Эту книгу хорошо дополняют:
Кванты
Скотт Паттерсон
Brainiac
Кен Дженнингс
Moneyball
Майкл Льюис
Гибкое сознание
Кэрол Дуэк
Физика фондового рынка
Джеймс Уэзеролл
Steven Strogatz
The Joy of X
A Guided Tour of Math, from One to Infinity
Стивен Строгац
Удовольствие от Х
Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире
Информация от издательства
На русском языке публикуется впервые
Издано с разрешения Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.
Строгац, П.
Удовольствие от Х. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире / Стивен Строгац ; пер. с англ. — М. : Манн, Иванов и Фербер, 2014.
ISBN 978-500057-008-1
Эта книга способна в корне изменить ваше отношение к математике. Она состоит из коротких глав, в каждой из которых вы откроете для себя что-то новое. Вы узнаете насколько полезны числа для изучения окружающего мира, поймете, в чем прелесть геометрии, познакомитесь с изяществом интегральных исчислений, убедитесь в важности статистики и соприкоснетесь с бесконечностью. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя блистательные примеры, понятные каждому.
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая фирма «Вегас-Лекс»
© Steven Strogatz, 2012 All rights reserved
© Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2014
Предисловие
У меня есть друг, который, несмотря на свое ремесло (он — художник), страстно увлечен наукой. Всякий раз, когда мы собираемся вместе, он с энтузиазмом рассуждает о последних достижениях в области психологии или квантовой механики. Но стоит нам заговорить о математике — и он чувствует дрожь в коленках, что его сильно огорчает. Он жалуется, что эти странные математические символы не только не поддаются его пониманию, но порой он даже не знает, как их произносить.
На самом деле причина его неприятия математики гораздо глубже. Он никак не возьмет в толк, чем математики вообще занимаются и что имеют в виду, когда говорят, что данное доказательство изящно. Иногда мы шутим, что мне нужно просто сесть и начать его учить с самых азов, буквально с 1 + 1= 2, и углубиться в математику настолько, насколько он сможет.
И хотя эта затея кажется безумной, именно ее я и попытаюсь осуществить в данной книге. Я проведу вас по всем основным разделам науки, от арифметики до высшей математики, чтобы те, кто хотел получить второй шанс, наконец смогли им воспользоваться. И на сей раз вам не придется садиться за парту. Эта книга не сделает вас экспертом в математике. Зато поможет разобраться в том, что изучает данная дисциплина и почему она так увлекательна для тех, кто это понял.
Мы узнаем, как слэм-данки[1] Майкла Джордана могут помочь объяснить азы исчисления. Я покажу вам простой и потрясающий способ, как понять основополагающую теорему евклидовой геометрии — теорему Пифагора. Мы постараемся добраться до самой сути некоторых тайн жизни, больших и малых: убивал ли свою жену Джей Симпсон[2]; как перекладывать матрас, чтобы он прослужил максимально долго; сколько партнеров нужно сменить перед тем, как сыграть свадьбу, — и увидим, почему одни бесконечности больше, чем другие.
Математика повсюду, надо только научиться ее узнавать. Можно разглядеть синусоиду на спине зебры, услышать отголоски теорем Евклида в Декларации о независимости; да что там говорить, даже в сухих отчетах, предшествовавших Первой мировой войне, присутствуют отрицательные числа. Также можно увидеть, как на нашу сегодняшнюю жизнь влияют новые направления математики, например, когда мы ищем рестораны с помощью компьютера или пытаемся хотя бы понять, а еще лучше — пережить пугающие колебания фондового рынка.
По случайному, хотя и уместному для книги о числах совпадению, идея ее написания родилась в день, когда мне исполнилось пятьдесят. Дэвид Шипли, автор нескольких обзорных статей в New York Times, как раз пригласил меня (не зная о моем полувековом юбилее) на обед. Он спросил, не хочу ли я написать серию статей о математике для его читателей. Мне очень понравилась эта идея, и я был готов поделиться радостью от занятий математикой не только с моим любознательным другом-художником, но и с более широкой аудиторией.
