14. Параллакс Луны
Обозначим угол между направлением в зенит и на Луну, видимую из некоторой точки O земной поверхности, как ζ’ (дзета штрих). Луна непрерывно и равномерно движется вокруг центра Земли, поэтому, анализируя серию повторяющихся наблюдений Луны, можно вычислить направление от центра Земли C к центру Луны M. В частности, можно рассчитать угол ζ между лучом, на котором находится отрезок CM, и лучом из центра Земли C, пересекающим поверхность Земли в точке O, который совпадает с направлением в зенит в этой точке. Углы ζ и ζ’ слегка отличаются, потому что радиус Земли rз, хотя и мал по сравнению с расстоянием между центром Земли и Луной d, но не пренебрежимо мал. Именно из разности этих углов Птолемей смог вывести отношение d/rз.
Рис. 8. Использование параллакса для определения расстояния до Луны. Здесь ζ’ – угол между наблюдаемым положением Луны и вертикалью, а ζ – то значение, которое было бы у этого угла, если можно было наблюдать Луну из центра Земли.
Точки C, O и M образуют треугольник, в котором угол при вершине C равен ζ, угол при вершине O равен 180° – ζ’, а при вершине M, поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, угол будет 180° − ζ – (180° − ζ’) = ζ’ − ζ (см. рис. 8). Отношение d/rз из значений этих углов мы можем получить намного проще, чем это делал Птолемей, воспользовавшись теоремой из современной тригонометрии: в любом треугольнике длина каждой стороны пропорциональна синусу противолежащего угла (о том, что такое синус, расскажем в техническом замечании 15). Угол, противолежащий отрезку CO длиной rз, равен ζ’ − ζ, а угол, противолежащий отрезку CM длиной d, равен 180° − ζ, поэтому
1 октября 135 г. Птолемей определил, что зенитный угол при наблюдении из Александрии составляет ζ’ = 50°55’, и его расчеты показали, что в тот же самый момент при наблюдении из центра Земли угол ζ был бы равен 49°48’. Соответствующие синусы этих углов равны
Зная эти числа, Птолемей смог заключить, что расстояние от центра Земли до Луны в единицах радиуса Земли составляет:
Эта величина существенно меньше, чем настоящее значение, в среднем примерно равное 60. Проблема оказалась в том, что Птолемей неточно определил разность углов ζ’ и ζ, но по крайней мере полученный результат давал верное представление о том, какого порядка величина расстояния до Луны.
Так или иначе, Птолемей рассчитал его более точно, чем Аристарх, который на основании своих расчетов отношения диаметров Земли и Луны, а также расстояния до Луны к ее диаметру смог бы указать предельные значения для d/rз, равные 215/9 = 23,9 и 57/4 = 14,3. Однако если бы Аристарх использовал правильное значение 1/2° для углового диаметра лунного диска вместо неверной величины 2°, то соотношение d/rз у него получилось бы в 4 раза больше, в промежутке от 57,2 до 95,6. Такой промежуток включал бы истинную величину.
15. Синусы и хорды углов
Раздел современной математики, который называется тригонометрией, изучаемый сейчас в школах и высших учебных заведениях, мог бы здорово помочь античным математикам и астрономам. Тригонометрия учит, каким образом, зная любой из углов прямоугольного треугольника, кроме прямого, вычислить соотношения всех его сторон. Например, результат деления длины катета, противолежащего данному углу, на длину гипотенузы является значением функции под названием «синус угла». Это число можно найти в математических таблицах или рассчитать на калькуляторе, если ввести значение угла и нажать кнопку «sin». В том же треугольнике отношение прилежащего к тому же углу катета к гипотенузе называется косинусом угла, а противолежащего катета к прилежащему – его же тангенсом, но нам сейчас достаточно поговорить о синусах. Хотя синус ни разу не упоминается в трудах математиков эпохи эллинизма, в «Альмагесте» Птолемея встречается связанная с ним функция, которая называется хордой угла.
Чтобы дать определение хорде угла θ (тета), нарисуем окружность радиусом 1 (в любых удобных для вас единицах измерения длины) и проведем из ее центра два луча, разделенные углом θ. Хордой угла будет в этом случае называться отрезок, соединяющий точки пересечения этих двух радиусов с окружностью (см. рис. 9). В «Алмагесте» приводится таблица хорд[30] в вавилонской шестидесятеричной системе счисления, в которой углы выражены в градусах, в промежутке от 1/2° до 180°. Например, для угла 45° в таблице дано значение хорды 45 55 19, что можно перевести в привычный нам вид таким образом:
В то же время истинное значение равняется 0,7653669…
Хорды естественным образом применяются в астрономии. Если мы представим себе, что звезды расположены на сфере единичного радиуса, центр которой совпадает с центром Земли, то, если две звезды разделены угловым расстоянием θ, воображаемый отрезок, соединяющий эти две звезды на сфере по прямой, будет иметь длину хорды угла θ.
