Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс - Андрей Павлов 7 стр.

48. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. (2)

49. В трапецию ABCD с основаниями AD и ВС и с боковыми сторонами АВ и CD вписана окружность с центром О. Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, ОС = 2 и OD = 4. (3)

1.5. Задачи на параллелограмм

Площадь параллелограмма со сторонами а, b и углом ? между ними вычисляется по формуле S = absin ?. Можно также воспользоваться формулой S = 1/2 d1d2 sin? где d1, d2 – длины диагоналей, ? – угол между ними (или S = aha, где ha – высота). Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб. Если около параллелограмма можно описать окружность, то это прямоугольник.

50. В параллелограмме сумма двух противолежащих углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из углов параллелограмма (рис. 151). (1)

Рис. 151.

Решение. По условию задачи ?А + ?С = 132°. Но, так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ?А = ?С = 132°/2 = 66°. Учтём также, что ?А + ?В = ?С + ?D = 180°. Имеем:?В = ?D = 180° – 66° = 114°.

Ответ: 66°, 114°, 66°, 114°.

51. Одна из диагоналей параллелограмма разбивает его на два равносторонних треугольника со стороной а. Найдите длину другой диагонали (рис. 152). (1)

Рис. 152.

Решение. Раз ?ABD и ?BCD – равносторонние, то углы ?BAD = ?BCD = 60°, тогда ?ABC = 120°.

По теореме косинусов из треугольника ABC получаем:

Ответ:

52. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали 3 и 5, а острый угол параллелограмма 60° (рис. 153). (2)

Рис. 153.

Решение. Обозначим стороны параллелограмма: AD = а, АВ = b, ?BAD = 60°. BD = 3; АС = 5. Очевидно, что ?ABC = 120°. По теореме косинусов из треугольников ABD и АСВ имеем:

Вычитая первое уравнение из второго, получим 2ab = 16. Тогда площадь будет равна:

Ответ:

53. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найдите длины сторон параллелограмма. (1)

54. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD, перпендикулярной стороне АВ, равна 6. Длина диагонали АС равна 2?22. Найдите длину стороны AD. (1)

55. Параллелограмм ABCD, у которого АВ = 153, AD = 180, BE = 135 (BE – высота), разделен на три одинаковые по площади фигуры прямыми, перпендикулярными AD. На каком расстоянии от точки А находятся точки пересечения этих перпендикуляров с AD? (2)

1.6. Задачи на ромб

Для ромба характерны все формулы для параллелограмма, только а = b.

56. Тупой угол ромба в 5 раз больше его острого угла. Во сколько раз сторона ромба больше радиуса вписанной в него окружности (рис. 154)? (1)

Рис. 154.

Решение. Пусть сторона ромба равна а. В ромбе, как и во всяком параллелограмме, сумма внутренних односторонних углов BAD (обозначим этот угол ?А) и ABC (обозначим его ?В) равна 180°. Получаем систему уравнений:

Радиус r вписанной окружности, как видно из рисунка, равен половине высоты ВН ромба (2r = MN = ВН). Но из ?АВН следует, что

Ответ: в 4 раза.

57. Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей равна 15. Найдите площадь ромба (рис. 155). (2)

Рис. 155.

Решение. Для нахождения площади ромба нам нужно знать длину стороны ромба и хотя бы один из его углов. Пусть АВ = а; ?А = ?. Проведём высоту ВН. Из ?АВН находим, что ВН = AB ? sin ?; 12 = asin ?. Из ?ABD по теореме косинусов BD2= АВ2+ AD2– 2AB ? AD ? cos ?; 152= а2 + а2– 2 ? a ? acos ?; 225 = 2а2(1 – cos ?). Получаем систему уравнений:

Делим первое уравнение на второе:

Ответ: 150.

58. Диагональ ромба равна его стороне, ее длина 10 см. Найдите вторую диагональ и углы ромба. (1)

59. В ромб, сторона которого 20 см, вписан круг. Найти площадь круга, если одна диагональ ромба больше другой в 4/3 раза. (2)

60. В ромб с острым углом 30° вписан круг, площадь которого равна Q. Найдите площадь ромба. (2)

1.7. Задачи на прямоугольник

Для прямоугольника справедливы все формулы для параллелограмма, только угол между сторонами равен 90°. Поэтому S = ab = 1/2d2d2 sin?.

61. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника (рис. 156). (1)

Рис. 156.

Решение. Очевидно, что центр описанной около прямоугольника окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника. Из рисунка видно, что ОВ = 5, BE = BC/2 = 8/2 = 4.

Тогда по теореме Пифагора находим:

Ответ: 6 см; 8 см; 6 см.

62. Стороны прямоугольника 5 и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на 3 части. Найдите длины этих частей (рис. 157). (2)

Рис. 157.

Решение. Проведем в прямоугольнике ABCD биссектрисы AM и DK (см. рис. 157). Получим:?ВАМ = 1/2 ?BAD = 1/2 ?90° = 45°. Отсюда следует, что ?АВМ – равнобедренный (?ВMA = 45°) и, значит, ВМ = АВ = 4. МС = ВС – ВМ = 5–4 = 1.

Очевидно, что ВК = МС = 1;

КМ = ВС – ВК – МС = 5–1 – 1 = 3.

Ответ: 1; 3; 1.

63. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг, найти прямоугольник наибольшей площади (рис. 158). (3)

Рис. 158.

Решение. Обозначив ?АОВ =?, получим: АВ = R sin ?, АО = R cos ?, S = AB ? AD = AB ? 2AO = 2R2sin ? ? cos ?, 0° < ? < 90°.

Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и будем иметь:

S = R2sin2?. Так как sin2? ? 1, то S максимальна при условии sin2? = 1, т. е. когда 2? = 90°, ? = 45°. При этом S = R2. Стороны прямоугольника при этом будут равны

Ответ:

64. Диагональ прямоугольника делит угол в отношении 2:1. Найдите отношение сторон прямоугольника. (1)

65. Площадь прямоугольника равна 9?3 см2, а величина одного из углов, образованного диагоналями, равна 120°. Найдите стороны прямоугольника. (2)

66. Площадь прямоугольника ABCD равна 48, а длина диагонали равна 10. На плоскости, в которой расположен прямоугольник, выбрана точка О так, что OB = OD = 13. Найти расстояние от точки О до наиболее удаленной от нее вершины прямоугольника. (3)

1.8. Задачи на квадрат

Если а – сторона квадрата, d – его диагональ, то S = a2= d2/2.

67. Радиус окружности, в которую вписали квадрат, равен 6. Найдите площадь квадрата (рис. 159). (1)

Рис. 159.

Решение. Очевидно, что центр описанной около квадрата окружности есть точка пересечения его диагоналей. Это означает, что ОВ – радиус окружности и ОВ = 6. Тогда АВ = 12 и по теореме Пифагора AC2+ ВС2= AB2. Обозначив длину стороны квадрата через а, получим: а2+ а2= 122; 2 ? а2= 144; а2 = 72. Sквадрата = a2= 72.

Ответ: 72.

68. Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сегмент, площадь которого (2? – 4) см2. Найдите периметр квадрата (рис. 160). (2)

Рис. 160.

Решение. Площадь заштрихованного сегмента, как видно из рисунка, можно вычислить по формуле:

где а – длина стороны квадрата, R – радиус описанной окружности. Выразим R через а.

Таким образом,

С учётом условия получаем уравнение:

Рквадрата = 4a = 4 ? 4 = 16 см.

Ответ: 16 см.

69. В плоскости дан квадрат с последовательно расположенными вершинами А, В, С, D и точка О. Известно, что OB = OD = 13, ОС = 5?2 и что площадь квадрата больше 225. Найти длину стороны квадрата и выяснить, где расположена точка О – вне или внутри квадрата (рис. 161). (3)

Рис. 161.

Решение. Так как OB = OD, то точка О лежит на перпендикуляре к середине отрезка BD, т. е. на прямой АС. Обозначим через К точку пересечения диагоналей квадрата. Из условия следует, что ОВ > ОС; значит, точка О лежит по одну сторону с точкой С относительно перпендикуляра к середине отрезка ВС. Отсюда следует, что точка О лежит на луче КС.

Обозначим КО через х и АВ = CD через y. Так как

и

Применяя к прямоугольному треугольнику KOD теорему Пифагора, получаем: OD2= КО2+ KD2или 169 = х2+ 1/2 у2.