Серия из 15 статей под общим названием «Основы математики» появилась в сети в конце января 2010 года. В ответ на их публикацию посыпались письма и комментарии от читателей всех возрастов, среди которых было много студентов и преподавателей. Встречались и просто любознательные люди, по тем или иным причинам «сбившиеся с пути» постижения математической науки; теперь же они почувствовали, что упустили что-то стоящее, и хотели бы попробовать еще раз. Особую радость мне доставляли благодарности от родителей за то, что они с моей помощью смогли объяснить математику своим детям, да и сами стали лучше ее понимать. Казалось, что даже мои коллеги и товарищи, горячие поклонники этой науки, получали удовольствие от чтения статей, за исключением тех моментов, когда они наперебой предлагали всевозможные рекомендации по улучшению моего детища.
Несмотря на расхожее мнение, в обществе наблюдается явный интерес к математике, хотя этому феномену и уделяют мало внимания. Мы только и слышим, что о страхе перед математикой, и тем не менее, многие с радостью бы попробовали разобраться в ней лучше. И стоит этому случиться — их уже будет трудно оторвать.
Данная книга познакомит вас с самыми сложными и передовыми идеями из мира математики. Главы небольшие, легко читаются и особо не зависят друг от друга. Среди них есть и вошедшие в ту, первую серию статей в New York Times. Так что как только почувствуете легкий математический голод, не раздумывая беритесь за следующую главу. Если захотите подробнее разобраться в заинтересовавшем вас вопросе, то в конце книги есть примечания с дополнительной информацией и рекомендациями, что еще об этом можно почитать.
Для удобства читателей, которые предпочитают пошаговый подход, я разбил материал на шесть частей в соответствии с традиционным порядком изучения тем.
Часть I «Числа» начинает наше путешествие с арифметики в детском саду и начальной школе. В ней показано, насколько полезными бывают числа и как они магически эффективны при описании окружающего мира.
Часть II «Соотношения» переводит внимание с самих чисел на соотношения между ними. Эти идеи лежат в основе алгебры и являются первыми инструментами для описания того, как одно влияет на другое, проявляя причинно-следственную связь самых разных вещей: спроса и предложения, стимула и реакции — словом, всех видов отношений, которые делают мир столь многогранным и богатым.
Часть III «Фигуры» повествует не о числах и символах, а о фигурах и пространстве — вотчине геометрии и тригонометрии. Эти темы, наряду с описанием всех обозримых объектов посредством форм, с помощью логических рассуждений и доказательств поднимают математику на новый уровень точности.
В части IV «Время перемен» мы рассмотрим исчисления — самое впечатляющее и многогранное направление математики. Исчисления позволяют предсказать траекторию движения планет, циклы приливов и отливов и дают возможность понять и описать все периодически меняющиеся процессы и явления во Вселенной и внутри нас. Важное место в этой части отведено изучению бесконечности, усмирение которой стало прорывом, позволившим вычислениям заработать. Вычисления помогли решить многие задачи, возникшие еще в античном мире, и это, в конечном счете, привело к революции в науке и современном мире.
Часть V «Многоликие данные» имеет дело с вероятностью, статистикой, сетями и обработкой данных — это все еще относительно молодые области, порожденные не всегда упорядоченными сторонами нашей жизни, такими как возможность и удача, неуверенность, риск, изменчивость, хаотичность, взаимозависимость. Используя подходящие средства математики и соответствующие типы данных, мы научимся обнаруживать закономерность в потоке случайностей.
В конце нашего путешествия в части VI «Границы возможного» мы приблизимся к пределам математического знания, к пограничной области между тем, что уже известно, и тем, что пока неуловимо и не познано. Мы вновь пройдемся по темам в уже знакомом нам порядке: числа, соотношения, фигуры, изменения и бесконечность, — но при этом рассмотрим каждую из них более глубоко, в ее современном воплощении.
Я надеюсь, что все идеи, описанные в этой книге, покажутся вам увлекательными и не раз заставят воскликнуть: «Ну и ну!» Но всегда с чего-то нужно начинать, поэтому давайте начнем с простого, но такого завораживающего действия, как счет.
1. Основы чисел: сложение рыбок
Лучшую демонстрацию концепции чисел, которую я когда-либо видел (самое ясное и забавное объяснение того, что такое числа и зачем они нам нужны), я наблюдал в одном из выпусков популярной детской передачи «Улица Сезам», который называется «123: считаем вместе» (123 Counter with Me). Хамфри, добродушный, но недалекий персонаж с розовой шерсткой и зеленым носом, работающий в отеле «Мохнатые лапы», в обеденное время принимает по телефону заказ от пингвинов-постояльцев. Внимательно их выслушав, Хамфри передает заказ на кухню: «Рыбка, рыбка, рыбка, рыбка, рыбка, рыбка». Увиденное побуждает Эрни рассказать Хамфри о достоинствах числа шесть.
Дети узнают, что числа — великолепный инструмент, который позволяет получить нужное количество порций быстрее. Вместо того чтобы повторять слово «рыбка» столько раз, сколько пингвинов в комнате, Хамфри может использовать более эффективный способ — посчитать и сразу назвать число шесть.
Впрочем, став старше, мы начинаем замечать у чисел и слабые стороны. Да, они прекрасно экономят время, но немалой платой за это становится их абстрактность. Число шесть более эфемерно, чем «шесть рыбок» — именно потому, что оно универсально. Шесть может быть чего угодно: шесть тарелок, шесть пингвинов, шесть раз произнесенное слово «рыбка». Число создает некую неявную общность между приведенными примерами.
Рассматриваемые таким образом числа начинают казаться мистическими. Они, очевидно, существуют в некоем идеальном мире Платона, где-то над действительностью, и в этом смысле больше походят на другие возвышенные понятия (например, истина и справедливость) и меньше — на обычные объекты повседневной жизни. Чем активнее вы о них думаете, тем дальше они удаляются от реальности. Как появились числа? Изобрели ли их люди? Или лишь обнаружили?
Еще один нюанс заключается в том, что числа (как и все математические идеи) живут своей жизнью1. Они нам неподвластны, хотя и присутствуют в наших умах. Даже определив, что мы под ними понимаем, мы не можем предсказать, как они себя поведут. Они подчиняются определенным законам и имеют определенные свойства, индивидуальные особенности и способы объединения друг с другом, и мы ничего не в силах с этим поделать, кроме как наблюдать и пытаться понять. В этом смысле они похожи на атомы и звезды: объекты, которые также существуют по своим (неподконтрольным нам) законам и находятся вне зоны нашего сознания.
Эта двойственная природа чисел — принадлежность к небесам и земным делам, — возможно, их самая парадоксальная черта и особенность, которая делает их настолько полезными. Это то, что имел в виду физик Юджин Вигнер, когда писал о неблагоразумной эффективности математики в естественных науках2.
Для того чтобы прояснить, что я имею в виду под жизнью чисел и их поведением, которое мы не можем контролировать, давайте вернемся в отель «Мохнатые лапы». Предположим, что Хамфри как раз собрался передать заказ, но тут ему неожиданно позвонили пингвины из другого номера и тоже попросили такое же количество рыбы. Сколько раз Хамфри должен прокричать слово «рыбка» после получения двух заказов? Если бы он ничего не узнал о числах, то ему пришлось бы кричать столько раз, сколько всего пингвинов в обеих комнатах. Или, используя числа, он мог объяснить повару, что ему нужно шесть рыбок для одного номера и шесть для другого. Но то, что ему действительно необходимо, представляет собой новую концепцию — сложение. Как только он его освоит, он с гордостью скажет, что ему нужно шесть плюс шесть (или, если он позер, двенадцать) рыбок.
Это такой же творческий процесс, как и тот, когда мы только придумывали числа. Так же как числа упрощают подсчет по сравнению с перечислением по одному, сложение упрощает вычисление любой суммы. При этом тот, кто производит подсчет, развивается как математик. По-научному эту мысль можно сформулировать так: использование правильных абстракций приводит к более глубокому проникновению в суть вопроса и большему могуществу при его решении.
Вскоре, возможно, даже Хамфри поймет, что теперь он всегда может производить подсчет.