Рис. 9. Хорда угла θ. Начерченная здесь окружность имеет радиус, равный 1. Два изображенных сплошной линией радиуса образуют угол θ. Горизонтальный отрезок проведен между точками пересечения радиусов с окружностью. Его длина равна хорде этого угла.
Чтобы понять, какое отношение хорды имеют к тригонометрии, вернемся к геометрическому определению хорды угла θ и проведем перпендикуляр (штриховая линия на рис. 9) к хорде из центра окружности, который делит хорду точно пополам. Мы получим два прямоугольных треугольника, у каждого из которых угол, прилегающий к центру окружности, равен θ/2, а противолежащий ему катет в два раза короче хорды. Гипотенузы обоих треугольников равны радиусу окружности, который мы принимаем равным 1, поэтому синус угла θ/2 – в математической записи sin θ/2 – есть половина хорды угла θ, или:
chordθ = 2 sin(θ/2).Поэтому любое вычисление с использованием синусов можно выполнить и при помощи хорд, хотя и с несколько меньшим удобством.
16. Горизонт
Как правило, посмотреть вдаль нам мешают стоящие недалеко от нас деревья, дома или другие предметы. Стоя на вершине холма в ясный день, мы можем видеть намного дальше, но пределом видимости все равно будет линия горизонта, предметы позади которой мы не видим, потому что их от нас закрывает сама Земля. Арабский астроном аль-Бируни описал хитроумный метод, как, используя это хорошо знакомое всем явление, вычислить радиус Земли, измерив лишь одну линейную величину – высоту горы.
Пусть наблюдатель в точке O вершины горы может видеть самую дальнюю точку H на поверхности Земли, в которой луч его зрения касается земного шара (см. рис. 10).
Этот луч зрения расположен под прямым углом к радиусу, соединяющему точку H с центром Земли C, поэтому треугольник OCH является прямоугольным. Луч зрения пролегает ниже горизонтальной плоскости на некоторый угол θ, который мал за счет того, что Земля большая и линия горизонта находится далеко от наблюдателя. Угол между тем же лучом зрения и вертикальным направлением вниз в точке расположения наблюдателя равен 90° – θ, а значит, поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, острый угол треугольника, прилежащий к центру Земли, равняется 180° − 90° − (90° − θ) = θ. Прилежащий ему катет CH имеет длину, равную радиусу Земли r, а длина гипотенузы треугольника CO есть сумма радиуса Земли r и высоты горы h. По определению, косинус угла прямоугольного треугольника есть отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы, поэтому здесь
Рис. 10. Примененный аль-Бируни метод определения радиуса Земли путем измерения горизонта. O – наблюдатель на вершине возвышенности высотой h. H – линия горизонта с его точки зрения. Отрезок OH является касательной к поверхности Земли в точке h и, значит, образует прямой угол с радиусом, проведенным из центра Земли C в точку H.
Чтобы вывести из этого уравнения r, обратим внимание, что, если перевернуть обе части, получается равенство 1 + h/r = 1/cos θ. Если теперь вычесть из левой и правой части единицу и снова их перевернуть, то мы получим:
Чтобы вывести из этого уравнения r, обратим внимание, что, если перевернуть обе части, получается равенство 1 + h/r = 1/cos θ. Если теперь вычесть из левой и правой части единицу и снова их перевернуть, то мы получим:
К примеру, наблюдая горизонт на горе в Индии, аль-Бируни нашел, что θ = 34’. Косинус этого угла cos θ = 0,999951092, а 1/cos θ – 1 = 0,0000489. Значит,
Согласно аль-Бируни, высота этой горы составляла 652,055 локтя (это число дано с точностью, намного превышающей доступную ему точность измерений), что дает результат r = 13,3 млн локтей, хотя он сам приводит число 12,8 млн локтей. В чем именно аль-Бируни ошибся, мне неизвестно.
17. Геометрическое доказательство теоремы о средней скорости
Построим график изменения скорости в зависимости от времени для движения с постоянным ускорением, отложив скорость вдоль вертикальной оси, а время – вдоль горизонтальной. График будет представлять собой прямую линию от нуля до конечной скорости в конечный момент времени. В каждый достаточно малый отрезок времени пройденное расстояние равняется произведению скорости, которое имело тело в этот момент (примем, что изменение скорости пренебрежимо мало в этот промежуток времени, если он сам мал), на длину временно́го отрезка.
Таким образом, пройденное расстояние равно площади узкого прямоугольника, высота которого равна высоте графика скорости в этот момент времени, а ширина отмечает достаточно малый отрезок времени (см. рис. 11а). Такими прямоугольниками можно заполнить всю область под графиком от начального до конечного момента времени, и полное пройденное расстояние в этом случае будет равняться сумме их площадей, то есть площади области под графиком (см. рис. 11б).
Конечно, какими бы узкими мы ни делали эти прямоугольники, можно лишь приближенно говорить, что площадь области под графиком равна сумме их площадей. Но если мы будем делать их все более и более узкими, мы будем получать все более и более близкий к истинному результат. Представляя себе бесконечное количество бесконечно тонких прямоугольников разбиения, мы можем заключить, что пройденное телом расстояние численно равно площади, заключенной под графиком.
