Рассмотрите теперь наши фигуры.
В первой в четырех углах квадрата сходится по 3 линии; здесь 4 точки с нечетным числом сходящихся линий, значит, фигуру эту начертить нельзя.
Во второй фигуре во всех точках пересечения сходится четное число линий; значит, эту фигуру можно начертить одним росчерком.
В третьей опять имеем 4 точки, где сходится нечетное число линий (5); понятно, что такую фигуру начертить одним росчерком нельзя.
Зная это, вы уже не станете бесполезно тратить время на отыскание способа вычерчивать одним росчерком такие фигуры, которые начертить невозможно. Внимательно вглядевшись в фигуру, вы заранее скажете, какую можно начертить и какую нельзя.
Если вы хорошо поняли сказанное, то решите, нельзя или можно начертить одним росчерком те три фигуры, которые здесь показаны.
50. Путешествие по островам
Здесь вы видите карту морского залива. Четыре островка соединены между собою и с берегами мостами. Вам дается задание: побывать на берегу и на всех островах, пройдя непременно через все мосты и притом только по одному разу.
Кто сообразит, какая связь между этой задачей и предыдущей, тот легко догадается, разрешима ли она.
Итак, укажите правильный маршрут, если вы думаете, что он существует. Откуда вы советуете начать путешествие?
51. Три острова
На озере три острова, которые отмечены на чертеже цифрами 1, 2 и 3. А на берегу расположено три рыбачьих поселка: I, II и III. Лодка отплывает из поселка I, посещает острова 1 и 2 и пристает к поселку II. Одновременно из поселка III отплывает другая лодка, пристающая к острову 3. Пути обеих лодок не пересекаются. Можете ли вы начертить эти пути?
52. Что шире и что выше?
Какая из этих двух фигур шире и какая выше?
Дайте ответ, не измеряя фигуру бумажкой, а прямо на глаз (как говорится, «по глазомеру»).
53. Три толстяка
Рассмотрите рисунок и сравните на глаз длину трех человеческих фигур. Попробуйте сказать, насколько фигура человека, идущего впереди всех, разнится от фигуры идущего сзади.
Когда вы это сделаете, возьмите полоску бумаги и смерьте толстяков. Вы будете поражены: вы ожидали, что длиннее всех задняя фигура, между тем она-то и оказывается самой короткой. Перед вами один из обманов зрения.
54. На какой ноге?
На какой ноге стоит футболист — на правой или на левой?
По-видимому, он стоит на правой ноге; но с такой же уверенностью можно утверждать, что он стоит на левой ноге. Сколько ни всматривайтесь в рисунок, вы этого вопроса не решите. Художник так искусно замел следы, что вам ни за что не установить, какую ногу поднял футболист и на какую он опирается — на правую или на левую.
Вы спросите: «На какую же, в конце концов?» Я и сам не знаю. Да и художник не знает — забыл. Так это и останется навеки неразрешимой тайной.
55. Одним росчерком
Вы, наверное, не подозреваете, что одним росчерком, не отрывая пера от бумаги, можно рисовать довольно сложные картинки. Взгляните, какие замысловатые рисунки изобразил этим манером иллюстратор книги на стр. 95: тут и большой океанский пароход, и флаг, и парусник, и красноармеец на коне, и голубь, на крыле которого изобретательный художник ухитрился запечатлеть мою фамилию.
56. Много ли рыбы?
Здесь вы видите загадочный рисунок. Рыболов как будто еще ничего не выудил. Но, вглядевшись хорошенько в очертания рисунка, вы убедитесь, что улов довольно обилен: три большие рыбины уже пойманы. Где же они?
57. Фигурки-головоломки
Игра, о которой пойдет речь, имеет очень древнее происхождение. Она древнее, чем шахматы, хотя и не так хорошо известна. Ее родина — Китай; здесь она зародилась четыре тысячелетия назад; впрочем, первоначально это была не игра, а способ обучения начаткам геометрии.
Сущность этой игры в том, что из семи определенных геометрических фигур складывают различные силуэты. Те семь кусочков, которые служат для складывания, вырезаются из плотного картона или выпиливаются из дерева. Все они составляют части квадрата; разрезают квадрат так, как показано белыми линиями.
Получают:
2 больших треугольника,
1 треугольник средней величины,
2 малых треугольника,
1 квадратик,
1 параллелограмм (косой четыреугольник).
Первая задача состоит в том, чтобы из разрозненных кусочков вновь составить первоначальный квадрат. Это не так легко, как кажется, и удается далеко не сразу (если складывать, не глядя на чертеж).
Выполнив это, можно приступить к складыванию силуэтов. Как они составляются, показано на примере петушка и гуся (стр. 99). Кусочки надо прикладывать один к другому вплотную, без промежутков; на рисунках промежутки оставлены лишь для наглядности.
Правила складывания таковы:
1) кусочки не должны хотя бы частью прикрывать друг друга;
2) в состав каждого силуэта должны входить все семь кусочков.
Итак, приступите к составлению тех силуэтов, которые собраны у нас. Вы найдете среди них довольно характерные, несмотря на простоту контуров. Недаром такими изображениями увлекались художники (например Густав Доре), а Наполеон I в своем невольном уединении на острове Св. Елены, говорят, долгие часы проводил за этой «китайской головоломкой». Предметы живой природы (фиг. 3–9 и 23–30) так же хорошо поддаются изображению семью кусочками, как и произведения техники (например, фиг. 10–15).
Очень забавны человеческие фигуры, мужские и женские, в самых разнообразных положениях (фиг. 31–43).
Едва ли удастся вам самостоятельно составить все эти фигурки. Не спешите, однако, при первой же неудаче заглядывать в отдел решений. Настойчиво доискивайтесь разгадки сами. Иной раз вам покажется, вероятно, что заданную фигуру даже и вовсе невозможно составить из семи кусочков и что труды ваши поэтому напрасны. Таких неразрешимых случаев среди наших силуэтов нет: каждый из них можно сложить с соблюдением обоих правил игры.
Задачи и головоломки
Веселая арифметика
58. Юный сторож
РАССКАЗ-ЗАДАЧА
Единоличник привез на рынок мешки с орехами, скинул с телеги, отправил лошадь назад и вдруг вспомнил, что ему необходимо отлучиться и притом надолго. Оставить товар без призора нельзя, надо кому-нибудь поручить сторожить, но кому? «Как бы это устроить подешевле?» размышлял крестьянин.
В это время взгляд его упал на мальчика Степку.
— Степка, постереги орехи, — обратился к нему торговец.
— Надолго?
— Не знаю, как придется. А тебе что? Я заплачу.
— Сколько же заплатите?
— А сколько тебе хочется? — осторожно осведомился торговец, боясь переплатить.
Степка подумал и сказал:
— За первый час дайте один орех.
— Идет. За второй?
— Два.
— Согласен. А если придется и третий час сторожить?
— Тогда прибавьте четыре ореха. Коли через три часа не вернетесь, то за четвертый час уплатите восемь орехов; за пятый — шестнадцать, за шестой…
— Ладно, — перебил его торговец, — дело ясное: за каждый следующий час вдвое против предыдущего. Согласен. Только не смей с места уходить: стереги, хотя бы я и до утра не возвратился.
— Идет! — ответил Степка.
Крестьянин ушел, довольный тем, что отыскал дешевого сторожа: за горсть орехов будет хоть целые сутки сторожить.
Справил крестьянин свое дело только к вечеру. Надо бы на рынок возвратиться, но торговец наш не торопится.
«Ночью какая торговля? Товар под надзором, сторож никуда не уйдет. Отсыплю ему еще пригоршню орехов», подумал он и завалился спать.
Тем временем Степка честно сторожил мешки с орехами и нисколько не горевал, что хозяин не является.
Наступила ночь, стали все с рынка расходиться, но Степка крепко держал уговор: улегся у мешков и чему-то ухмыляется.
Когда наутро крестьянин явился к своим мешкам, он застал Степку накладывающим орехи на тачку.
— Стой! Куда, злодей, мой товар увозить собираешься?
Когда наутро крестьянин явился к своим мешкам, он застал Степку накладывающим орехи на тачку.
— Стой! Куда, злодей, мой товар увозить собираешься?
— Был ваш, теперь мой, — спокойно ответил Степка. — Забыли, что ли, уговор?
— Уговор! По уговору ты сторожить обязан, а не воровать!
— Свое увожу, не краденое. Это мне причитается за то, что я сутки сторожил.
— Сутки сторожил, так тебе весь товар отдавай? Бери что следует, а моего трогать не смей!
— Я и беру, что следует. Не только лишнего не беру, мне еще с вас причитается.
— С меня? Вот это хорошо! Сколько же тебе прибавить надо?
— Раз в тысячу больше, чем у вас тут имеется. Тогда, пожалуй, в расчете с вами будем.
— За одни-то сутки? Да ты, брат, совсем считать не умеешь!
А как вы думаете: кто из них двоих не умел считать?
59. Простое умножение
Если вы нетвердо помните таблицу умножения и запинаетесь при умножении на девять, то собственные пальцы могут вас выручить. Положите обе руки на стол — десять пальцев послужат для вас счетной машиной.
Пусть надо умножить 4 на 9.
Четвертый палец дает вам ответ: налево от него 3 пальца, направо — 6; читаете: 36; значит, 4 × 9 = 36.
Еще примеры: чему равно 7 × 9?
Седьмой палец имеет налево от себя 6 пальцев, направо — 3. Ответ: 63.
Чему равно 9 × 9? Девятый палец имеет по левую сторону 8 пальцев, по правую — 1. Ответ: 81.
Эта живая счетная машина поможет вам твердо помнить, чему равно 6 × 9, не путать, как иные, 54 и 56. Шестой палец имеет налево 5 пальцев, направо — 4; значит, 6 × 9 = 54.
60. Как получить 20?
Вы видите здесь три числа, подписанные одно под другим:
111
777
999
Надо зачеркнуть шесть цифр так, чтобы оставшиеся числа составляли вместе 20.
Можете ли вы это сделать?
61. Из семи цифр
Напишите подряд семь цифр от 1 до 7:
1 2 3 4 5 6 7.
Легко соединить их знаками + и — так, чтобы получилось 40:
12 + 34 — 5 + 6–7 = 40.
Попробуйте найти другое сочетание тех же цифр, при котором получилось бы не 40, а 55.
62. Пятью единицами
Напишите число 100 пятью единицами.
63. Пятью пятерками
Как написать число 100 пятью пятерками?
64. Пятью тройками
Написать число 100 пятью тройками.
65. Пятью двойками
Можно ли пятью двойками написать число 28?
66. Четырьмя двойками
Эта задача замысловатее предыдущих. Надо четырьмя двойками написать число 111. Возможно ли это?
67. Четырьмя тройками
Очень легко написать четырьмя тройками число 12:
12 = 3 + 3 + 3 + 3.
Немного хитрее составить подобным же образом из четырех троек числа 15 и 18:
15 = 3 + 3 + 3 × 3.
18 = 3 × 3 + 3 × 3.
Но если бы потребовалось написать тем же манером четырьмя тройками число 5, вы, вероятно, не сразу догадались бы, что
Попробуйте же теперь сами отыскать способы, как составить из четырех троек:
число 1
число 2
число 3
число 4
число 6
число 7
число 8
число 9
число 10
короче говоря — все числа от 1 до 10 (как написать число 5, было уже показано).
68. Четырьмя четверками
Если вы справились с предыдущей задачей и имеете охоту к подобный головоломкам, попробуйте составить все числа от 1 до 10 четырьмя четверками. Это нисколько не сложнее, чем составление тех же чисел из троек.
69. Который год?
Будет ли в нынешнем столетии такой год, который нисколько не изменится, если его перевернуть «головой вниз»?
70. В зеркале
Который год прошлого столетия увеличивается в 4 1/2 раза, если на него смотреть в зеркало?
71. Какие числа?
Какие два целых числа, если их перемножить, составят 7?
Не забудьте, что оба числа должны быть целые; поэтому такие ответы, как 3 1/2 × 2 или 2 1/3 × 3, не подходят.
72. Сложить и перемножить
Какие два целых числа, если их сложить, дают больше, чем если их перемножить?
73. Столько же
Какие два целых числа, если их перемножить, дают столько же, сколько получается от их сложения?
74. Три числа
Какие три целых числа, если их перемножить, дают столько же, сколько получается от их сложения?
75. Умножение и деление
Какие два целых числа, если разделить большее из них на меньшее, дают столько же, сколько получается при их перемножении?
76. Вдесятеро больше
Числа 12 и 60 имеют любопытное свойство: если их перемножить, получится ровно в 10 раз больше, чем если их сложить:
12 × 60 = 720;
12 + 60 = 72.
Попытайтесь найти еще такую пару. А может быть, вам посчастливится разыскать даже несколько пар чисел с тем же свойством.
77. На что он множил?
Школьник произвел умножение, затем стер с классной доски большую часть цифр, так что уцелели только первая строка и две цифры последней строки; от остальных цифр сохранились лишь следы. Запись имела такой вид (см. рисунок).
Можете ли вы восстановить, на какое число школьник множил?
Пестрые задачи
78. Сестры и братья
У меня сестер и братьев поровну. А у моей сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько нас?
79. Сколько детей?
У меня шесть сыновей. У каждого сына есть родная сестра. Сколько у меня детей?
80. Завтрак
Два отца и два сына съели за завтраком три яйца, причем каждый из них съел по целому яйцу. Как вы это объясните?
81. Сколько им лет?
— Скажи-ка, дедушка, какого возраста твой сын?
— Ему столько же семидневок, сколько внуку дней.
— А внук в каком возрасте?
— Ему столько месяцев, сколько мне лет.
— Сколько же тебе-то?
— Троим вместе ровно сто лет. Вот и смекай, сколько каждому.
82. Землекопы
Пять землекопов в 5 часов выкапывают 5 метров канавы. Сколько землекопов в 100 часов выкопают 100 метров канавы?
83. Сколько партий?
Трое играли в шашки. Всего сыграно три партии. Сколько партий сыграл каждый?
84. Кто старше?
Через два года мой мальчик будет вдвое старше, чем он был два года назад. А девочка моя будет через три года втрое старше, чем три года назад.
Кто старше: мальчик или девочка?
85. Улитка
Улитка вздумала взобраться на дерево в 15 метров высоты. В течение каждого дня она успевала подниматься на 5 метров; но каждую ночь, во время сна, спускалась вниз на 4 метра.
Через сколько суток достигнет она вершины дерева?
86. Пильщики дров
Пильщики распиливают бревно на метровые отрубки. Длина бревна — 5 метров. Распиловка бревна поперек отнимает каждый раз 1 1/2 минуты времени. Во сколько минут распилили они все бревно?
87. В город
Колхозник ехал в город. Первую половину пути он проехал в поезде — в 15 раз быстрее, чем если бы он шел пешком. Однако, вторую половину пути ему пришлось проехать на волах — в 2 раза медленнее, чем если бы он шел пешком. Сколько времени он все же выгадал по сравнению с ходьбой пешком?
88. В колхоз
От завода в колхоз дорога идет неровно: сначала 8 километров в гору, потом 24 километра под гору. Михайлов отправился туда на велосипеде и доехал без остановок в течение 2 часов 50 минут. Обратный путь он совершил также на велосипеде, нигде по дороге не останавливаясь, и употребил на него 4 часа 30 минут.
Можете ли вы сказать, с какой скоростью ехал Михайлов в гору и с какою — под гору?
89. Автомобильное колесо
Колесо автомобиля катится вправо; обод его вертится, очевидно, по часовой стрелке.