Однако, несмотря на столь бесконечную перспективу, наше творчество всегда имеет какие-то ограничения. Мы можем решить, что подразумеваем под 6 и +, но как только это сделаем, результаты выражений, подобных 6 + 6, окажутся вне нашего контроля. Здесь логика не оставит нам выбора. В этом смысле математика всегда включает в себя как изобретение, так и открытие: мы изобретаем концепции, но открываем их последствия. Как станет ясно из следующих глав, в математике наша свобода заключается в возможности задавать вопросы и настойчиво искать на них ответы, однако не изобретая их самостоятельно.
2. Каменная арифметика
Как и любое явление в жизни, арифметика имеет две стороны: формальную и занимательную (или игровую).
Формальную часть мы изучали в школе. Там нам объясняли, как работать со столбцами чисел, складывая и вычитая их, как перелопачивать их при выполнении расчетов в электронных таблицах при заполнении налоговых деклараций и подготовки годовых отчетов. Эта сторона арифметики кажется многим важной с практической точки зрения, но совершенно безрадостной.
С занимательной стороной арифметики можно познакомиться только в процессе изучения высшей математики3. Тем не менее, она так же естественна, как и любопытство ребенка4.
В эссе «Плач математика» Пол Локхарт предлагает изучать числа на более конкретных, чем обычно, примерах: он просит, чтобы мы представили их в виде некоторого количества камней. Например, число 6 соответствует вот такому набору камешков:
Вы вряд ли увидите тут что-то необычное. Так оно и есть. Пока мы не приступим к манипуляциям с числами, они выглядят примерно одинаково. Игра начинается, когда мы получаем задание.
Например, давайте посмотрим на наборы, в которых есть от 1 до 10 камней, и попробуем сложить из них квадраты. Это можно сделать только с двумя наборами — из 4 и 9 камней, поскольку 4 = 2 × 2 и 9 = 3 × 3. Мы получаем эти числа путем возведения в квадрат некоего другого числа (то есть раскладывая камни в виде квадрата).
Вот задача, имеющая большее число решений: надо узнать, из каких наборов получится прямоугольник, если разложить камни в два ряда с равным количеством элементов. Здесь подойдут наборы из 2, 4, 6, 8 или 10 камней; число должно быть четным. Если мы попробуем разложить в два ряда оставшиеся наборы с нечетным количеством камней, то у нас неизменно будет оставаться лишний камень.
Но не все потеряно для этих неудобных чисел! Если взять два таких набора, то лишние элементы найдут себе пару, и сумма получится четной: нечетное число + нечетное число = четное число.
Если распространить эти правила на числа, идущие после 10, и считать, что количество рядов в прямоугольнике может быть больше двух, то некоторые нечетные числа позволят сложить такие прямоугольники. Например, число 15 может составить прямоугольник 3 × 5.
Поэтому хотя 15, несомненно, нечетное число, оно является составным и может быть представлено в виде трех рядов по пять камней в каждом. Точно так же любая запись в таблице умножения дает собственную прямоугольную группу камешков.
Но некоторые числа, вроде 2, 3, 5 и 7, совершенно безнадежны. Из них нельзя выложить ничего, кроме как расположить их в виде простой линии (одного ряда). Эти странные упрямцы — знаменитые простые числа.
Итак, мы видим, что числа могут иметь причудливые структуры, которые наделяют их определенным характером. Но, чтобы представить весь спектр их поведения, надо отстраниться от отдельных чисел и понаблюдать за тем, что происходит во время их взаимодействия.
Например, вместо того чтобы сложить всего два нечетных числа, сложим все возможные последовательности нечетных чисел, начиная с 1:
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Удивительно, но эти суммы всегда оказываются идеальными квадратами. (О том, что 4 и 9 можно представить в виде квадратов, мы уже говорили, а для 16 = 4 × 4 и 25 = 5 × 5 это тоже верно.) Быстрый подсчет показывает, что это правило справедливо и для больших нечетных чисел и, видимо, стремится к бесконечности. Но какая же связь между нечетными числами с их «лишними» камнями и классически симметричными числами, образующими квадраты? Правильно располагая камешки, мы можем сделать ее очевидной, что является отличительной чертой изящного доказательства.5