Рис. 11. Геометрическое доказательство теоремы о средней скорости. Наклонная линия – это график скорости в зависимости от времени для равномерно ускоряющегося тела, первоначально находившегося в состоянии покоя: а) ширина узкого прямоугольника соответствует малому отрезку времени. Его площадь примерно равна расстоянию, пройденному за этот промежуток времени; б) весь период времени равноускоренного движения разбивается на малые промежутки. По мере увеличения количества промежутков сумма площадей построенных на них прямоугольников все точнее приближается к площади области под наклонным графиком; в) площадь под наклонным графиком скорости равна половине произведения конечной скорости на полное время ускоренного движения.
Суть рассуждения не изменится и в том случае, если ускорение не будет постоянным и график скорости не будет прямолинейным. Оказывается, мы только что вывели основополагающий принцип интегрального исчисления: если взять график изменения во времени некоторой величины, то ее суммарное изменение в пределах какого-то промежутка времени будет равно площади, заключенной под графиком этой кривой, в пределах того же промежутка. Но в случае равномерного изменения величины, как для нашего постоянного ускорения, эту площадь можно найти простейшим геометрическим расчетом по следующей теореме: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов, то есть двух его сторон, не являющихся гипотенузой. Это очевидно из того факта, что, сложив два одинаковых прямоугольных треугольника вместе, мы получим прямоугольник, площадь которого равна произведению длин двух его сторон (см. рис. 11в). В нашем случае катетами являются конечная скорость и полное время ускоренного движения. Пройденное расстояние равно площади прямоугольного треугольника таких размеров, то есть половине произведения конечной скорости на полное время. Но, поскольку скорость возрастает от нуля в постоянном темпе, ее среднее значение равно половине его конечного значения, поэтому пройденное телом расстояние равно произведению средней скорости на полное время. Это и есть теорема о средней скорости.
18. Эллипсы
Эллипсом называется определенный вид замкнутой кривой на плоскости. Есть как минимум три различных способа дать определения этой кривой.
Определение первое
Эллипс – это множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:
Рис. 12. Элементы эллипса. Две точки, обозначенные внутри эллипса, называются его фокусами; a и b – большая и малая полуоси эллипса; расстояние от любого из фокусов до его центра равно ea. Сумма длин отрезков r+ и r−, соединяющих оба фокуса с произвольной точкой P на линии эллипса, постоянна и равна 2a. У изображенного здесь эллипса эксцентриситет e ≈ 0,8.
где x – расстояние от центра эллипса до любой точки на его линии вдоль одной оси координат, а y – расстояние до той же самой точки вдоль оси, перпендикулярной первой. a и b – положительные коэффициенты, характеризующие размер и форму эллипса, которые принято выбирать так, что a ≥ b. Для ясности можно считать, что x – горизонтальная, а y – вертикальная ось координат, хотя, разумеется, они могут быть расположены вдоль любых двух взаимно перпендикулярных направлений. Из уравнения (1) следует, что расстояние r = √(x² + y²) до любой точки на линии эллипса от его центра, расположенного в координатах x = 0, y = 0, удовлетворяет условиям
поэтому для любой точки эллипса справедливо:
b ≤ r ≤ a. (2)Обратим внимание, что в точках пересечения горизонтальной оси y = 0, поэтому x² = a², и, значит, x = ±a. Таким образом, уравнение (1) описывает эллипс, наиболее длинный диаметр которого простирается от −a до +a в горизонтальном направлении. Также в точках, где эллипс пересекает вертикальную ось, выполняется x = 0, поэтому y² = b², и, значит, y = ±b, а, следовательно, уравнение (1) описывает эллипс, наиболее короткий диаметр расположен вертикально от −b до +b (см. рис. 12). Параметр a называется большой полуосью эллипса. Принято выражать другой параметр эллипса, его эксцентриситет, как
В общем случае эксцентриситет находится в пределах от 0 до 1. Эллипс с эксцентриситетом e = 0 есть окружность с радиусом a = b. Эллипс с эксцентриситетом e = 1 сплюснут настолько, что является просто отрезком горизонтальной оси с вертикальной координатой y = 0.
Определение второе
Другое классическое определение эллипса таково, что это множество точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) постоянна. Для эллипса, описываемого уравнением (1), эти две точки расположены в координатах х = ±ea, y = 0, где e – эксцентриситет, определяемый тождеством (3). Пара расстояний от этих двух точек до произвольной точки на линии эллипса, координаты x и y которой удовлетворяют уравнению (1), выражается таким образом:
Так что их сумма действительно является постоянной величиной:
Это можно рассматривать как обобщение классического определения окружности как множества точек, отстоящих на постоянное расстояние от фиксированной точки.
Поскольку оба фокуса эллипса полностью симметричны, средние расстояния r+ и r− до точек на эллипсе (при равном весе усреднения для любого сегмента заданной длины, взятого на линии эллипса) от двух фокусов должны быть равны: r+ = r−, и значит, из равенства (5) получаем: