33. Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем. Действительно, если бы A был рыцарем, то его высказывание было бы истинным, а в нем утверждается, что A — лжец. Следовательно, A — лжец, и его высказывание ложно. Если бы B был рыцарем, то высказывание A было бы истинным. Следовательно, B также лжец. Итак, A и B — лжецы.
34. Предположим, что A — рыцарь. Тогда его высказывание о том, что B — лжец, должно быть истинным, в силу чего B должен быть лжецом. Но тогда высказывание B о том, что A и C однотипны, ложно, поэтому A и C не однотипны. Следовательно, C — лжец (так как A — рыцарь). Таким образом, если A — рыцарь, то C — лжец.
С другой стороны, предположим, что A — лжец. Тогда его высказывание о том, что B — лжец, ложно, в силу чего B — рыцарь. Следовательно, высказывание B о том, что A и C однотипны, истинно. Отсюда мы заключаем, что C — лжец (так как A — лжец).
Итак, мы доказали, что независимо от того, кто такой A — рыцарь или лжец, C должен быть лжецом. Следовательно, C — лжец.
35. Для решения этой задачи необходимо рассмотреть отдельно два случая.
Первый случай: A — рыцарь. Тогда B и C однотипны. Если C — рыцарь, то и B — рыцарь и, следовательно, однотипен с A. Поэтому C, будучи человеком правдивым, должен был ответить «Да». Если C — лжец, то и B — лжец (поскольку B однотипен с C) и, следовательно, принадлежит к иному типу островитян, чем A. Поэтому C, будучи лжецом, должен солгать и ответить «да».
Второй случай: A — лжец. Тогда B и C не однотипны. Если C — рыцарь, то B — лжец и, следовательно, однотипен с A. Поэтому C, будучи рыцарем, должен ответить «да». Если C — лжец, то B, будучи человеком иного типа, чем C, — рыцарь и принадлежит к иному типу островитян, чем A. Но тогда C, будучи лжецом и утверждая, что A и C не однотипны, должен лгать, поэтому на заданный вопрос он ответит «да». Таким образом, в обоих случаях C ответит «да».
36. Решить эту задачу вам поможет информация, приведенная в условиях задачи после сообщения о том, что островитянин дал ответ на мой вопрос: мое замечание о том, что после его ответа я узнал истинный ответ на свой вопрос.
Предположим, что островитянин, с которым я разговаривал (обозначим его A), ответил на мой вопрос «да». Мог бы я после такого ответа знать, что по крайней мере один из встретившихся мне островитян рыцарь? Разумеется, нет. Действительно, A мог оказаться рыцарем и на мой вопрос правдиво ответить «да» (его ответ соответствовал бы истине, поскольку по крайней мере один островитянин, а именно A — рыцарь). Оба островитянина могли оказаться лжецами. В этом случае A, солгав, ответил бы на мой вопрос «да» (что было бы ложью, так как ни один из островитян не был рыцарем). Таким образом, получив от A ответ «да», я не смог бы узнать истинный ответ на свой вопрос. Но, как говорится в условиях задачи, после ответа A мне стал известен правильный ответ на заданный мною вопрос. Следовательно, A мог ответить только «нет».
Разберемся теперь, кто такие островитянин A и его приятель, которого мы обозначим B. Если бы A был рыцарем, то он не мог бы дать правдивый ответ «нет», поэтому A — лжец. Так как его отрицательный ответ ложен, то по крайней мере один из двух островитян должен быть рыцарем. Следовательно, A — лжец, а B — рыцарь.
37. Должны. Если оба встретившихся вам островитянина рыцари, то они оба ответят «да». Если они оба лжецы, то они также оба ответят «да». Если же один из них рыцарь, а другой лжец, то рыцарь ответит «нет» и лжец также ответит «нет».
38. Должен признаться, что в этой задаче я позволил себе подшутить над читателем. Ключом к решению служит та фраза, в которой говорится, что вам, сколько вы ни бились, так и не удалось «извлечь его из тины». Слова, заключенные в кавычки, представляют собой каламбур — «извлечь его истины». Из них следует, что встретившийся вам островитянин изрекал только ложь, то есть был лжецом. Отсюда мы заключаем, что его звали Эдвин.
39. Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем, потому что рыцарь не назвал бы себя нормальным человеком. Следовательно, A — либо лжец, либо нормальный человек. Тогда истинно высказывание островитянина B. Значит, B — либо рыцарь, либо нормальный человек. Но B не может быть нормальным человеком (так как A — нормальный человек), поэтому B — рыцарь, а C — лжец. Но лжец не может сказать о себе, что он не нормальный человек (так как любой лжец — не нормальный человек), и мы приходим к противоречию. Итак, A не может быть нормальным человеком. Следовательно, A — лжец. Это означает, что высказывание островитянина B ложно, в силу чего B должен быть нормальным человеком (лжецом он быть не может, так как лжец — островитянин A). Итак, A — лжец, а B — нормальный человек. Отсюда мы заключаем, что C — рыцарь.
40. Эта задача обладает интересной особенностью. Условия ее не позволяют установить, кто из двух островитян говорит правду, не будучи рыцарем: A или B. Мы можем доказать более слабое утверждение: по крайней мере один из двух островитян A и B говорит правду, не будучи рыцарем.
Островитянин A либо говорит правду, либо не говорит правду. Докажем два утверждения: 1) если A говорит правду, то он говорит правду, не будучи рыцарем; 2) если A лжет, то B говорит правду, не будучи рыцарем.
1) Предположим, что A говорит правду. Тогда B — рыцарь и, следовательно, говорит правду. Значит, A — не рыцарь. Таким образом, если A говорит правду, то A — лицо, говорящее правду, не будучи рыцарем.
2) Предположим, что A не говорит правду. Тогда B — не рыцарь. Но B должен говорить правду, так как A не может быть рыцарем (ведь A не говорит правду). Следовательно, в этом случае B говорит правду, не будучи рыцарем.
41. Докажем, что если B говорит правду, не будучи рыцарем, и если B не говорит правду, то A лжет, не будучи лжецом.
1) Предположим, что B говорит правду. Тогда A — лжец и, следовательно, заведомо не говорит правду. Отсюда мы заключаем, что B — не рыцарь. Таким образом, в этом случае B говорит правду, не будучи рыцарем.
2) Предположим, что B не говорит правду. Тогда A не лжет. Но A заведомо лжет, когда говорит о B, так как B не может быть рыцарем, если он не говорит правду. Таким образом, в этом случае A лжет, не будучи лжецом.
42. Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем, так как если бы A был рыцарем, то его высказывание было бы ложным (рыцарь как особа высшего ранга не может быть по рангу ниже B). Предположим, что A — лжец. Тогда его высказывание ложно. Следовательно, A по рангу не может быть ниже, чем B. Значит, B также должен быть лжецом (так как если бы B не был лжецом, то A был бы особой более высокого ранга, чем B). Но это невозможно, так как высказывание B противоположно высказыванию A, а два противоположных высказывания не могут быть истинными одновременно. Следовательно, предположение, что A — лжец, приводит к противоречию. Значит, A не лжец, но тогда A должен быть нормальным человеком.
А что можно сказать о B? Если бы он был рыцарем, то A (будучи нормальным человеком) был бы особой более низкого ранга, чем B. Тогда высказывание A было бы истинным, из чего следовало бы, что высказывание B ложно. Таким образом, рыцарь высказал бы ложное утверждение, что невозможно. Значит, B не рыцарь. Предположим, что B был бы лжецом. Тогда высказывание A было бы ложным, из чего следовало бы, что высказывание B истинно. Таким образом, лжец высказал бы истинное утверждение, что невозможно. Следовательно, B не может быть не только рыцарем, но и лжецом. Значит, B — нормальный человек.
Итак, A и B — нормальные люди. Высказывание A ложно, высказывание B истинно. Тем самым задача полностью решена.
43. Первый шаг. Прежде всего докажем, что в силу высказывания A островитянин C не может быть нормальным человеком. Действительно, если A — рыцарь, то B — особа более высокого ранга, чем C. Следовательно, B должен быть нормальным человеком, а C — лжецом. Таким образом, в этом случае C — не нормальный человек. Предположим, что A — лжец. Тогда B по рангу не выше C. Следовательно, B — особа более низкого ранга, поэтому B должен быть нормальным человеком, а C — рыцарем. Таким образом, и в этом случае C — не нормальный человек. Предположим, наконец, что A — нормальный человек. Тогда C — заведомо не нормальный человек (так как из трех островитян A, B и C только один — нормальный человек). Итак, C — не нормальный человек.
Второй шаг. При аналогичных рассуждениях из высказывания B можно вывести, что A — не нормальный человек. Таким образом, ни A, ни C не нормальны. Следовательно, B — нормальный человек.
