Идея носилась в воздухе, и ее опубликование произвело впечатление разорвавшейся бомбы. Этот парадокс вызвал в математике, по мнению Д. Гильберта, «эффект полной катастрофы». Нависла угроза над самыми простыми и важными логическими методами, самыми обыкновенными и полезными понятиями.
Сразу же стало очевидным, что ни в логике, ни в математике за всю долгую историю их существования не было выработано решительно ничего, что могло бы послужить основой для устранения антиномии. Явно оказался необходимым отход от привычных способов мышления. Но ив какого места и в каком направлении? Насколько радикальным должен был стать отказ от устоявшихся способов теоретизирования?
С дальнейшим исследованием антиномии убеждение в необходимости принципиально нового подхода неуклонно росло. Спустя полвека после ее открытия специалисты по основаниям логики и математики А. Френкель и И. Бар-Хиллел уже без всяких оговорок утверждали: «Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных (то есть имевших хождение до XX столетия) способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшихся, заведомо недостаточны для этой цели».
Современный американский логик X. Карри писал немного позднее об этом парадоксе: «В терминах логики, известной в XIX веке, положение просто не поддавалось объяснению, хотя, конечно, в наш образованный век могут найтись люди, которые увидят (или подумают, что увидят), в чем же состоит ошибка».
Парадокс Рассела в первоначальной его форме связан с понятием множества, или класса.
Можно говорить о множествах различных объектов, например о множестве всех людей или о множестве натуральных чисел. Элементом первого множества будет всякий отдельный человек, элементом второго — каждое натуральное число. Допустимо также сами множества рассматривать как некоторые объекты и говорить о множествах множеств. Можно ввести даже такие понятия, как множество всех множеств или множество всех понятий.
Относительно любого произвольно взятого множества представляется осмысленным спросить, является оно своим собственным элементом или нет. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовем обычными. Например, множество всех людей не является человеком, так же как множество атомов-это не атом. Необычными будут множества, являющиеся собственными элементами. Например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента.
Очевидно, что каждое множество является либо обычным, либо необычным.
Рассмотрим теперь множество всех обычных множеств. Поскольку оно множество, о нем тоже можно спрашивать, обычное оно или необычное. Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то согласно своему определению должно содержать само себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение, что наше множество представляет собой обычное множество, приводит, таким образом, к противоречию. Значит, оно не может быть обычным. С другой стороны, оно не может быть также необычным: необычное множество содержит само себя в Качестве элемента, а элементами нашего множества являются только обычные множества. В итоге приходим к заключению, что множество всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычным множеством.
Итак, множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом. Это явное противоречие. И получено оно на основе самых правдоподобных предположений и с помощью бесспорных как будто шагов.
Противоречие говорит о том, что такого множества просто не существует. Но почему оно не может существовать? Ведь оно состоит из объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, причем само условие не кажется каким-то исключительным или неясным. Если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем, собственно, заключается различие между возможными и невозможными множествами? Вывод о несуществовании рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он делает наше общее понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно не способно породить какие-то новые парадоксы.
Парадокс Рассела замечателен своей крайней общностью. Для его построения не нужны какие-либо сложные технические понятия, как в случае некоторых других парадоксов, достаточно понятий «множества» и «элемента множества». Но эта простота как раз и говорит о его фундаментальности: он затрагивает самые глубокие основания наших рассуждений о множествах, поскольку говорит не о каких-то специальных случаях, а о множествах вообще.
Парадокс Рассела не имеет специфически математического характера. В нем используется понятие множества, но не затрагиваются какие-то особые, связанные именно с математикой его свойства. Это становится очевидным, если переформулировать парадокс в чисто логических терминах.
О каждом свойстве можно, по всей вероятности, спрашивать, приложимо оно к самому себе или нет. Свойство быть горячим, например, неприложимо к самому себе, поскольку само не является горячим; свойство быть конкретным тоже не относится к самому себе, ибо это абстрактное свойство. Но вот свойство быть абстрактным, являясь абстрактным, приложимо к самому себе. Назовем эти неприменимые к самим себе свойства неприложимыми. Применимо ли свойство быть неприложимым к самому себе? Оказывается, что неприложимость является неприложимой только в том случае, если она не является таковой. Это, конечно, парадоксально,
Логическая, касающаяся свойств разновидность антиномии Рассела столь же парадоксальна, как и математическая, относящаяся к множествам, ее разновидность.
Б. Рассел предложил также следующий популярный вариант открытого им парадокса.
Представим, что совет одной деревни так определил обязанности парикмахера этой деревни: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.
Рассуждение о парикмахере опирается на допущение, что такой парикмахер существует. Полученное противоречие означает, что это допущение ложно, и нет такого жителя деревни, который брил бы всех тех и только тех ее жителей, которые не бреются сами.
Обязанности парикмахера не кажутся на первый взгляд противоречивыми, поэтому вывод, что его не может быть, звучит несколько неожиданно. Но этот вывод не является все-таки парадоксальным. Условие, которому должен удовлетворять «деревенский брадобрей», на самом деле внутренне противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Подобного парикмахера не может быть в деревне по той же причине, по какой в ней нет человека, который был бы старше самого себя или который родился бы до своего рождения.
Рассуждение о парикмахере может быть названо псевдопарадоксом. По своему ходу оно строго аналогично парадоксу Рассела и этим интересно. Но оно все-таки не является подлинным парадоксом.
Другой пример такого же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение о каталоге.
Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?
Нетрудно показать, что идея создания такого каталога неосуществима; он просто не может существовать, поскольку должен одновременно и включать ссылку на себя и не включать.
Интересно отметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийся процесс.
Допустим, что в какой-то момент был составлен каталог, скажем К1 включающий все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. С созданием K1 появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача заключается в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих себя, то очевидно, что K1 не является ее решением. Он не упоминает один из таких каталогов — самого себя. Включив в K1 это упоминание о нем самом, получим каталог К2. В нем упоминается К1 но не сам К2.
Добавив к К2 такое упоминание, получим К3, который опять-таки неполон из-за того, что не упоминает самого себя. И так далее без конца.
Добавив к К2 такое упоминание, получим К3, который опять-таки неполон из-за того, что не упоминает самого себя. И так далее без конца.
ПАРАДОКСЫ ГРЕЛЛИНГА И БЕРРИ
Интересный логический парадокс был открыт немецкими логиками К. Греллингом и Л. Нельсоном («парадокс Греллинга»). Этот парадокс можно сформулировать очень просто.
Некоторые слова, обозначающие свойства, обладают тем самым свойством, которое они называют. Например, прилагательное «русское» само является русским, «многосложное» — само многосложное, а «пятислоговое» само имеет пять слогов. Такие слова, относящиеся к самим себе, называются самозначными, или аутологическими. Подобных слов не так много, в подавляющем большинстве прилагательные не обладают называемым каждым из них свойством. «Новое» не является, конечно, новым, «горячее» — горячим, «одно-слоговое» — состоящим из одного слоге, а «английское» — английским. Слова, не имеющие свойства, обозначаемого ими, называются инозначными или гетерологическими. Очевидно, что все прилагательные, обозначающие свойства, неприложимые к словам, будут гетерологическими.
Это разделение прилагательных на две группы кажется ясным и не вызывает возражений. Оно может быть распространено и на существительные: «слово» является словом, «существительное» — существительным, но «часы» — это не часы и «глагол» — не глагол.
Парадокс возникает, как только задается вопрос: к какой из двух групп относится само прилагательное «гетерологическое»? Если оно аутологическое, оно обладает обозначаемым им свойством и должно быть гетерологическим. Если же оно гетерологическое, оно не имеет называемого им свойства и должно быть поэтому аутологическим. Налицо парадокс.
По аналогии с этим парадоксом легко сформулировать другие парадоксы такой же структуры. Например, является или не является самоубийцей тот, кто убивает каждого несамоубийцу и не убивает ни одного самоубийцу?
Оказалось, что парадокс Греллинга был известен еще в средние века как антиномия выражения, не называющего самого себя. Можно представить себе отношение к софизмам и парадоксам в новое время, если проблема, требовавшая перед этим ответа и вызывавшая оживленные споры, оказалась вдруг забытой и была переоткрыта только пятьсот лет спустя!
Еще одна, внешне простая антиномия была указана в самом начале нашего века Д. Берри.
Множество натуральных чисел бесконечно. Множество же тех имен этих чисел, которые имеются, например, в русском языке и содержат меньше чем, допустим, сто слов, является конечным. Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен, состоящих менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение: «Наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся менее чем из ста слов», является как раз именем этого числа! Это имя только что сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидный парадокс: названным оказалось то число, для которого нет имени!
ДВА-ТРИ ПРИМЕРА
Хорошо известно описание Н. Гоголем игры Чичикова с Ноздревым в шашки. Их партия так и не закончилась. Чичиков заметил, что Ноздрев мошенничает, и отказался играть, опасаясь проигрыша. Недавно один специалист по шашкам восстановил по репликам игравших ход этой партии и показал, что позиция Чичикова не была еще безнадежной.
Допустим, что Чичиков все-таки продолжил игру и в конце концов выиграл партию, несмотря на плутовство партнера. По уговору проигравший Ноздрев должен отдать Чичикову пятьдесят рублей и «какого-нибудь щенка средней руки или золотую печатку к часам». Но Ноздрев скорее всего отказывается платить, упирая на то, что он сам всю игру мошенничал, а игра не по правилам — это как бы и не игра. Чичиков может возразить, что разговор о мошенничестве здесь ни к месту: мошенничал сам проигравший, значит, он тем более должен платить.
В самом деле, должен был бы платить Ноздрев в подобной ситуации или нет? С одной стороны, да, поскольку он проиграл. Но с другой — нет, так как игра велась не по правилам, а это вовсе и не игра. Значит, ни выигравшего, ни проигравшего в такой «игре» не может быть. Если бы мошенничал сам Чичиков, Ноздрев, конечно, не обязан был бы платить. Но, однако, мошенничал как раз проигравший Ноздрев…
Здесь ощущается что-то парадоксальное: «с одной стороны…», «с другой стороны…» и «с обеих сторон» в равной мере убедительно, хотя эти стороны несовместимы. Должен все-таки Ноздрев платить или нет?
Есть смысл оставить решение этого вопроса читателю.
У каждого из нас имеются определенные интуитивные представления о логике, выработаны некоторые устоявшиеся навыки последовательного и доказательного рассуждения. Полезно было бы сейчас, опираясь на них, попытаться решить, действительно здесь парадокс или нет. Такое самостоятельное размышление позволит в какой-то мере прочувствовать, насколько неопределенной и даже ненадежной является наша интуитивная логика и насколько сложно бывает отделить простое затруднение от подлинного парадокса. Вот еще один пример для размышления.
Ранее шла речь о смысле бессмысленного. Выяснилось как будто, что смысл бессмысленного в том, что оно не имеет смысла. Не является ли это положение парадоксальным?
Говорилось также о попытках уклониться от парадокса «лжеца», ограничивая круг объектов, о которых можно высказаться. Не является ли парадоксом само утверждение: «Ни одно высказывание не должно говорить о самом себе»? Ведь оно касается всех высказываний и, значит, говорит что-то и о самом себе.
Эти примеры для размышления не настолько сложны, чтобы читатель не справился с ними самостоятельно.
ЧТО ТАКОЕ ЛОГИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС?
Никакого исчерпывающего перечня логических парадоксов не существует, да он и невозможен.
Рассмотренные парадоксы — это только часть из всех обнаруженных к настоящему времени. Вполне вероятно, что в будущем будут открыты и многие другие и даже совершенно новые их типы. Само понятие парадокса не является настолько определенным, чтобы удалось составить список хотя бы уже известных парадоксов.
«Теоретико-множественные парадоксы являются очень серьезной проблемой, не для математики, однако, а скорее для логики и теории познания», — пишет австрийский математик и логик К. Гёдель. «Логика непротиворечива. Не существует никаких логических парадоксов, — утверждает советский математик Д. Бочвар. — Такого рода расхождения иногда существенны, иногда словесны. Дело во многом в том, что именно понимается под «логическим парадоксом».
Необходимым признаком логических парадоксов считается логический словарь. Парадоксы, относимые к логическим, должны быть сформулированы в логических терминах. Однако в логике нет четких критериев деления терминов на логические и внелогические. Логика, занимающаяся правильностью рассуждений, стремится свести понятия, от которых зависит правильность практически применяемых выводов, к минимуму. Но этот минимум не предопределен однозначно. Кроме того, в логических терминах можно сформулировать и внелогические утверждения. Использует ли конкретный парадокс только чисто логические посылки, далеко не всегда удается определить однозначно.
Логические парадоксы не отделяются жестко от всех иных парадоксов, подобно тому как последние не отграничиваются ясно от всего непарадоксального и согласующегося с господствующими представлениями.
На первых порах изучения логических парадоксов казалось, что их можно выделить по нарушению некоторого, еще не исследованного положения или правила логики. Особенно активно претендовал на роль такого правила введенный Б. Расселом «принцип порочного круга». Этот принцип утверждает, что совокупность объектов не может содержать членов, определимых только посредством этой же совокупности.
Все парадоксы имеют одно общее свойство — самоприменимость, или циркулярность. В каждом из них объект, о котором идет речь, характеризуется посредством некоторой совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мы выделяем, например, человека как самого хитрого в классе, мы делаем это при помощи совокупности людей, к которой относится и данный человек (при помощи «его класса»). И если мы говорим: «Это высказывание ложно», мы характеризуем интересующее нас высказывание путем ссылки на включающую его совокупность всех ложных высказываний.
Во всех парадоксах имеет место самоприменимость, а значит, есть как бы движение по кругу, приводящее в конце концов к исходному пункту. Стремясь охарактеризовать интересующий нас объект, мы обращаемся к той совокупности объектов, которая включает его. Однако оказывается, что сама она для своей определенности нуждается в рассматриваемом объекте и не может быть ясным образом понята без него. В этом круге, возможно, и кроется источник парадоксов.