит показать решение. Ваши привычки мне хорошо знакомы. Первую неделю вы будете валять дурака и приметесь за работу только на второй неделе. Так что хочу вас предупредить. За одну неделю с заданием вам не справиться. Начав с середины отведенного срока, вы не успеете, придете ко мне и скажете: „Это невозможно“. Советую начинать работать сразу же, и к началу второй недели вы увидите, что значительно продвинулись вперед».
Зачастую мы считаем математический талант врожденной способностью. Он либо есть, либо нет. Но для Шонфельда этот талант связан не столько со способностями, сколько с отношением. Математику осваивает тот, кто не боится пробовать. Этому Шонфельд и пытается научить своих студентов. Успех складывается из настойчивости, упорства и готовности на протяжении 22 минут разбираться с задачей, которую большинство людей бросили бы после 30 секунд. Посадите в классе целую группу из одних Рене, дайте им возможность и время самостоятельно изучать математику — и результаты будут ошеломляющими. А представьте страну, где упорство, свойственное Рене, является не исключением, а культурной характеристикой, укоренившейся так же глубоко, как культура чести на плато Камберленд. Жители этой страны наверняка проявляют способности к математике.
7Каждые четыре года международная группа работников образования проводит всесторонние тесты по математике и естественным наукам, в которых принимают участие ученики начальных и средних школ по всему миру. Эти тесты называются TIMMS (Тенденции в международном математическом и естественно-научном образовании), их цель — сравнить академические достижения разных стран.
При сдаче тестов TIMMS ученикам предлагается заполнить анкету, содержащую самые разнообразные вопросы: об их отношении к математике, об уровне образования их родителей, о друзьях и т. д. Эта анкета, включающая 120 пунктов, настолько скучна и подробна, что очень часто 10–20 вопросов остаются без ответа.
Но вот что интересно. Как выясняется, количество ответов в анкетах TIMMS варьируется в зависимости от страны. По большому счету все страны-участницы можно проранжировать по количеству ответов учеников. Если же сравнить результаты тестирования и ранжирования по анкетам, то они почти полностью совпадают. Другими словами, те студенты, которые могут сохранять концентрацию в течение длительного времени и терпеливо отвечать на вопросы нескончаемой анкеты, лучше остальных справляются с решением математических задач.
Этот факт был установлен исследователем из Пенсильванского университета Эрлингом Боу, но сам он признается, что обнаружил это совпадение по чистой случайности. «На меня снизошло какое-то озарение», — говорит он. Из-за необычности этого исследования Боу даже не удалось опубликовать его ни в одном научном журнале. Не забывайте, он не говорит о том, что способность заполнить всю анкету и способность к математике каким-то образом связаны. Он говорит о том, что они совпадают: если сравнить два списка, они оказываются идентичными.
Взгляните на это с другой стороны. Представим, что в некоем городе ежегодно проводятся математические Олимпийские игры, на которые каждая страна посылает команду из тысячи восьмиклассников. По утверждению Боу, мы можем предсказать, какое место займет каждая из стран, не задавая ни единого вопроса по математике. Нужно лишь дать участникам задание, показывающее, насколько усердно они умеют работать. По большому счету можно даже обойтись и без такого задания. Чтобы определить, какие страны покажут лучшие результаты по математике, достаточно определить, в каких культурах приоритет отдается стараниям и усердному труду. Теория Шонфельда об истоках успеха в математике верна не только на уровне индивидов, но и на уровне стран.
Так какие же страны наиболее сильны в математике? Опять-таки, думаю, вы понимаете, к чему я клоню. В 2003 г. в пятерку лидеров по тестам TIMMS среди восьмиклассников входили Сингапур, Корея, Гонконг, Китай (Тайбэй) и Япония. В 1999 г. в пятерку лидеров по тестам для восьмиклассников входили Сингапур, Корея, Гонконг, Китай (Тайбэй) и Япония, а в 1995 г. — Сингапур, Корея, Япония, Гонконг и Бельгия. Сингапур, Корею, Гонконг, Китай и Японию объединяет, вне всяких сомнений, культура, сформированная под влиянием выращивания риса и содержательного труда.[23] В этих странах нищие крестьяне на протяжении сотен лет работали по 3000 часов в год на рисовых полях, подбадривая друг друга словами: «Семья человека, который круглый год встает до зари, бедствовать не будет».[24]
ГЛАВА 9 Сделка Мариты
«ТЕПЕРЬ Я ДРУЖУ ТОЛЬКО С РЕБЯТАМИ ИЗ КIРР»
1В середине 1990-х гг. в Нью-Йорке на четвертом этаже средней школы имени Луи Герига открылась экспериментальная бесплатная школа под названием «академия КIРР». Школа Луи Герига находится в Южном Бронксе. Это один из беднейших районов города. Приземистое серое здание, построенное в 1960-х гг., стоит на улице, застроенной унылыми многоэтажками. Через несколько кварталов отсюда, на другом конце центрального в Бронксе проспекта Гранд-Конкурс, находится стадион «Янки».
KIPP — это средняя общеобразовательная школа. Классы в ней переполнены: в двух пятых учатся по 36 учеников в каждом. Для поступления не требуется сдавать экзамены: учеников отбирают посредством лотереи, участвовать в которой может любой четвероклассник из Бронкса. Одна половина учеников — афроамериканцы, другая — латиноамериканцы. Три четверти детей из неполных семей. Девяносто процентов учащихся получают ланч бесплатно или по сниженной стоимости — другими словами, их родители зарабатывают настолько мало, что их питание оплачивает федеральное правительство.
Создается впечатление, что такая школа в таком районе да еще с такими учениками должна приводить педагогов в отчаяние. Но стоит зайти внутрь, как становится ясно: она не похожа на остальные. Ученики мирно ходят по коридорам, строем, друг за дружкой. Общение в классе происходит по протоколу SSLANT: улыбаться (smile), сидеть (sit up), слушать (listen), задавать вопросы (ask questions), кивать, когда к тебе обращаются (nod), следить взглядом за говорящим (track). Стены увешаны сотнями флажков из колледжей, где учились бывшие воспитанники академии. Желающих поступить сюда всегда больше, чем мест, выделяемых в пятом классе. Не будет преувеличением сказать, что за десять лет своего существования академия KIPP стала одной из самых популярных бесплатных средних школ Нью-Йорка.
Больше всего академия славится своими уроками математики. В Южном Бронксе с программой по этому предмету справляются лишь 16 % учеников. Но в академии KIPP к концу пятого класса многие ученики называют математику своим любимым предметом. В седьмом классе они изучают алгебру на уровне старшей средней школы. К концу восьмого класса уровень их подготовки по математике достигает 80-го процентиля в масштабе всей страны. Иными словами, эта разнородная группа случайно отобранных детей, живущих в бедных квартирках в одном из самых неблагополучных районов города, в семьях, где в подавляющем большинстве случаев никто и никогда не учился в колледже, успевают по математике не хуже, чем восьмиклассники из привилегированных школ в состоятельных американских пригородах.
«Наши дети хорошо читают, — говорит Дэвид Левин, который вместе с коллегой Майклом Файнбергом основал академию в 1994 г. — Письмо им дается чуть тяжелее. Но когда они выходят из школы, их главный козырь — это математика».
Сегодня по всей Америке открыто около 50 школ KIPP, и это не предел. Программа KIPP представляет собой одно из наиболее перспективных образовательных направлений в стране. Однако ее успех объясняется не столько учебной программой, учителями, ресурсами или организационными нововведениями, сколько серьезным отношением к культурному наследию.
2Еще в начале XIX в. группа реформаторов вознамерилась создать в США новую систему государственного образования. В те времена бесплатное среднее образование обеспечивалось беспорядочно разбросанными по всей стране сельскими школами с одним-единственным классом и переполненными городскими учебными заведениями. В сельской местности учеба прекращалась с весны до осени, чтобы дети могли помогать родителям в сезон посева и сбора урожая. В городах расписание во многих школах составлялось с учетом хаотичного графика работы родителей. Реформаторы хотели, чтобы школу посещали все дети, а образование стало всесторонним, другими словами, чтобы все дети научились читать, писать и выполнять основные арифметические действия и могли приносить пользу обществу.
Но как отмечает историк Кеннет Голд, первые реформаторы-педагоги были всерьез обеспокоены тем, чтобы дети не учились слишком много. В 1871 г. уполномоченный по образованию США опубликовал отчет Эдварда Джарвиса на тему «Взаимосвязь образования и помешательства». Изучив 1741 случай помешательства, Джарвис пришел к выводу, что в 205 случаях его причиной стала «перегрузка занятиями». «Образование закладывает фундамент для многих случаев психических заболеваний», — писал Джарвис. Гораций Манн, отец государственного образования в штате Массачусетс, считал, что чрезмерные умственные усилия губительно сказываются на характере и привычках учеников, более того, «чрезмерная стимуляция мозга пагубно отражается на здоровье в целом». В специализированных журналах того времени то и дело высказывались опасения по поводу того, что перегрузки учащихся из-за слишком большого объема домашних заданий ведут к притуплению их естественных способностей. «Постоянное давление давит и тормозит интеллект», — комментировал один журнал.
Как пишет Голд, реформаторы «стремились сократить часы, отведенные на учебу, поскольку длительные перерывы предупреждали нанесение вреда разуму. Как следствие, были отменены субботние уроки, сокращен учебный день и продлены каникулы — все эти преобразования имели место в XIX в. Учителей предупреждали о том, что „к моменту занятий ученики не должны быть истощены ни физически долгой неподвижностью, ни умственно продолжительным напряжением“. Во время отдыха также представлялись возможности для формирования когнитивных и аналитических способностей. В одной из статей журнала Massachusetts Teacher выдвигалась такая идея: „Только освободившись от напряжения, связанного с процессом обучения, мальчики и девочки, а также мужчины и женщины приобретают привычку мыслить и делать собственные выводы вне зависимости от авторитетности других людей и того, чему их учат“».
Идея о сбалансированности работы и отдыха возникла, разумеется, не в XIX в. Как и азиатские представления о труде, уходящие корнями в многовековые привычки, выработанные на рисовых полях, западные представления формировались под влиянием давних сельскохозяйственных традиций. В долине реки Чжуцзян крестьянин высеивал два, а то и три урожая в год. Земля пустовала непродолжительные отрезки времени. Выращивание риса отличалось одной характерной особенностью: благодаря питательным веществам, которые обеспечивались водой для ирригации, чем больше земля возделывалась, тем больше урожая она давала.
В западном сельском хозяйстве действуют иные принципы. Если землю не оставлять под паром каждые несколько лет, она истощается. Зимой поля пустуют. Напряженные периоды весеннего посева и осеннего сбора урожая сменяются летним и зимним отдыхом. Реформаторы приложили ту же схему к культивированию юных умов. Мы формулируем новые идеи по аналогии: продвигаясь от известного к неизвестному. Реформаторы хорошо знали о сезонности сельскохозяйственных работ. И пришли к выводу, что знания необходимо культивировать, но не стоит перегружать разум, иначе он истощится. Как же избежать опасности истощения? Длительные летние каникулы — вот специфическая особенность американской традиции, оказавшей глубокое влияние на современную систему обучения.
3В США в дебатах на тему образования вопрос о летних каникулах поднимается редко. Они считаются неотъемлемой традицией государственного образования наравне со школьным футболом и ежегодным балом. А теперь взгляните на результаты тестов, проводимых в начальной школе. И может быть, ваша вера в пользу длительного летнего отдыха пошатнется.
Приводимые данные взяты из исследования социолога Карла Александра из университета Джонса Хопкинса. Александр отслеживал прогресс 650 первоклассников из Балтимора, сравнивая результаты тестов по математике и чтению, широко известных как Калифорнийский тест достижений.