Третий шаг. Поскольку C — не нормальный человек, то он может быть рыцарем или лжецом. Предположим, что он рыцарь. Тогда A — лжец (так как B — нормальный человек). Следовательно, B — особа более высокого ранга, чем A, и C, будучи рыцарем, даст правдивый ответ: «В по рангу выше A». С другой стороны предположим, что C — лжец. Тогда A должен быть рыцарем, поэтому B по рангу не выше A. В этом случае C, будучи лжецом, солгал бы и ответил так: «В по рангу выше A». Таким образом, независимо от того, кто такой островитянин C — рыцарь или лжец, он ответит, что B по рангу выше A.
44. Мистер A не может быть лжецом, так как тогда его жена была бы рыцарем и, следовательно, не могла бы быть нормальным человеком, а это означало бы, что высказывание мистера A было бы истинно. По аналогичной причине миссис A не может быть и лжецом. Следовательно, ни мистер A, ни миссис A не могут быть и рыцарями (в противном случае второй супруг был бы лжецом). Значит, мистер A и миссис A — нормальные люди (и оба лгут).
45. Совпадает. Почему?
46. Оказывается, что все четверо — нормальные люди, а все три высказывания ложны.
Прежде всего заметим, что миссис B должна быть нормальным человеком, так как если бы она была рыцарем, то ее муж был бы лжецом и, назвав его рыцарем, она солгала бы. Если бы миссис B была лжецом, то ее муж был бы рыцарем, но Тогда ее высказывание о своем муже было бы истинным. Следовательно, миссис B — нормальный человек, тогда мистер B также нормальный человек. Это означает, что мистер A и миссис A оба лгали. Отсюда мы заключаем, что ни один из супругов A не рыцарь и что они не могут быть и лжецами. Следовательно, супруги A — нормальные люди.
IV. Алиса в Лесу Забывчивости
А. Лев и Единорог
Когда Алиса вошла в Лес Забывчивости, она забыла не все, а лишь кое-что. Она часто забывала, как ее зовут, но особенно ей легко удавалось забывать дни недели. Лев и Единорог частенько наведывались в Лес Забывчивости. Странные это были существа. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам и говорил правду во все остальные дни недели. Единорог же вел себя иначе: он лгал по четвергам, пятницам и субботам и говорил правду во все остальные дни недели.
47.
Однажды Алиса повстречала Льва и Единорога, отдыхавших под деревом. Те высказали следующие утверждения.
Лев. Вчера был один из дней, когда я лгу.
Единорог. Вчера был один из дней, когда я тоже лгу.
Из этих двух высказываний Алиса (девочка очень умная) сумела вывести, какой день недели был вчера. Что это был за день?
48.
В другой раз Алиса повстречала одного Льва. Он высказал два утверждения:
1) Я лгал вчера.
2) После завтрашнего дня я буду лгать два дня подряд.
В какой день недели Алиса встретила Льва?
49.
В какие дни недели Лев может высказать следующие утверждения:
1) Я лгал вчера.
2) Я буду лгать завтра.
50.
В какие дни недели Лев может высказать следующее единое утверждение: «Я лгал вчера, и я буду лгать завтра».
Предостережение! Ответ этой задачи не совпадает с ответом предыдущей задачи.
Б. Траляля и Труляля
Однажды в течение целого месяца Лев и Единорог не появлялись в Лесу Забывчивости. Они где-то пропадали, ведя нескончаемую драку за корону.
Но Траляля и Труляля частенько наведывались в лес. Один из них, как Лев, лгал по понедельникам, вторникам и средам и говорил правду во все остальные дни недели. Другой, как Единорог, лгал по четвергам, пятницам и субботам, но во все остальные дни недели говорил правду. Алиса не знала, кто из них ведет себя как Лев и кто — как Единорог. К тому же братья были так похожи друг на друга, что Алиса даже не могла различить их (воротнички, на которых были вышиты их имена, братья надевали очень редко). Бедняжке Алисе приходилось очень туго! Взять хотя бы следующие случаи.
51.
Однажды Алиса встретила обоих братьев вместе, и они высказали следующие утверждения:
Первый. Я Траляля.
Второй. Я Труляля.
Кто из них в действительности был Траляля и кто — Труляля?
52.
В другой день той же недели братцы высказали следующие утверждения:
Первый. Я Траляля.
Второй. Если это так, то я Труляля!
Кто из них Траляля и кто Труляля?
53.
Как-то Алиса встретила обоих братцев и спросила у одного из них: «Вы лжете по воскресеньям?» Тот ответил: «Да!» Тогда она задала тот же вопрос другому братцу. Что тот ответил?
54.
В другой раз братья заявили следующее:
Первый. 1) Я лгу по субботам. 2) Я лгу по воскресеньям.
Второй. Я буду лгать завтра.
В какой из дней недели это было?
55.