Предположим, что КО ? КС или

тогда х2 ? 1/2 у2(заметим, что числа x и y неотрицательны) и

т. е. площадь квадрата не превосходит 169, что противоречит условию. Следовательно,

т. е. КО < КС, и точка О лежит внутри квадрата. Теперь получаем

Из первого уравнения

Подставляя

вместо х во второе уравнение, после арифметических преобразований получаем уравнение у2– 10у – 119 = 0. Это квадратное уравнение имеет корни у1 = -7 и у2 = 17. Так как у есть длина отрезка, то у > 0 и, значит, y = 17.

Ответ: длина стороны квадрата равна 17; точка О лежит внутри квадрата.

Ответ: длина стороны квадрата равна 17; точка О лежит внутри квадрата.

70. Сторона квадрата равна 7 см. Определите диаметр окружности, описанной около квадрата. (1)

71. В квадрат вписан круг, а в полученный круг вписан квадрат. Найдите отношение площадей квадратов. (1)

72. Квадрат со стороной 3 см срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Найдите сторону восьмиугольника. (2)

73. Дан квадрат ABCD. На его сторонах вовне построены равносторонние треугольники ABM, BCN, CDK, DAL. Найдите площадь четырёхугольника MNKL, если АВ = 1. (2)

1.9. Задачи на n-угольник (n > 3)

Для произвольного выпуклого четырёхугольника S = 1/2 d1d2 sin?. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, a S = рr, где р – полупериметр, r – радиус вписанной окружности.

Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны по 180°.

Для правильного n-угольника:

(R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, а – длина стороны правильного n-угольника).

Полезно также помнить, что в правильном шестиугольнике a6 = R.

74. Сторона правильного шестиугольника равна 6. Найдите длину вписанной в него окружности (рис. 162). (1)

Рис. 162.

Решение. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Значит, треугольник АВО – правильный, угол АВО составляет 60°, a OB = R = 6. Радиусы вписанной в правильный шестиугольник окружности перпендикулярны его сторонам. В частности на рис. показано, что r ? АВ, где r = ОР. Тогда из прямоугольного треугольника ОРВ имеем:

Ответ:

75. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°? (2)

Решение. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°, сумма внутренних углов равна 180°(n – 2). Величина угла в правильном n-угольнике равна

Получаем уравнение:

180°(n – 2) = 108°n;

72°n = 360°; n = 5.

Ответ: 5.

76. Сторона правильного шестиугольника равна 14. Найдите сторону равновеликого ему правильного треугольника. (1)

77. В правильный треугольник вписана окружность, а в неё – правильный шестиугольник. Найдите отношение площадей треугольника и шестиугольника. (2)

78. Выпуклый четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке О, при этом АО = ОС = 1, ВО = OD = 2. Найти периметр четырёхугольника ABCD. (3)

1.10. Задачи на окружность и круг

При решении задач на окружность и круг применяются следующие формулы:

если ? выражена в радианах. Sсегмента = Sсектора – Sтреугольника.

Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

79. Даны две концентрические окружности. Длина одной из них равна 33?, другой 27?. Найдите ширину кольца (рис. 163). (1)

Рис. 163.

Решение. Очевидно, что ширина кольца hкольца = R – r (см. рис). Зная длины окружностей, найдём их радиусы.

Ответ: 3.

80. Найдите площадь сектора круга с радиусом R = 4 и центральным углом в 30°. (1)

Решение. Площадь сектора с углом в 30° в 36°/3° = 12 раз меньше площади всего круга. Значит, площадь сектора

Ответ: 4/3?.

81. Две окружности с радиусами R = 3 и r = 1 касаются внешним образом. Найдите расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных (рис. 164, а; б). (2)

Рис. 164.

Решение. Из рисунка видно, что четырёхугольник АВ02О1 – трапеция. В самом деле, радиусы О1А и О2В перпендикулярны общей касательной АВ, а значит, параллельны друг другу. Проведём среднюю линию EF трапеции АВO2О1. По свойству средней линии трапеции находим

Легко видеть, что КМ – средняя линия трапеции EВО2F(см. рис. 164, б).

Ответ: 3/2.

82. В сектор с центральным углом в 60° вписан круг. При каком радиусе сектора площадь круга равна ? (рис. 165)? (2)

Рис. 165.

Решение. Пусть АО = ОВ = ОС = х (см. рис). D – центр вписанного в сектор круга. Тогда ОС – биссектриса ?АОВ и ?СОВ = 1/2 ?АОВ = 1/2 ? 60° = 30°. Из прямоугольного треугольника ODK:

Ответ: 3.

83. Диаметр окружности радиуса R является основанием правильного треугольника. Вычислите площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга (рис. 166). (2)

Рис. 166.

Решение. Как видно из рисунка, треугольники ADO и ОЕС – равносторонние (например, у ?ADO ?А = 60°; АО = OD, значит, ?ADO = 60°).

Искомая площадь:

Ответ:

84. На плоскости даны две окружности с радиусами 12 см и 7 см и центрами в точках О1 и О2 касающиеся некоторой прямой в точках М1 и М2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка М1М2 к длине отрезка О1O2 равно

Вычислить длину отрезка М1М2 (рис. 167). (3)

Рис. 167.

Решение. Пусть S1 и S2 – две окружности, удовлетворяющие условию задачи. Поскольку точки М1 и М2 являются точками касания окружностей S1 и S2 с прямой М1М2, то О1М1 ? М1М2 и O2М2 ? М1М2. Соединим центры О1 и O2 этих окружностей и проведём через точку О1 прямую, параллельную прямой М1М2. Пусть точка К будет точкой пересечения прямых O2М2 и прямой, проведённой параллельно прямой М1М2 через точку О1. Получим прямоугольный треугольник O1O2K с гипотенузой O1O2. Применяя к прямоугольному треугольнику О1КO2 теорему Пифагора, имеем:

О1О22= O1K2+ KO22(1)

Поскольку

то

Поскольку КМ2 = О1М1 и КO2 = КМ2 – М2O2, то КO2 = 5 см. Наконец,

Теперь из равенства (1) с учётом (2) и (3), а также КO2 = 5 см, следует, что 5/4 М1М22= М1М22+ 25, откуда

Ответ: 10 см.

85. Дуги А1В1 и А2В2 равной длины 1 принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам. (1)

86. Точка лежит вне круга на расстоянии диаметра от центра круга. Найдите угол между касательными, проведенными из данной точки к данному кругу. (1)

87. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найдите радиус окружностей. (2)

88. В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 10 см, а основание 6 см, вписана окружность. Определите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах треугольника. (2)

89. Дано круговое кольцо, площадь которого Q. Определите длину хорды большего круга, касательной к меньшему. (2)

90. Круг радиуса

разделен на два сегмента хордой, равной стороне вписанного в этот круг правильного треугольника. Определите площадь меньшего из этих сегментов. (2)

91. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими вписанного в окружность угла равна ?/6. Найти отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга. (3)

§ 2. Основные идеи и методы решения планиметрических задач

Если в предыдущем параграфе мы рассматривали задачи, в которых центральное место принадлежит формулам планиметрии и тригонометрии, то теперь перейдем к задачам, где главную роль будут играть не формулы, а теоремы о свойствах и признаках геометрических фигур. Задачи в параграфе разбиты уже не по объекту исследования (треугольник, трапеция, круг и т. д.), а по ведущей идее решения.

2.1. Задачи на вписанную в треугольник окружность

Если в условии задачи говорится об описанной около треугольника окружности, то в большинстве случаев строить её не нужно. И наоборот, когда речь идёт о вписанной в треугольник окружности. Здесь не только нужно строить саму окружность, но и проводить радиусы к точкам касания (перпендикуляры к сторонам), а также соединять центр окружности с вершинами треугольника. При этом образуются равные треугольники.

92. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника (рис. 168). (1)

Рис. 168.

Решение. Впишем в треугольник ABC окружность и соединим её центр О с вершинами В, С. Проведём также перпендикуляры ОК, ON, ОМ (см. рис.). Они являются радиусами вписанной в треугольник окружности. Из равенства треугольников ВМО и BNO следует, что ВМ = BN = 5. Аналогично, из равенства треугольников ОКС и ONC следует, что КС = NC = 12. Заметим также, что AMOK– квадрат и, значит, AM = АК = r. Получаем, что АВ = АМ + МВ = r + 5, АС = АК + КС = r + 12. По теореме Пифагора получаем: АВ2+ АС2= ВС2.