Однажды Алиса встретила одного из братцев. Он заявил следующее: «Я лгу сегодня, и меня зовут Труляля». Кто из братцев встретился Алисе?
56.
Предположим, что встреченный Алисой братец заявил: «Я лгу сегодня или я Труляля». Можно было бы в этом случае определить, кто из братьев это был?
57.
Однажды Алиса встретила обоих братцев вместе. Они высказали следующие утверждения.
Первый. Если я Траляля, то он Труляля.
Второй. Если он Труляля, то я Траляля.
Можно определить, кто из братцев Траляля и кто Труляля? Можно ли определить, что это был за день недели?
58. Загадка разгадана!
В тот знаменательный день Алиса разгадала сразу три трудные загадки. Она набрела на братцев, которые, ухмыляясь, сидели под деревом. Алиса надеялась, что при этой встрече ей удастся разгадать три загадки: 1) установить день недели; 2) выяснить, кто из двух братцев Траляля; 3) определить, ведет ли себя Траляля, как Лев или как Единорог, когда лжет (эту загадку ей давно хотелось разгадать).
Братцы при виде Алисы высказали следующие утверждения.
Первый. Сегодня не воскресенье.
Второй. Сегодня понедельник.
Первый. Завтра — один из дней, когда Труляля лжет.
Второй. Лев лгал вчера.
От радости Алиса захлопала в ладоши. Задача была полностью решена! Какое решение у этой задачи?
В. Чья погремушка?
— Ты только взгляни! — торжествующе воскликнул Белый Король, обращаясь к Алисе. — Я нашел погремушку и починил ее. Она совсем как новая!
— О да, — восторженно согласилась Алиса, — погремушка выглядит так, будто ее только что сделали. Даже малый ребенок и тот не заметил бы разницы.
— Что значит «даже малый ребенок»? — возмутился Белый Король. — Твое замечание, должен прямо тебе сказать, не очень-то логично. Разумеется, малый ребенок не мог бы отличить починенную мной погремушку от новенькой! Вряд ли можно требовать от ребенка, чтобы он так тонко разбирался в погремушках! Тебе следовало бы сказать, — продолжал Король несколько успокоившись, — что даже взрослый, будь он хоть самым большим знатоком погремушек в мире, не смог бы отличить починенную мной погремушку от новой! Во всяком случае, мы будем считать, что ты именно так и сказала. Но починить погремушку даже так искусно, как это сделал я, — лишь полдела. Важно вернуть ее законному владельцу. Ты не могла бы взять это на себя?
— A кто ее законный владелец? — спросила Алиса.
— Об этом ты могла бы и не спрашивать! — нетерпеливо прервал ее Король.
— Почему? — удивилась Алиса.
— Потому что в стихах, которые ты, конечно, знаешь, ясно сказано: Траляля сказал, что брат испортил его новую хорошую погремушку. Значит, Траляля — законный владелец погремушки!
— Не обязательно! — возразила Алиса, которой хотелось самую малость поспорить. — Я хорошо знаю эти стихи и считаю, что вы не правы.
— A в чем, собственно говоря, проблема? — спросил Король, необычайно озадаченный словами Алисы.
— Все очень просто, — пояснила Алиса. — Я смею заверить вас, что все, о чем говорится в стихотворении, чистейшая правда. Траляля действительно сказал, что Труляля испортил его погремушку. Поэтому-то мы и не можем быть уверены в том, что все было именно так, как утверждает Траляля. Ведь Траляля мог сказать это в один из тех дней, когда он лжет. На самом деле все могло происходить как раз наоборот. Вполне возможно, что Траляля испортил новую хорошую погремушку, принадлежавшую Труляля.
— Об этом я как-то никогда не задумывался, — печально признался Король, — и теперь все мои добрые намерения пошли прахом.
Король выглядел таким несчастным, что казалось, вот-вот расплачется.
— Не беда, — сказала Алиса как можно более радостным тоном, — дайте мне погремущку, и я постараюсь найти ее законного владельца. У меня уже есть кое-какой опыт общения с лжецами и рыцарями, и я немного привыкла иметь с ними дело.
— Надеюсь, что это так! — печально сказал Король.
А теперь, когда вы знаете всю предысторию, я расскажу вам, какие приключения пришлось пережить Алисе, пока она разыскивала владельца погремушки.
59.
Взяв с собой погремушку, Алиса отправилась в Лес Забывчивости в надежде, что ей удастся разыскать по крайней мере одного из братцев. К своей радости, она внезапно увидела под деревом обоих братцев. Они сидели и ухмылялись. Алиса направилась к тому, кто был поближе, и сурово потребовала: